高中数学人教A版必修四第一章 1周期现象 2角的概念的推广 练习题含答案Word格式文档下载.docx
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{α|α=k·
终边落在x轴的非正半轴上的角
终边落在x轴上的角
180°
终边落在y轴的非负半轴上的角
终边落在y轴的非正半轴上的角
-90°
终边落在y轴上的角
终边落在坐标轴上的角
90°
(4)终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k×
,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)钟表的秒针的运动是周期现象.( )
(2)某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象.( )
(3)钝角是第二象限的角.( )
(4)第二象限的角一定比第一象限的角大.( )
(5)终边相同的角不一定相等.( )
解析:
(1)正确.秒针每分钟转一圈,它的运动是周期现象.
(2)错误.虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化,但每次绿灯经过的车辆数不一定相同,故不是周期现象.
(3)正确.大于90°
而小于180°
的角称为钝角,它是第二象限角.
(4)错误.100°
是第二象限角,361°
是第一象限角,但100°
361°
.
(5)正确.终边相同的角可以相差360°
的整数倍.
答案:
(1)√
(2)×
(3)√ (4)×
(5)√
2.小明今年17岁了,与小明属相相同的老师的年龄可能是( )
A.26B.32
C.36D.41
选D.由十二生肖知,属相是12年循环一次,故选D.
3.已知下列各角:
①-120°
;
②-240°
③180°
④495°
,其中是第二象限角的是( )
A.①②B.①③
C.②③D.②④
选D.-120°
是第三象限角;
-240°
是第二象限角;
角不在任何一个象限内;
495°
=360°
+135°
,所以495°
是第二象限角.
4.在0°
到360°
之间与-120°
终边相同的角是________.
与-120°
终边相同的角α=-120°
+k·
(k∈Z).
由0°
≤-120°
,k∈Z,得
≤k<
又k∈Z,所以k=1,此时α=-120°
=240°
240°
1.对周期现象的理解
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象,这种变化规律称为周期性,例如:
月亮圆缺变化的周期性,即朔—上弦—望—下弦—朔;
潮汐变化的周期性,即海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象;
物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性;
做简谐运动的物体的位移变化的周期性等.
2.对角的概念的两点说明
(1)角是用运动的观点来定义的,由始边旋转一个角度到达终边,其中始边和终边要区分,不能混淆.
(2)在描述角度(角的大小)时一定要抓住三点:
①要明确旋转方向;
②要明确旋转的大小;
③要明确射线未作任何旋转时的位置.
3.角的分类
(1)按旋转方向划分时,先确定角的旋转方向,再确定旋转的绝对量.如射线OA绕端点O逆时针旋转290°
到OB的位置,则∠AOB=290°
(2)今后在学习角时,我们通常把角放在平面直角坐标系中讨论.当角的终边落在坐标轴上时,这个角可以称为象限界角或轴线角.
4.任意角概念的四个关注点
周期现象的判断
判断下列现象是否是周期现象.
(1)地球自转;
(2)某地每年一月份的降雨量;
(3)世界杯足球赛的举办时间.
(链接教材P4例1,例2,例3)
[解]
(1)是周期现象.因为地球每24小时自转一周,所以地球自转是周期现象.
(2)不是周期现象.某地每年一月份的降雨量是随机的,不是周期性重复出现的.
(3)是周期现象.世界杯足球赛每隔四年举办一届,是周期性重复出现的.
方法归纳
判断某现象是否为周期现象的依据是周期现象的特征,即每次都以相同的间隔(比如时间间隔或长度间隔)出现,且现象是无差别的重复出现.
1.
(1)试判断下列现象中是否是周期现象.
①一年二十四节气的变化;
②候鸟迁徙;
③“随机数表”中数的排列.
(2)我们的心跳都是有节奏的、有规律的,心脏跳动时,血压在增大或减小.下表是某人在一分钟内的血压与时间的对应关系,通过表中数据来研究血压变化的规律.
t/s
5
10
15
20
25
30
p/mmHg
93.35
136.65
115
35
40
45
50
55
60
①根据上表数据在坐标系中作出血压p与时间t的关系的散点图;
②说明血压变化的规律.
解:
(1)①一年二十四节气是重复出现的,是周期现象.
②候鸟迁徙是周期现象.
③随机数表中的数0,1,2,…,9是随机出现的,不是周期现象.
(2)①散点图如图.
②从散点图可以看出,每经过相同的时间间隔T(15s),血压就重复出现相同的数值,因此,血压是呈周期性变化的.
象限角的判断
(1)给出下列四个结论:
①-15°
是第四象限角;
②185°
③475°
④-350°
是第一象限角.其中正确的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
(2)若α是第一象限角,则-α是第________象限角.
(3)已知α=-1910°
,把α写成β+k·
(k∈Z,0°
≤β<
)的形式,并指出它是第几象限的角.
(链接教材P7例1)
[解]
(1)选D.①-15°
②180°
185°
270°
+115°
,而90°
115°
,所以475°
=-360°
+10°
是第一象限角,所以四个结论都是正确的.
(2)因为α与-α的终边关于x轴对称如图所示.
所以-α的终边在第四象限.故填四.
(3)法一:
作除法运算,注意余数必须非负,
得:
-1910÷
360=-6……250,
所以α=250°
-6×
,它是第三象限的角.
法二:
设α=β+k·
(k∈Z),
则β=-1910°
-k·
令0°
≤-1910°
,
解得-6
k≤-
=-5
,k∈Z.
所以k的最大整数解为k=-6,求出相应的β=250°
于是α=250°
在本例(3)中,写出与β的终边互为反向延长线的角γ,并指出它是第几象限的角.
当β=250°
时,γ=250°
=70°
+(k+1)·
+k′·
(其中k′=k+1,k∈Z).即γ=70°
+n·
,n∈Z,γ是第一象限的角.
判断α是第几象限角的三个步骤
第一步,将α写成α=k·
+β(k∈Z,0°
)的形式.
第二步,判断β的终边所在的象限.
第三步,根据β的终边所在的象限,即可确定α的终边所在的象限.
2.若角α满足α=45°
,k∈Z,则角α的终边落在( )
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限D.第三或第四象限
选A.当k=0时,α=45°
,此时α为第一象限角;
当k=1时,α=225°
,此时α是第三象限角,故选A.
终边落在过原点的直线上的角
写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°
β<
720°
的元素β写出来.
(链接教材P7例2,P8例3)
[解] 如图,直线y=x过原点,它向上的方向与x轴正方向的夹角为45°
,在0°
~360°
范围内,终边在直线y=x上的角有两个:
45°
,225°
.因此,终边在直线y=x上的角的集合S={β|β=45°
,k∈Z}∪{β|β=225°
={β|β=45°
+2k·
,k∈Z}∪{β|β=45°
+(2k+1)·
,n∈Z}.
由于-360°
即-360°
,n∈Z,
解得-
n<
,n∈Z.
所以n=-2,-1,0,1,2,3.
所以S中适合不等式-360°
的元素是
-2×
=-315°
-1×
=-135°
+0×
=45°
+1×
=225°
+2×
=405°
+3×
=585°
(1)写出终边落在某条过原点的直线上的角的集合,方法步骤是:
①在直角坐标系中画出该直线;
②在0°
范围内找出满足条件的角;
③写出满足条件的角的集合,并注意化简.
(2)要写出所得集合中在某个范围内的元素时,先解不等式,确定出n的取值,再逐一代入计算.
3.已知角β的终边在直线y=-x上.
(1)写出角β的集合S;
(2)写出S中适合不等式-360°
的元素.
(1)如图,直线y=-x过原点,它是第二、四象限角的平分线所在的直线,故在0°
范围内终边在直线y=-x上的角有两个:
135°
,315°
.因此,终边在直线y=-x上的角的集合S={β|β=135°
,k∈Z}∪{β|β=315°
,k∈Z}={β|β=135°
,k∈Z}∪{β|β=135°
(2)由于-360°
所以集合S中适合不等式-360°
的元素为:
=-225°
=-45°
=135°
=315°
=495°
=675°
区域角的表示
如图所示,写出终边落在阴影部分(实线包括边界,虚线不包括边界)的角的集合.
[解]
(1)由题图
(1)可知,阴影部分的角按逆时针方向旋转,应由l1旋转至l2,与l1终边相同的角有60°
角,与l2终边相同的角有310°
角.
所以题图
(1)阴影部分中角的集合为
S={α|60°
+k×
≤α≤310°
,k∈Z}.
(2)由题图
(2)知,第一象限内阴影部分中角的集合为
S1={α|45°
≤α≤90°
第三象限内阴影部分中角的集合为
S2={α|225°
≤α≤270°
所以所求阴影部分中角的集合为S=S1∪S2
={α|45°
+2k×
,k∈Z}∪{α|45°
+(2k+1)×
,k∈Z}={α|45°
+n×
(3)由题图(3)知,阴影部分的角按逆时针方向旋转,应由l2旋转至l1,与l2终边相同的角有-30°
角,与l1终边相同的角有30°
所以题图(3)阴影部分中角的集合为
S={α|-30°
30°
区域角是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步
(1)先按逆时针的方向找到这个区域的起始和终止边界.
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°
范围内的角α和β,写出最简区间{x|α<
x<
β}.
(3)根据旋转的观点把起始、终止边界对应角α,β加上k·
4.
(1)如图所示,写出终边落在图中阴影部分(实线包括边界,虚线不包括边界)的角的集合.
(2)已知集合A={α|30°
,k∈Z},B={β|-45°
①试在平面直角坐标系内画出集合A和B中的角的终边所在的区域;
②求A∩B.
(1)终边落在第二象限内阴影部分中的角的集合可表示为{α|k·
α≤k·
,k∈Z},
终边落在第四象限内阴影部分中的角的集合可表示为{α|k·
-15°
≤α≤k·
所以终边落在阴影部分的角的集合可表示为
或-15°
(2)①如图所示:
集合A中的角的终边在阴影(Ⅰ)内,
集合B中的角的终边在阴影(Ⅱ)内.
②集合A∩B中的角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内,
所以A∩B={γ|30°
γ<
易错警示
因未能正确理解象限角而出错
已知α是第三象限角,则
是第几象限角?
[解] 因为α是第三象限角,
所以180°
所以60°
120°
当k=3n(n∈Z)时,60°
(n∈Z),
所以
是第一象限的角;
当k=3n+1(n∈Z)时,180°
210°
(n∈Z),所以
是第三象限的角;
当k=3n+2(n∈Z)时,300°
330°
是第四象限的角.
是第一、三、四象限的角.
[错因与防范]
(1)仅以180°
表示第三象限角是出错的主要原因.
(2)分类讨论:
已知角α所在的象限,要求
(n∈N+)所在的象限,应把角α写成k·
+β<
+γ(k∈Z)的形式,再求出k·
+
(k∈Z,n∈N+),分别取k=0,1,2,…,n-1,即可确定
所在的象限.
(3)几何法(八卦图法)
几何法判定
,…,
角的终边所在象限的具体步骤如下:
先将直角坐标系各象限平均分成n份,再从x轴上方起逆时针依次将各区域标1,2,3,4,1,2,3,4,…,直至填充所有区域,最后由α原来是第几象限角对应的标号所在象限,即为
终边所在象限.
5.
(1)已知α为第三象限角,则
所在的象限是( )
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
(2)已知θ角的终边与168°
角的终边相同,则在0°
范围内终边与
角的终边相同的角是________.
(1)法一:
因为α为第三象限角,
所以k·
,k∈Z,
当k=2n(n∈Z)时,有n·
n·
,n∈Z,此时
当k=2n+1(n∈Z)时,有n·
+315°
是第四象限角.所以
是第二或第四象限角.
(八卦图法)如图阴影部分(不包含边界)所示,
所在的象限是第二或第四象限.
(2)由已知,得θ=k·
+168°
=k·
+56°
又因为0°
≤k·
,满足上式的k值为k=0,1,2,
所以在0°
范围内,终边与
角的终边相同的角是56°
,176°
,296°
(1)D
(2)56°
1.下列现象不是周期现象的是( )
A.挂在弹簧下方做上下振动的小球
B.游乐场中摩天轮的运行
C.抛一枚骰子,向上的数字是奇数
D.太阳的东升西落
选C.A,B,D所述都是周期现象,而C中“向上的数字是奇数”不是周期现象.
2.下列各角中与330°
角终边相同的角是( )
A.510°
B.150°
C.-150°
D.-390°
选D.所有与330°
角终边相同的角可表示为α=330°
,当k=-2时,得α=-390°
,故选D.
3.从13:
00到14:
00,时针转过的角度为________,分针转过的角度为________.
经过1小时,时针顺时针转过了30°
,分针顺时针转过了360°
-30°
-360°
4.若α=-510°
,则α是第________象限角.
由于α=-510°
=-2×
+210°
,所以α是第三象限角.
三
[A.基础达标]
1.下列说法正确的是( )
A.终边相同的角都相等
B.钝角比第三象限角小
C.第一象限角都是锐角
D.锐角都是第一象限角
选D.终边相同的角相差360°
的整数倍,并不一定相等,故A错误;
钝角并不一定比第三象限角小,如-135°
是第三象限角,显然-135°
比钝角小,故B错;
锐角一定是第一象限角,但第一象限角未必都是锐角,故D正确,C错误.
2.某市绿化委员会为了庆祝国庆节,要在道路的两侧摆放花卉,其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花,并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放,那么第2015盆花的颜色为( )
A.红B.黄
C.紫D.白
选C.因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白…的顺序摆放,所以以4为一个周期,则2015÷
4=503……3,所以第2015盆花为紫色.
3.-495°
角的终边所在的象限是( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
选C.-495°
+225°
,因为225°
是第三象限角,所以-495°
是第三象限角.
4.终边与坐标轴重合的角α的集合是( )
A.{α|α=k·
B.{α|α=k·
C.{α|α=k·
D.{α|α=k·
选D.终边落在x轴上的角α的集合为S1={α|α=k·
,k∈Z},终边落在y轴上的角α的集合为S2={α|α=90°
,k∈Z},因此,终边落在坐标轴上的角α的集合为S=S1∪S2={α|α=k·
5.在直角坐标系中,若角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,α和β的终边关于y轴对称,则α与β关系为( )
A.α+β=360°
B.α+β=(2k-1)·
(k∈Z)
C.α+β=k·
D.α+β=k·
选B.
如图所示,
因为α与β的终边关于y轴对称,
所以α角的终边逆时针旋转(180°
-2α)就与β角终边重合.
所以β=k·
+(180°
-2α)+α,
所以α+β=k·
=(2k+1)·
因为当k为整数时,2k-1与2k+1都表示奇数,
所以α+β=(2k-1)·
6.今天是星期二,从今天算起,27天后的那一天是星期________,第50天是星期________.
每周有7天,27=3×
7+6,故27天后的那一天是星期一;
50=7×
7+1,故第50天是星期二.
一 二
7.与2015°
角的终边相同的最小正角是________.
因为2015°
=5×
+215°
所以215°
为最小正角.
215°
8.设集合M={α|α=-36°
,k∈Z},N={α|-180°
},则M∩N=________.
对于M,当k=-1时,α=-126°
当k=0时,α=-36°
当k=1时,α=54°
当k=2时,α=144°
,故M∩N={-126°
,-36°
,54°
,144°
}.
{-126°
}
9.如图,写出阴影部分(包括边界)的角的集合,并指出-950°
12′是否是该集合中的角.
阴影部分(包括边界)的角的范围是k·
+125°
所求集合为{α|k·
因为-950°
12′=-3×
+129°
48′,
所以-950°
12′不是该集合中的角.
10.已知角β的终边在直线
x-