平行四边形培优讲义Word文档格式.docx
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S3B.S1·
S4<S2·
S3C.S1·
S4=S2·
S3D.不能确定
如图,点P是□ABCD的对角线BD上任意一点,过P作EF∥BC,分别交AB、CD于E、F,过P作HG∥AB,分别交AD、BC于G、H,请问四边形AEPG和PHCF的面积相等吗?
并说明理由.
如图,设P为平行四边形ABCD内的一点,△PAB,△PBC,△PDC,△PDA的面积分别记为S1,S2,S3,S4,则可以得出何结论?
平行四边形+角平分线(含垂直)
如图,在▱ABCD中,∠A=65°
,DE⊥AB,垂足为点E,点F为边AD上的中点,连接FE,则∠AFE的度数为( )
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
如图,在▱ABCD中,AE平分∠BAD交边CD于点E.若AD=3,AB=4,则EC长为( )
A.3B.2C.1D.
如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,且∠ADC=60°
,
,连接OE.下列结论:
①∠CAD=30°
;
②
③OB=AB;
④∠COD=60°
,成立的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
如图,在平行四边形ABCD中,AB=10,∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F恰好为DC的中点,DG⊥AE,垂足为G.若DG=3,则AE的边长为( )
A.
B.4C.8D.16
如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD的中点,CE⊥AB于E,设∠ABC=α(60°
≤α<90°
).
(1)当α=60°
时,求CE的长;
(2)当60°
<α<90°
时,是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?
若存在,求出k的值;
若不存在,请说明理由.
在▱ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°
,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°
,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求∠BDG的度数.
在▱ABCD中,∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F,连接AC.
(1)如图1,若∠ADC=90°
,G是EF的中点,连接AG、CG.
①求证:
BE=BF.
②请判断△AGC的形状,并说明理由;
(2)如图2,若∠ADC=60°
,将线段FB绕点F顺时针旋转60°
至FG,连接AG、CG.那么△AGC又是怎样的形状.(直接写出结论不必证明)
(1)如图所示,BD,CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F,G,连接FG,延长AF,AG,与直线BC分别交于点M、N,那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么?
即:
FG=AB+BC+AC)(直接写出结果即可)
(2)如图,若BD,CE分别是△ABC的内角平分线;
其他条件不变,线段FG与△ABC三边之间又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并给予证明.
(3)如图,若BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线,其他条件不变,线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?
直接写出你的猜想即可.不需要证明.答:
线段FG与△ABC三边之间数量关系是
平行四边形的综合题
已知:
如图,
于D,
于F.求证:
AF与EG互相平分
如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连接DE并延长至点F,使EF=AE,连接AF、BE和CF.
(1)请在图中找出一对全等三角形,用符号“≌”表示,并加以证明;
(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形,并说明理由;
(3)若AB=6,BD=2DC,求四边形ABEF的面积.
已知,如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,CE=CD,点F为CE的中点,点G为CD上的一点,连接DF、EG、AG,∠1=∠2.
(1)若CF=2,AE=3,求BE的长;
(2)求证:
.
如图,已知▱ABCD中,DE⊥BC于点E,DH⊥AB于点H,AF平分∠BAD,分别交DC、DE、DH于点F、G、M,且DE=AD.
(1)求证:
△ADG≌△FDM.
(2)猜想AB与DG+CE之间有何数量关系,并证明你的猜想.
已知平行四边形ABCD,对角线AC和BD相交于点O,点P在边AD上,过点P作PE⊥AC,PF⊥BD,垂足分别为E、F,PE=PF.
(1)如图,若
,求∠EPF的度数;
(2)若点P是AD的中点,点F是DO的中点,
,求BC的长.
如图,▱ABCD中,E是BC边的中点,连接AE,F为CD边上一点,且满足
.
(1)若∠D=105°
,∠DAF=35°
.求∠FAE的度数;
AF=CD+CF.
已知如图,四边形ABCD为平行四边形,AD=a,AC为对角线,BM∥AC,过点D作DE∥CM,交AC的延长线于F,交BM的延长线于E.
△ADF≌△BCM;
(2)若AC=2CF,∠ADC=60°
,AC⊥DC,求四边形ABED的面积(用含a的代数式表示).
平行四边形的几何变换
是等边三角形,D、F分别为CB、BA上的点,且CD=BF,以AD为边作等边
。
求证:
(1)
(2)四边形CDEF为平行四边形
如图,在▱ABCD的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE,
,连接AC、EF.在图中找一个与△FAE全等的三角形,并加以证明.
如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F.
(1)若点D是BC边的中点(如图①),求证:
EF=CD;
(2)在
(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比;
(3)若点D是BC边上的任意一点(除B、C外如图②),那么
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;
若不成立,请说明理由.
在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°
,点D为AC的中点.
(1)如图1,E为线段DC上任意一点,将线段DE绕点D逆时针旋转90°
得到线段DF,连接CF,过点F作FH⊥FC,交直线AB于点H.判断FH与FC的数量关系并加以证明;
(2)如图2,若E为线段DC的延长线上任意一点,
(1)中的其他条件不变,你在
(1)中得出的结论是否发生改变,直接写出你的结论,不必证明.
如图1,P为Rt△ABC所在平面内任意一点(不在直线AC上),∠ACB=90°
,M为AB边中点.操作:
以PA、PC为邻边作平行四边形PADC,连续PM并延长到点E,使ME=PM,连接DE.
探究:
(1)请猜想与线段DE有关的三个结论;
(2)请你利用图2,图3选择不同位置的点P按上述方法操作;
(3)经历
(2)之后,如果你认为你写的结论是正确的,请加以证明;
如果你认为你写的结论是错误的,请用图2或图3加以说明;
(注意:
错误的结论,只要你用反例给予说明也得分)
(4)若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”,其他条件不变,利用图4操作,并写出与线段DE有关的结论(直接写答案).
如图,在□ABCD中,过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90°
得到线段EF,点P为直线CD上一点(不与点C重合).
(1)在图1中画图探究:
当点P在CD延长线上时,连结EP并把EP绕点E逆时针旋转90°
得到线段EQ.作直线QF交直线CD于H,求证:
QF⊥CD.
(2)探究:
结合
(1)中的画图步骤,分析线段QH、PH与CE之间是否存在一种特定的数量关系?
请在下面的空格中写出你的结论;
若存在,直接填写这个关系式.
①当点P在CD延长线上且位于H点右边时,;
②当点P在边CD上时,.
(3)若AD=2AB=6,AE=1,连接DF,过P、F两点作⊙M,使⊙M同时与直线CD、DF相切,求⊙M的半径是多少?
三角形中位线
如图,在△ABC中,D、E、F分别为BC、AC、AB的中点,AH⊥BC于点H,FD=8cm,则HE的值为( )
A.20cmB.16cmC.12cmD.8cm
(1)证明三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;
[要求根据图1写出已知、求证、证明;
在证明过程中,至少有两处写出推理依据(“已知”除外)]
(2)如图2,在▱ABCD中,对角线交点为O,
分别是OA、OB、OC、OD的中点,
分别是
的中点,…,以此类推.
若▱ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和?
(3)借助图形3反映的规律,猜猜C可能是多少?
观察探究,完成证明和填空.
△ABC是任意三角形.
(1)如图1所示,点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点,
∠MPN=∠A.
(2)如图2所示,点M、N分别在边AB、AC上,且
,点P1、P2是边BC的三等分点,你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确?
请说明你的理由.
(3)
(3)如图3所示,点M、N分别在边AB、AC上,且
,P1、P2、…、P2009是边BC的2010等分点,则∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2009N=.
(请直接将该小问的答案写在横线上)
平行四边形动点问题
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°
,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,动点P从点B出发,沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回,动点Q从点A出发,在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动,点P,Q分别从点B,A同时出发,当点Q运动到点D时,点P随之停止运动,设运动的时间为t(秒).
(1)当t为何值时,四边形PQDC是平行四边形;
(2)当t为何值时,以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等于
(3)是否存在点P,使△PQD是等腰三角形?
若存在,请求出所有满足要求的t的值;
在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=3,∠BAD=120°
,点E为射线BC上的一动点(不与点B、C重合),过点E作EF⊥AB,FE分别交线段AB、射线DC于点F、G.
(1)如图,当点E在线段BC上时,
△BEF∽△CEG;
②如设BE=x,△DEF的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)点E在射线BC上运动时,是否存在S△AFD:
S△DEC=3:
2?
如存在,请求出BE的长;
如不存在,请说明理由.