普通高等学校招生全国统一考试高考数学临考冲刺卷一理.docx

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普通高等学校招生全国统一考试高考数学临考冲刺卷一理

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷

（一）

理科数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：

每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：

用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．为虚数单位，则复数（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】，故选A．

2．已知集合，集合，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】，，所以，选C．

3．如图，四边形是边长为2的正方形，曲线段所在的曲线方程为，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】根据条件可知，，阴影部分的面积为，

所以，豆子落在阴影部分的概率为．故选A．

4．在中，角，，所对应的边分别为，，．若角，，依次成等差数列，且，．则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】∵，，依次成等差数列，∴，∴由余弦定理得：

，得：

，∴由正弦定理得：

，故选C．

5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A．7B．6C．5D．4

【答案】B

【解析】几何体如图，则体积为，选Ｂ．

6．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的最大值是（）

A．1B．C．D．

【答案】D

【解析】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则=，

又由在区间上单调递增，则在上递减，

则，

则有，解可得，即的最大值是，故选D．

7．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线的准线方程为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由题意得，，，即准线方程为，选D．

8．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则的系数为（）

A．50B．70C．90D．120

【答案】C

【解析】在中，令得，即展开式中各项系数和为；又展开式中的二项式系数和为．由题意得，解得．

故二项式为，其展开式的通项为，．令得．所以的系数为．选C．

9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：

“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？

”其意思为：

“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？

”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中的单位为钱，则输出的，分别为此题中好、坏田的亩数的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】设好田为，坏田为，则，，

A中；B中正确；C中，；D中，所以选B．

10．已知函数，若集合含有4个元素，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由题得，，，解得：

或，

所以或，

设直线与在上从左到右的第四个交点为A，第五个交点为B，则，．

由于方程在上有且只有四个实数根，

则，即，解得，故选D．

11．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，是边长为2的等边三角形，若球的体积为，则直线与平面所成角的正切值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由球体积知球半径为，设的外心为，由正弦定理得，由得，设的中点为，则平面，连接，则为直线与平面所成的角，，，，故选A．

12．设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则双曲线的离心率为（）

A．B．C．2或3D．或

【答案】D

【解析】∵，分别为双曲线的左、右焦点，

∴，，∵，

∴点在双曲线的右支，的内切圆半径为．

设，则．∵，即，

∴，即的外接圆半径为．

∵的外接圆半径是其内切圆半径的倍，

∴，即．∴

∴或，故选D．

第Ⅱ卷

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分．

13．已知，，，若与平行，则__________．

【答案】-3

【解析】已知，，若与平行则，故答案为：

-3．

14．已知点，若点是圆上的动点，则面积的最小值为__________．

【答案】

【解析】将圆化简成标准方程，

圆心，半径，因为，，所以，

要求面积最小值，即要使圆上的动点到直线的距离最小，而圆心到直线的距离为，所以的最小值为，故答案为．

15．_____________．

【答案】

【解析】，

，故答案为．

16．记表示实数，，的平均数，表示实数，，的最大值，设，，若，则的取值范围是__________．

【答案】．

【解析】作出的图象如图所示

由题意，故，，

当时，，得，

当时，，得，舍去，

当时，，得，舍去，

当时，，恒成立，

综上所述，的取值范围是．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：

60分，每个试题12分．

17．已知数列的前项和为，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为，证明：

．

【答案】

（1）；

（2）见解析．

【解析】（I）当时，有，解得．……1分

当时，有，则

，……3分

整理得：

，……4分

数列是以为公比，以为首项的等比数列．……5分

，

即数列的通项公式为：

．……6分

（2）由

（1）有，……7分

则，……8分

……10分

，故得证．……12分

18．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标和，制成下图，其中“”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户．

若，则认定该户为“绝对贫困户”，若，则认定该户为“相对贫困户”，若，则认定该户为“低收入户”；

若，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．

（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；

（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3户中乙村的户数，求的分布列和数学期望；

（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标的方差的大小（只需写出结论）．

【答案】

（1）0.1；

（2）见解析；（3）见解析．

【解析】

（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，……1分

所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为．……3分

（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，……4分

的可能值为0，1，2，3．从而……5分

，……6分

，……7分

，……8分

．……9分

所以的分布列为：

故的数学期望．……10分

（3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差．……12分

19．如图，在直三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，为的中点，侧棱，点在上，点在上，且，．

（1）证明：

平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】

（1）见解析；

（2）．

【解析】

（1）∵是等边三角形，为的中点，

∴，∴平面，得．①……2分

在侧面中，

，，

∴，，

∴，∴．②……4分

结合①②，又∵，∴平面，……5分

又∵平面，∴平面平面，……6分

（2）如图建立空间直角坐标系．

则，，．

得，，，……7分

设平面的法向量，则，

即得取．……9分

同理可得，平面的法向量，……10分

∴，……11分

则二面角的余弦值为．……12分

20．已知定点、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在请说明理由．

【答案】

（1）；

（2）见解析．

【解析】

（1）设动点，则，，

，即．……3分

化简得：

，……4分

由已知，故曲线的方程为．……5分

（2）由已知直线过点，

设的方程为，则联立方程组，

消去得，

设，，则，……7分

直线与斜率分别为，，

．……10分

当时，；

当时，．

所以存在定点，使得直线与斜率之积为定值．……12分

21．设，已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）试判断函数在上是否有两个零点，并说明理由．

【答案】

（1）见解析；

（2）函数没有两个零点．

【解析】

（1），……1分

，

，

设，则，

①当时，，，即，

∴在上单调递增；……3分

②当时，，

由得，

，

可知，由的图象得：

在和上单调递增；

在上单调递减．……5分

（2）假设函数有两个零点，由

（1）知，，

因为，则，即，

由知，所以，

设，则（＊），……8分

由，得，

设，得，

所以在递增，得，即，……11分

这与（＊）式矛盾，所以上假设不成立，即函数没有两个零点．…12分

（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）

22．在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）求已知曲线和曲线交于，两点，且，求实数的值．

【答案】

（1），；

（2）或．

【解析】

（1）的参数方程，消参得普通方程为，……2分

的极坐标方程为两边同乘得即；……5分

（2）将曲线的参数方程（为参数，）代入曲线，得，……6分

由，得，……7分

设，对应的参数为，，由题意得即或，…8分

当时，，解得，……9分

当时，解得，

综上：

或．……10分

23．选修4-5：

不等式选讲

已知，使不等式成立．

（1）求满足条件的实数的集合；

（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值．

【答案】

（1）；

（2）18．

【解析】

（1）令，……2分

则，……4分

由于使不等式成立，有．……5分

（2）由

（1）知，，

根据基本不等式，

从而，当且仅当时取等号，……7分

再根据基本不等式，当且仅当时取等号．

所以的最小值为6．……10分