高中数学人教A版必修四第一章 1周期现象 2角的概念的推广 练习题含答案Word格式文档下载.docx

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{α|α＝k·

终边落在x轴的非正半轴上的角

终边落在x轴上的角

180°

终边落在y轴的非负半轴上的角

终边落在y轴的非正半轴上的角

－90°

终边落在y轴上的角

终边落在坐标轴上的角

90°

（4）终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×

，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．

1．判断正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）钟表的秒针的运动是周期现象．（　　）

（2）某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象．（　　）

（3）钝角是第二象限的角．（　　）

（4）第二象限的角一定比第一象限的角大．（　　）

（5）终边相同的角不一定相等．（　　）

解析：

（1）正确．秒针每分钟转一圈，它的运动是周期现象．

（2）错误．虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化，但每次绿灯经过的车辆数不一定相同，故不是周期现象．

（3）正确．大于90°

而小于180°

的角称为钝角，它是第二象限角．

（4）错误.100°

是第二象限角，361°

是第一象限角，但100°

361°

.

（5）正确．终边相同的角可以相差360°

的整数倍．

答案：

（1）√　

（2）×

　（3）√　（4）×

　（5）√

2．小明今年17岁了，与小明属相相同的老师的年龄可能是（　　）

A．26B．32

C．36D．41

选D.由十二生肖知，属相是12年循环一次，故选D.

3．已知下列各角：

①－120°

；

②－240°

③180°

④495°

，其中是第二象限角的是（　　）

A．①②B．①③

C．②③D．②④

选D.－120°

是第三象限角；

－240°

是第二象限角；

角不在任何一个象限内；

495°

＝360°

＋135°

，所以495°

是第二象限角．

4．在0°

到360°

之间与－120°

终边相同的角是________．

与－120°

终边相同的角α＝－120°

＋k·

（k∈Z）．

由0°

≤－120°

，k∈Z，得

≤k<

又k∈Z，所以k＝1，此时α＝－120°

＝240°

240°

1．对周期现象的理解

现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性，例如：

月亮圆缺变化的周期性，即朔—上弦—望—下弦—朔；

潮汐变化的周期性，即海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象；

物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；

做简谐运动的物体的位移变化的周期性等．

2．对角的概念的两点说明

（1）角是用运动的观点来定义的，由始边旋转一个角度到达终边，其中始边和终边要区分，不能混淆．

（2）在描述角度（角的大小）时一定要抓住三点：

①要明确旋转方向；

②要明确旋转的大小；

③要明确射线未作任何旋转时的位置．

3．角的分类

（1）按旋转方向划分时，先确定角的旋转方向，再确定旋转的绝对量．如射线OA绕端点O逆时针旋转290°

到OB的位置，则∠AOB＝290°

（2）今后在学习角时，我们通常把角放在平面直角坐标系中讨论．当角的终边落在坐标轴上时，这个角可以称为象限界角或轴线角．

4．任意角概念的四个关注点

　　　　　　　周期现象的判断　

判断下列现象是否是周期现象．

（1）地球自转；

（2）某地每年一月份的降雨量；

（3）世界杯足球赛的举办时间．

（链接教材P4例1，例2，例3）

[解]　

（1）是周期现象．因为地球每24小时自转一周，所以地球自转是周期现象．

（2）不是周期现象．某地每年一月份的降雨量是随机的，不是周期性重复出现的．

（3）是周期现象．世界杯足球赛每隔四年举办一届，是周期性重复出现的．

方法归纳

判断某现象是否为周期现象的依据是周期现象的特征，即每次都以相同的间隔（比如时间间隔或长度间隔）出现，且现象是无差别的重复出现．

1．

（1）试判断下列现象中是否是周期现象．

①一年二十四节气的变化；

②候鸟迁徙；

③“随机数表”中数的排列．

（2）我们的心跳都是有节奏的、有规律的，心脏跳动时，血压在增大或减小．下表是某人在一分钟内的血压与时间的对应关系，通过表中数据来研究血压变化的规律.

t/s

5

10

15

20

25

30

p/mmHg

93.35

136.65

115

35

40

45

50

55

60

①根据上表数据在坐标系中作出血压p与时间t的关系的散点图；

②说明血压变化的规律．

解：

（1）①一年二十四节气是重复出现的，是周期现象．

②候鸟迁徙是周期现象．

③随机数表中的数0，1，2，…，9是随机出现的，不是周期现象．

（2）①散点图如图．

②从散点图可以看出，每经过相同的时间间隔T（15s），血压就重复出现相同的数值，因此，血压是呈周期性变化的．

　　　　　　　象限角的判断　

（1）给出下列四个结论：

①－15°

是第四象限角；

②185°

③475°

④－350°

是第一象限角．其中正确的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

（2）若α是第一象限角，则－α是第________象限角．

（3）已知α＝－1910°

，把α写成β＋k·

（k∈Z，0°

≤β<

）的形式，并指出它是第几象限的角．

（链接教材P7例1）

[解]　

（1）选D.①－15°

②180°

185°

270°

＋115°

，而90°

115°

，所以475°

＝－360°

＋10°

是第一象限角，所以四个结论都是正确的．

（2）因为α与－α的终边关于x轴对称如图所示．

所以－α的终边在第四象限．故填四．

（3）法一：

作除法运算，注意余数必须非负，

得：

－1910÷

360＝－6……250，

所以α＝250°

－6×

，它是第三象限的角．

法二：

设α＝β＋k·

（k∈Z），

则β＝－1910°

－k·

令0°

≤－1910°

，

解得－6

k≤－

＝－5

，k∈Z.

所以k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°

于是α＝250°

　在本例（3）中，写出与β的终边互为反向延长线的角γ，并指出它是第几象限的角．

当β＝250°

时，γ＝250°

＝70°

＋（k＋1）·

＋k′·

（其中k′＝k＋1，k∈Z）．即γ＝70°

＋n·

，n∈Z，γ是第一象限的角．

判断α是第几象限角的三个步骤

第一步，将α写成α＝k·

＋β（k∈Z，0°

）的形式．

第二步，判断β的终边所在的象限．

第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．

2．若角α满足α＝45°

，k∈Z，则角α的终边落在（　　）

A．第一或第三象限　　　B．第一或第二象限

C．第二或第四象限D．第三或第四象限

选A.当k＝0时，α＝45°

，此时α为第一象限角；

当k＝1时，α＝225°

，此时α是第三象限角，故选A.

　　　　　　　终边落在过原点的直线上的角

写出终边在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°

β<

720°

的元素β写出来．

（链接教材P7例2，P8例3）

[解]　如图，直线y＝x过原点，它向上的方向与x轴正方向的夹角为45°

，在0°

～360°

范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：

45°

，225°

.因此，终边在直线y＝x上的角的集合S＝{β|β＝45°

，k∈Z}∪{β|β＝225°

＝{β|β＝45°

＋2k·

，k∈Z}∪{β|β＝45°

＋（2k＋1）·

，n∈Z}．

由于－360°

即－360°

，n∈Z，

解得－

n<

，n∈Z.

所以n＝－2，－1，0，1，2，3.

所以S中适合不等式－360°

的元素是

－2×

＝－315°

－1×

＝－135°

＋0×

＝45°

＋1×

＝225°

＋2×

＝405°

＋3×

＝585°

（1）写出终边落在某条过原点的直线上的角的集合，方法步骤是：

①在直角坐标系中画出该直线；

②在0°

范围内找出满足条件的角；

③写出满足条件的角的集合，并注意化简．

（2）要写出所得集合中在某个范围内的元素时，先解不等式，确定出n的取值，再逐一代入计算．

3．已知角β的终边在直线y＝－x上．

（1）写出角β的集合S；

（2）写出S中适合不等式－360°

的元素．

（1）如图，直线y＝－x过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0°

范围内终边在直线y＝－x上的角有两个：

135°

，315°

.因此，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°

，k∈Z}∪{β|β＝315°

，k∈Z}＝{β|β＝135°

，k∈Z}∪{β|β＝135°

（2）由于－360°

所以集合S中适合不等式－360°

的元素为：

＝－225°

＝－45°

＝135°

＝315°

＝495°

＝675°

　　　　　　　区域角的表示　

如图所示，写出终边落在阴影部分（实线包括边界，虚线不包括边界）的角的集合．

[解]　

（1）由题图

（1）可知，阴影部分的角按逆时针方向旋转，应由l1旋转至l2，与l1终边相同的角有60°

角，与l2终边相同的角有310°

角．

所以题图

（1）阴影部分中角的集合为

S＝{α|60°

＋k×

≤α≤310°

，k∈Z}．

（2）由题图

（2）知，第一象限内阴影部分中角的集合为

S1＝{α|45°

≤α≤90°

第三象限内阴影部分中角的集合为

S2＝{α|225°

≤α≤270°

所以所求阴影部分中角的集合为S＝S1∪S2

＝{α|45°

＋2k×

，k∈Z}∪{α|45°

＋（2k＋1）×

，k∈Z}＝{α|45°

＋n×

（3）由题图（3）知，阴影部分的角按逆时针方向旋转，应由l2旋转至l1，与l2终边相同的角有－30°

角，与l1终边相同的角有30°

所以题图（3）阴影部分中角的集合为

S＝{α|－30°

30°

区域角是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步

（1）先按逆时针的方向找到这个区域的起始和终止边界．

（2）按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°

范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<

x<

β}．

（3）根据旋转的观点把起始、终止边界对应角α，β加上k·

4．

（1）如图所示，写出终边落在图中阴影部分（实线包括边界，虚线不包括边界）的角的集合．

（2）已知集合A＝{α|30°

，k∈Z}，B＝{β|－45°

①试在平面直角坐标系内画出集合A和B中的角的终边所在的区域；

②求A∩B.

（1）终边落在第二象限内阴影部分中的角的集合可表示为{α|k·

α≤k·

，k∈Z}，

终边落在第四象限内阴影部分中的角的集合可表示为{α|k·

－15°

≤α≤k·

所以终边落在阴影部分的角的集合可表示为

或－15°

（2）①如图所示：

集合A中的角的终边在阴影（Ⅰ）内，

集合B中的角的终边在阴影（Ⅱ）内．

②集合A∩B中的角的终边在阴影（Ⅰ）和（Ⅱ）的公共部分内，

所以A∩B＝{γ|30°

γ<

易错警示

因未能正确理解象限角而出错

已知α是第三象限角，则

是第几象限角？

[解]　因为α是第三象限角，

所以180°

所以60°

120°

当k＝3n（n∈Z）时，60°

（n∈Z），

所以

是第一象限的角；

当k＝3n＋1（n∈Z）时，180°

210°

（n∈Z），所以

是第三象限的角；

当k＝3n＋2（n∈Z）时，300°

330°

是第四象限的角．

是第一、三、四象限的角．

[错因与防范]　

（1）仅以180°

表示第三象限角是出错的主要原因．

（2）分类讨论：

已知角α所在的象限，要求

（n∈N＋）所在的象限，应把角α写成k·

＋β<

＋γ（k∈Z）的形式，再求出k·

＋

（k∈Z，n∈N＋），分别取k＝0，1，2，…，n－1，即可确定

所在的象限．

（3）几何法（八卦图法）

几何法判定

，…，

角的终边所在象限的具体步骤如下：

先将直角坐标系各象限平均分成n份，再从x轴上方起逆时针依次将各区域标1，2，3，4，1，2，3，4，…，直至填充所有区域，最后由α原来是第几象限角对应的标号所在象限，即为

终边所在象限．

5．

（1）已知α为第三象限角，则

所在的象限是（　　）

A．第一或第二象限

B．第二或第三象限

C．第一或第三象限

D．第二或第四象限

（2）已知θ角的终边与168°

角的终边相同，则在0°

范围内终边与

角的终边相同的角是________．

（1）法一：

因为α为第三象限角，

所以k·

，k∈Z，

当k＝2n（n∈Z）时，有n·

n·

，n∈Z，此时

当k＝2n＋1（n∈Z）时，有n·

＋315°

是第四象限角．所以

是第二或第四象限角．

（八卦图法）如图阴影部分（不包含边界）所示，

所在的象限是第二或第四象限．

（2）由已知，得θ＝k·

＋168°

＝k·

＋56°

又因为0°

≤k·

，满足上式的k值为k＝0，1，2，

所以在0°

范围内，终边与

角的终边相同的角是56°

，176°

，296°

（1）D　

（2）56°

1．下列现象不是周期现象的是（　　）

A．挂在弹簧下方做上下振动的小球

B．游乐场中摩天轮的运行

C．抛一枚骰子，向上的数字是奇数

D．太阳的东升西落

选C.A，B，D所述都是周期现象，而C中“向上的数字是奇数”不是周期现象．

2．下列各角中与330°

角终边相同的角是（　　）

A．510°

B．150°

C．－150°

D．－390°

选D.所有与330°

角终边相同的角可表示为α＝330°

，当k＝－2时，得α＝－390°

，故选D.

3．从13：

00到14：

00，时针转过的角度为________，分针转过的角度为________．

经过1小时，时针顺时针转过了30°

，分针顺时针转过了360°

－30°

　－360°

4．若α＝－510°

，则α是第________象限角．

由于α＝－510°

＝－2×

＋210°

，所以α是第三象限角．

三

[A.基础达标]

1．下列说法正确的是（　　）

A．终边相同的角都相等

B．钝角比第三象限角小

C．第一象限角都是锐角

D．锐角都是第一象限角

选D.终边相同的角相差360°

的整数倍，并不一定相等，故A错误；

钝角并不一定比第三象限角小，如－135°

是第三象限角，显然－135°

比钝角小，故B错；

锐角一定是第一象限角，但第一象限角未必都是锐角，故D正确，C错误．

2．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，那么第2015盆花的颜色为（　　）

A．红B．黄

C．紫D．白

选C.因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白…的顺序摆放，所以以4为一个周期，则2015÷

4＝503……3，所以第2015盆花为紫色．

3．－495°

角的终边所在的象限是（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

选C.－495°

＋225°

，因为225°

是第三象限角，所以－495°

是第三象限角．

4．终边与坐标轴重合的角α的集合是（　　）

A．{α|α＝k·

B．{α|α＝k·

C．{α|α＝k·

D．{α|α＝k·

选D.终边落在x轴上的角α的集合为S1＝{α|α＝k·

，k∈Z}，终边落在y轴上的角α的集合为S2＝{α|α＝90°

，k∈Z}，因此，终边落在坐标轴上的角α的集合为S＝S1∪S2＝{α|α＝k·

5．在直角坐标系中，若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，α和β的终边关于y轴对称，则α与β关系为（　　）

A．α＋β＝360°

B．α＋β＝（2k－1）·

（k∈Z）

C．α＋β＝k·

D．α＋β＝k·

选B.

如图所示，

因为α与β的终边关于y轴对称，

所以α角的终边逆时针旋转（180°

－2α）就与β角终边重合．

所以β＝k·

＋（180°

－2α）＋α，

所以α＋β＝k·

＝（2k＋1）·

因为当k为整数时，2k－1与2k＋1都表示奇数，

所以α＋β＝（2k－1）·

6．今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期________，第50天是星期________．

每周有7天，27＝3×

7＋6，故27天后的那一天是星期一；

50＝7×

7＋1，故第50天是星期二．

一　二

7．与2015°

角的终边相同的最小正角是________．

因为2015°

＝5×

＋215°

所以215°

为最小正角．

215°

8．设集合M＝{α|α＝－36°

，k∈Z}，N＝{α|－180°

}，则M∩N＝________．

对于M，当k＝－1时，α＝－126°

当k＝0时，α＝－36°

当k＝1时，α＝54°

当k＝2时，α＝144°

，故M∩N＝{－126°

，－36°

，54°

，144°

}．

{－126°

}

9．如图，写出阴影部分（包括边界）的角的集合，并指出－950°

12′是否是该集合中的角．

阴影部分（包括边界）的角的范围是k·

＋125°

所求集合为{α|k·

因为－950°

12′＝－3×

＋129°

48′，

所以－950°

12′不是该集合中的角．

10．已知角β的终边在直线

x－