1718版 第10章 第55课 古典概型.docx

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1718版第10章第55课古典概型

第55课古典概型

[最新考纲]

内容

要求

A

B

C

古典概型

√

1．基本事件的特点

（1）任何两个基本事件是互斥的．

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

（1）所有基本事件只有有限个．

（2）每个基本事件的发生都是等可能的．

3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P（A）＝.

4．古典概型的概率公式

P（A）＝.

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．（　　）

（2）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．（　　）

（3）从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．（　　）

（4）利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）×

2．（教材改编）下列试验中，是古典概型的有________．（填序号）

①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；

②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；

③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；

④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．

③　[由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．]

3．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．

　[甲、乙两名运动员选择运动服颜色的情况为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，白），（白，红），（白，蓝），（蓝，蓝），（蓝，白），（蓝，红），共9种．

而同色的有（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共3种．

所以所求概率P＝＝.]

4．（2016·全国卷Ⅲ改编）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________．

　[∵Ω＝{（M,1），（M,2），（M,3），（M,4），（M,5），（I,1），（I,2），（I,3），（I,4），（I,5），（N,1），（N,2），（N,3），（N,4），（N,5）}，

∴事件总数有15种．

∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.]

5．（2016·江苏高考）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．

　[将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,1），（2,2），…，（6,6），共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，包含的可能结果有（4,6），（5,5），（5,6），（6,4），（6,5），（6,6），共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P（）＝＝，所以P（A）＝1－＝.]

简单古典概型的概率

（1）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________.【导学号：

62172303】

（2）（2016·全国卷Ⅰ改编）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________．

（1）0.6　

（2）　[

（1）记3件合格品分别为A1，A2，A3,2件次品分别为B1，B2，从5件产品中任取2件，有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共10种可能．其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型得所求事件概率为＝0.6.

（2）从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：

红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：

红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝＝.]

[规律方法]　1.计算古典概型事件的概率可分三步，

（1）计算基本事件总个数n；

（2）计算事件A所包含的基本事件的个数m；（3）代入公式求出概率P.

2．用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．

[变式训练1]　

（1）（2017·南京模拟）将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m，n，则点P（m，n）在直线y＝x下方的概率为________．

（2）（2015·江苏高考）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为______．

（1）　

（2）　[

（1）将一颗骰子连续抛掷2次，共有（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,1），（2,2），…，（6,6），共36种不同的结果，其中在直线y＝x下方的有：

（3,1），（4,1），（5,1），（5,2），（6,1），（6,2）共6种不同的结果，故所求事件的概率P＝＝.

（2）从4个球中一次随机摸出2只球，共有（红，白），（红，黄1），（红，黄2），（白，黄1），（白，黄2），（黄1，黄2）共6种情况，则2只颜色不同的共有5种情况，故所求事件的概率P＝.]

复杂古典概型的概率

　（2016·山东高考）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图551所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

图551

①若xy≤3，则奖励玩具一个；

②若xy≥8，则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶．

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．

（1）求小亮获得玩具的概率；

（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

[解]　用数对（x，y）表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{（x，y）|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．

因为S中元素的个数是4×4＝16，

所以基本事件总数n＝16.

（1）记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（3,1）．

所以P（A）＝，即小亮获得玩具的概率为.

（2）记“xy≥8”为事件B，“3

则事件B包含的基本事件数共6个，即（2,4），（3,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），所以P（B）＝＝.

事件C包含的基本事件数共5个，

即（1,4），（2,2），（2,3），（3,2），（4,1）．

所以P（C）＝.因为>，

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．

[规律方法]　1.本题易错点有两个：

（1）题意理解不清，不能把基本事件列举出来；

（2）不能恰当分类，列举基本事件有遗漏．

2．求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．

[变式训练2]　某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：

（单位：

人）

参加书法社团

未参加书法社团

参加演讲社团

8

5

未参加演讲社团

2

30

（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.【导学号：

62172304】

[解]　

（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，

故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15人，

所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.

（2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有

{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．

根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．

事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．

因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.

古典概型与统计的综合应用

　某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2016年11月11日的网购金额，所得数据如下表：

网购金额（单位：

千元）

人数

频率

（0,1]

16

0.08

（1,2]

24

0.12

（2,3]

x

p

（3,4]

y

q

（4,5]

16

0.08

（5,6]

14

0.07

合计

200

1.00

已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2.

（1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）；

（2）该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在（1,2]和（4,5]的两个群体中确定5人中进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？

图552

[解]　

（1）根据题意有：

解得

∴p＝0.4，q＝0.25.

补全频率分布直方图如图所示，

（2）根据题意，网购金额在（1,2]内的人数为×5＝3（人），记为：

a，b，c.

网购金额在（4,5]内的人数为×5＝2（人），记为：

A，B.则从这5人中随机选取2人的选法为：

（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）共10种．记2人来自不同群体的事件为M，则M中含有（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B）共6种．

∴P（M）＝＝.

[规律方法]　有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是关键．

[变式训练3]　海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：

件）如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

地区

A

B

C

数量

50

150

100

（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；

（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．

[解]　

（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是

＝，

所以样本