人教版A版高三数学理高考一轮复习64 基本不等式教学设计及答案.docx

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人教版A版高三数学理高考一轮复习64基本不等式教学设计及答案

第四节　基本不等式

1．基本不等式

（1）了解基本不等式的证明过程．

（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．

2．不等式的综合应用

会运用不等式性质解决比较大小、值域、参范围问题．

知识点　基本不等式

1．基本不等式≤

（1）基本不等式成立的条件：

a＞0，b＞0.

（2）等号成立的条件：

当且仅当a＝b时等号成立．

（3）其中称为正a，b的算术平均，称为正a，b的几何平均．

2．利用基本不等式求最大、最小值问题

（1）如果x，y∈（0，＋∞），且xy＝P（定值）．

那么当x＝y时，x＋y有最小值2.（简记：

“积定和最小”）

（2）如果x，y∈（0，＋∞），且x＋y＝S（定值）．

那么当x＝y时，xy有最大值.（简记：

“和定积最大”）

易误提醒　

（1）求最值时要注意三点：

一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．

（2）多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．

必记结论　活用几个重要的不等式：

（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）．

（2）＋≥2（a，b同号）．

（3）ab≤2（a，b∈R）．

（4）2≤（a，b∈R）．

（5）≥≥≥（a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号）．

[自测练习]

1．下列不等式中正确的是（　　）

A．若a∈R，则a2＋9>6a

B．若a，b∈R，则≥2

C．若a，b>0，则2lg≥lga＋lgb

D．若x∈R，则x2＋>1

解析：

∵a>0，b>0，∴≥.

∴2lg≥2lg＝lg（ab）＝lga＋lgB.

答案：

C

2．已知f（x）＝x＋－2（x<0），则f（x）有（　　）

A．最大值为0　　　　　　　B．最小值为0

C．最大值为－4D．最小值为－4

解析：

∵x<0，∴－x>0，∴x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝－，即x＝－1时等号成立．

答案：

C

3．下列函中，最小值为4的是（　　）

A．y＝x＋

B．y＝sinx＋（0

C．y＝ex＋4e－x

D．y＝＋

解析：

∵y＝x＋中x可取负值，

∴其最小值不可能为4；

由于0

∴y＝sinx＋>2＝4，

其最小值大于4；由于ex>0，

∴y＝ex＋4e－x≥2＝4，

当且仅当ex＝2时取等号，

∴其最小值为4；∵≥1，

∴y＝＋≥2，当且仅当x＝±1时取等号，∴其最小值为2，故选C.

答案：

C

4．已知x>1，则x＋的最小值为________．

解析：

∵x>1，∴x－1>0，

∴x＋＝（x－1）＋＋1≥4＋1＝5，

当且仅当x－1＝即x＝3时等号成立．

答案：

5

考点一　利用基本不等式证明简单不等式|

（1）已知a>0，b>0，a＋b＝1，

求证：

≥9.

（2）设a，b均为正实，求证：

＋＋ab≥2.

[证明]　

（1）法一：

∵a>0，b>0，a＋b＝1，

∴1＋＝1＋＝2＋.同，1＋＝2＋.

∴＝＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当＝，即a＝b＝时取“＝”．

∴≥9，当且仅当a＝b＝时等号成立．

法二：

＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，∵a，b为正，a＋b＝1，

∴ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时取“＝”．

于是≥4，≥8，当且仅当a＝b＝时取“＝”．

∴≥1＋8＝9，

当且仅当a＝b＝时等号成立．

（2）由于a，b均为正实，

所以＋≥2＝，

当且仅当＝，即a＝b时等号成立，

又因为＋ab≥2＝2，

当且仅当＝ab时等号成立，

所以＋＋ab≥＋ab≥2，

当且仅当即a＝b＝时取等号．

利用基本不等式证明不等式的方法技巧

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”转换，常见的变形技巧有：

拆项，并项，也可乘上一个或加上一个，“1”的代换法等．

考点二　利用基本不等式求最值|

（1）已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是（　　）

A．2　　　　　　　　　　　B．2

C．2D．4

（2）（2015·高考重庆卷）设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．

[解析]　

（1）由lg2x＋lg8y＝lg2得，2x×23y＝2x＋3y＝2，即x＋3y＝1，＋＝×（x＋3y）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当即最小值为4.故选D.

（2）（＋）2＝a＋b＋4＋2·≤9＋2·＝9＋a＋b＋4＝18，所以＋≤3，当且仅当a＋1＝b＋3且a＋b＝5，即a＝，b＝时等号成立．所以＋的最大值为3.

[答案]　

（1）D　

（2）3

条件最值的求解通常有两种方法

一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函关系，然后代入代式转为函的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常代换的方法构造和或积为常的式子，然后利用基本不等式求解最值．

1．（2016·长春调研）若两个正实x，y满足＋＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实m的取值范围是（　　）

A．（－∞，－2）∪[4，＋∞）

B．（－∞，－4]∪[2，＋∞）

C．（－2,4）

D．（－4,2）

解析：

x＋2y＝（x＋2y）＝2＋＋＋2≥8，当且仅当＝，即4y2＝x2时等号成立．由x＋2y>m2＋2m恒成立，可知m2＋2m<8，m2＋2m－8<0，解得－4

答案：

D

2．（2016·洛阳统考）若正实x，y，z满足x2＋4y2＝z＋3xy，则当取最大值时，＋－的最大值为（　　）

A．2B.

C．1D.

解析：

∵z＝x2＋4y2－3xy，x，y，z∈（0，＋∞），∴＝＝≤1（当且仅当x＝2y时等号成立），此时＋－＝－，令＝t>0，则＋－＝t－t2≤（当且仅当t＝1时等号成立）．故选D.

答案：

D

考点三　基本不等式的实际应用|

　某工企业2015年年底投入100万元，购入一套污水处设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处费用为y（单位：

万元）．

（1）用x表示y；

（2）当该企业的年平均污水处费用最低时，企业需重新更换新的污水处设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处设备．

[解]　

（1）由题意得，

y＝，

即y＝x＋＋1.5（x∈N*）．

（2）由基本不等式得：

y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，

当且仅当x＝，即x＝10时取等号．

故该企业10年后需要重新更换新的污水处设备．

利用基本不等式求解实际应用题的方法

（1）此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立学模型，转为学问题求解．

（2）当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函的单调性求解．

3.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD的周长为4，沿AC将△ABC翻折，使点B落到点B′的位置，AB′交DC于点P.研究发现当△ADP的面积最大时最节能，则最节能时△ADP的面积为（　　）

A．2－2　　　　　B．3－2

C．2－D．2

解析：

设AB＝x，DP＝y，则BC＝2－x，PC＝x－y.因为x>2－x，故1

答案：

B

　　11.忽视等号成立条件致误

【典例】　

（1）已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．

（2）函y＝1－2x－（x<0）的最小值为________．

[解析]　

（1）∵x>0，y>0，

∴x＋y＝（x＋y）＝3＋＋≥3＋2（当且仅当y＝x时取等号）

∴当x＝＋1，y＝2＋时，（x＋y）min＝3＋2.

（2）∵x<0，∴y＝1－2x－＝1＋（－2x）＋≥1＋2＝1＋2，当且仅当x＝－时取等号，故y的最小值为1＋2.

[答案]　

（1）3＋2　

（2）1＋2

[易误点评]　

（1）多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：

1＝＋≥2，

∴≥2，∴x＋y≥2≥4，得（x＋y）min＝4.

（2）没有注意到x<0这个条件误用基本不等式得2x＋≥2.

[防范措施]　

（1）利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件．

（2）尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．

[跟踪练习]　已知x，y为正实，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．

解析：

∵12＝4x＋3y≥2，

∴xy≤3.当且仅当

即时xy取得最大值3.

答案：

3

A组　考点能力演练

1．（2016·汉中一模）“a≥0，b≥0”是“≥”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：

由a≥0，b≥0可得≥，当且仅当a＝b时取等号．反之，若≥，则ab≥0，可得a≥0，b≥0，故选C.

答案：

C

2．（2016·杭州一模）设a>0，b>0.若a＋b＝1，则＋的最小值是（　　）

A．2　　　　　　　　　　B.

C．4D．8

解析：

由题意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以最小值为4.

答案：

C

3．若a>0，b>0且a＋b＝7，则＋的最小值为（　　）

A.B．1

C.D.

解析：

本题考查利用基本不等式求最值．因为b＝7－a，所以＋＝＋＝（a＋9－a）·＝≥（4＋1＋4）＝1，当且仅当＝时取得等号，故选B.

答案：

B

4．设x，y∈R，a>1，b>1.若ax＝by＝2，a2＋b＝4，则＋的最大值为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

由ax＝by＝2得x＝loga2＝，y＝logb2＝，＋＝2log2a＋log2b＝log2（a2·b）≤log22＝2（当且仅当a2＝b＝2时取等号）．

答案：

B

5．若直线ax＋by－1＝0（a>0，b>0）过曲线y＝1＋sinπx（0

A.＋1B．4

C．3＋2D．6

解析：

本题考查三角函的性质与基本不等式．注意到曲线y＝1＋sinπx（0

答案：

C

6．（2016·济南一模）若实x，y满足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，则t＝2x＋2y的取值范围是________．

解析：

设a＝2x，b＝2y，则a>0，b>0，由条件得a2＋b2＝2（a＋b），∵（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab≤2（a2＋b2），当且仅当a＝b时取等号，∴（a＋b）2≤4（a＋b），∴a＋b≤4，又（a＋b）2－2（a＋b）＝2ab>0.∴a＋b>2，∴2

答案：

（2,4]

7．（2015·郑州二模）已知a，b均为正，且2是2a，b的等差中项，则的最小值为________．

解析：

由于2是2a，b的等差中项，故2a＋b＝4，又a，b均为正，故2ab≤2＝4，当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取等号，所以的最小值为.

答案：

8．已知函y＝logax＋1（a>0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线＋－4＝0（m>0，n>0）上，则m＋n的最小值为