中考数学专题复习 第五单元 四边形 课时训练二十六正方形及中点四边形练习文档格式.docx

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cm）不正确的是（　　）

图K26-1

图K26-2

5.[2017·

黔东南州]如图K26-3,正方形ABCD中,E为AB中点,FE⊥AB,AF=2AE,FC交BD于点O,则∠DOC的度数为（　　）

图K26-3

A.60°

B.67.5°

C.75°

D.54°

6.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:

①AB=BC;

②∠ABC=90°

;

③AC=BD;

④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使▱ABCD成为正方形（如图K26-4）,现有下列四种选法,你认为错误的是（　　）

图K26-4

A.①②B.②③C.①③D.②④

7.[2017·

黄冈]已知:

如图K26-5,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则∠BED=　　　　度. 

图K26-5

8.[2017·

大庆]如图K26-6,点M,N在半圆的直径AB上,点P,Q在

上,四边形MNPQ为正方形.若半圆的半径为

则正方形的边长为　　　　. 

图K26-6

9.[2018·

深圳]如图K26-7,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是　　　　. 

图K26-7

10.[2018·

武汉]以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则∠BEC的度数是　　　　. 

11.[2017·

义乌]如图K26-8为某城市部分街道示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线BD上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500m,小敏行走的路线为B→A→G→E,小聪行走的路线为B→A→D→E→F,若小敏行走的路程为3100m,则小聪行走的路程为　　　　m. 

图K26-8

12.[2018·

舟山]如图K26-9,等边三角形AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF=45°

.

求证:

矩形ABCD是正方形.

图K26-9

13.如图K26-10,四边形ABCD是正方形,点E是BC边的中点,∠AEF=90°

且EF交正方形外角的平分线CF于点F.

AE=EF.

图K26-10

|拓展提升|

14.[2018·

烟台]【问题解决】

一节数学课上,老师提出了这样一个问题:

如图K26-11①,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB的度数吗?

小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:

思路一:

将△PBC绕点B逆时针旋转90°

得到△BP'

A,连接PP'

求出∠APB的度数;

思路二:

将△APB绕点B顺时针旋转90°

得到△CP'

B,连接PP'

求出∠APB的度数.

请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.

【类比探究】

如图②,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=

求∠APB的度数.

图K26-11

参考答案

1.C　[解析]①正确;

由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四边都相等,由此可判定所得四边形是菱形,故②错误;

对角线相等的平行四边形是矩形,对角线相等的四边形不一定是矩形,故③错误;

④正确.综上所述,正确的说法有2个.故选C.

2.B

3.D　[解析]如图,四边形EFGH是矩形,且E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,

根据三角形中位线定理得:

EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG.

∵四边形EFGH是矩形,即EF⊥FG,

∴AC⊥BD.

4.A　[解析]选项A不正确.理由:

正方形的边长为10,所以对角线=10

≈14,因为15>

14,所以这个图形不可能存在.故选A.

5.A　[解析]连接BF,∵E为AB中点,FE⊥AB,∴EF垂直平分AB,∴AF=BF.∵AF=2AE,

∴AF=AB,∴AF=BF=AB,∴△ABF为等边三角形,∴∠FBA=60°

BF=BC,∴∠FCB=∠BFC=15°

∵四边形ABCD为正方形,∴∠DBC=45°

根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠DOC=15°

+45°

=60°

6.B　[解析]此题考查正方形的判定,即在平行四边形的基础上,需要再同时具备矩形和菱形的特征.①是菱形的特征;

②是矩形的特征;

③是矩形的特征,④是菱形的特征.而B中都是矩形的特征.故选B.

7.45　[解析]由题意得,AB=AE,∠BAD=90°

∠DAE=∠AED=60°

所以∠BAE=150°

∠AEB=15°

.所以∠BED=∠AED-∠AEB=60°

-15°

=45°

8.2　[解析]连接OP,设正方形的边长为a（a>

0）,则ON=

PN=a,在Rt△OPN中,ON2+PN2=OP2,即

2+a2=（

）2,解得a=2.

9.8　[解析]∵四边形ACDF是正方形,∴AC=AF,∠CAF=90°

∴∠CAE+∠BAF=90°

又∠CAE+∠ECA=90°

∴∠ECA=∠BAF,则在△ACE和△FAB中,∵

∴△ACE≌△FAB（AAS）,∴AB=CE=4,

∴阴影部分的面积=

AB·

CE=

×

4×

4=8.

10.30°

或150°

　[解析]如图①,∵△ADE是等边三角形,

∴DE=DA,∠DEA=∠1=60°

∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠2=90°

∴∠CDE=150°

DE=DC,∴∠3=

（180°

-150°

）=15°

同理可求得∠4=15°

∴∠BEC=30°

如图②,∵△ADE是等边三角形,∴DE=DA,∠1=∠2=60°

∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠CDA=90°

∴DE=DC,∠3=30°

∴∠4=

-30°

）=75°

同理可求得∠5=75°

.∴∠BEC=360°

―∠2―∠4―∠5=150°

故答案为30°

11.4600　[解析]连接GC,由四边形ABCD为正方形可得△ADG≌△CDG,所以GC=AG,由四边形GECF为矩形可得GC=EF,所以EF=AG,因为小敏行走的路线为B→A→G→E,所以BA+AG+GE=3100m.因为小聪行走的路线为B→A→D→E→F,所以BA+AD+DE+EF=BA+1500+GE+AG=3100+1500=4600（m）.

12.证明:

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠B=∠D=∠C=90°

∵△AEF是等边三角形,

∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°

∵∠CEF=45°

∴∠CFE=∠CEF=45°

∴∠AFD=∠AEB=180°

-45°

-60°

=75°

∴△ABE≌△ADF,

∴AB=AD,

∴矩形ABCD是正方形.

13.证明:

取AB的中点H,连接EH.

∵∠AEF=90°

∴∠2+∠AEB=90°

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠1+∠AEB=90°

∴∠1=∠2,

∵E是BC的中点,H是AB的中点,

∴BH=BE,AH=CE,

∴∠BHE=45°

∵CF是∠DCG的平分线,

∴∠FCG=45°

∴∠AHE=∠ECF=135°

在△AHE和△ECF中,

∴△AHE≌△ECF（ASA）,∴AE=EF.

14.[解析]将△PBC绕点B逆时针旋转90°

得到△P'

BA,连接PP'

得到等腰直角三角形BP'

P,从而得到PP'

=2

∠BPP'

又AP'

=CP=3,AP=1,∴AP2+P'

P2=1+8=9=P'

A2,∴根据勾股定理的逆定理得∠APP'

=90°

从而求出∠APB=45°

+90°

=135°

得到△P'

方法和上述类似,求出∠APB=45°

解:

【问题解决】如图①,将△PBC绕点B逆时针旋转90°

①

∵P'

B=PB=2,∠P'

BP=90°

∴PP'

又AP'

=CP=3,AP=1,

∴AP2+P'

A2,

∴∠APP'

∴∠APB=45°

②

【类比探究】如图②,将△PBC绕点B逆时针旋转90°

B=PB=1,

∠P'

=

=CP=

AP=3,

P2=9+2=11=P'

∴∠APB=90°