两角和差正余弦公式的证明docx.docx

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两角和差正余弦公式的证明

两角和差的正余弦公式是三角学屮很重要的一组公式。

下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。

由角°,声的三角函数值表示°•"的正弦或余弦值，这正是两角和差的正余弦公式的功能。

换言Z,要推导两角和差的止余弦公式，就是希望能得到一个等式或方程，将gaS或与％〃的三角函数联系起來。

根据诱导公式，山角°的三角函数可以得到Y的三角函数。

因此，由和角公式容

易得到对应的差角公式，也可以由差角公式得到对应的和角公式。

乂因为

即原角的余弦等于其余角的正弦，据此，町以实现正弦公式和余弦

公式的相互推导。

因此，只要解决这纽公式屮的一个，其余的公式将很容易得到。

（一）在单位圆的框架下推导和差角余弦公式

注意到单位圆比较容易表示戸和，而且角的终边与单位鬪的交点坐标可以用三角函数值表示，因此，我们可以用单位圆來构造联系8＜在*妙与〃的三角函数值的等式。

1.和角余弦公式

（方法1）如图所示，在直角坐标系町中作单位圆O,并作角"和使角a的始边为血，交11°于点A,终边交于点B；角用始边为＜»,终边交

11°于点C：

角—庐始边为血，终边交13°于点。

从而点A,B,C和D的坐标分别为

,,°

由两点间距离公式得

▲C2=8（^S-功2十*（^5=2-2co

9

注意到JCM因此*«79=口・0口・〃_鼻血—/>。

注记：

这是教材上给出的经典证法。

它借助单位圆的框架，利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段，从而得到我们所要的等式。

注意，公式中的0和"为任意角。

2.弟用余弦公式

仍然在单位圆的框架下，用平而内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段，也可以得到我们希望的三角等式。

这就是

（方法2）如图所示，在坐标系勿中作单位圆°,并作角a和A使角a和P的始边均为g交口°于点c,角a终边交口°于点A,角戸终边交口°于点。

从而点A,B的朋标为Jfe-A—/9。

由两点间距离公式得

山余弦定理得

从而有=coiacM^-nam/7

注记：

方法2中用到了余弦定理，它依赖于厶°•是三角形的内角。

因此，还需要补充讨论角°和〃的终边共线，以及厶O■大于囂的情形。

容易验证，公式在以上情形屮依然成立。

在上边的证明中，用余弦定理计算"的过程也可以用勾股定理来进行。

也可以用向量法来证明。

则（ZA（cosa・sina）.（）fi（cossin/?

）.

由向械数址积的定义.有

（）A•ofi=\（）A\•\ofi\cos（a—z?

）=cos（a—z?

>.由向秋数笊积的坐标表示.冇

（）A•T）ti—（wsa・sina）•（cossin；i）

—cosacosp+sinasin

cos（a/?

）一cosacos沪sinasintl

（-）在三角形的框架下推导和差角正弦公式

除了在单位閲的框架下推导和差角的余弦公式，还町以在三角形中构造和角或差角來证明和差角的正弦公式。

1.和角正弦公式

（一）

ZO«=aNOU=/>,则。

从而有

整理可得:

从而有:

注意到ID+/9=ftflKEac/7n（

注记：

在方法3中，用“和与底角a,卫相关的三角函数，从两个角度来表示

边上高妙，从而得到所希望的等式关系。

这一证明所用的图形是棊于钝角三角形的，对基于直角或锐角三角形的情形，证明过程类似。

利用方法3中的图形，我们用类似于恒等变形的方式，可以得到下面的

（方法4）如图所示，盹为3^的士边上的高，B为如边上的高。

zca=aWIN■尼则ZDO=a+/r

AE_JD

注意到Agmu,则有＜3一加,即。

ADO

架与方法3,4所用的图形框架是相同的。

（方法5）如图所示，6为MW的"边上的高。

设

上dt■庐，则有Z40=»-Ga+/O90由正弦定理可得

JCSCABd

a*j9n

•其中d为se的外接圆直径。

、11=jICcbml+BCcbb0得rfflB（

从而冇

2.和角正弦公式

（二）

方法3,4和5利用的图形框架是将角«,戸放在三角形的两个底角上。

如果将这两

个角的和作为三角形的一个内角，将会有下面的几种证法（方法6〜11）。

zt^x=anc血r=/j则zarz=a.

ZK4C=a+X7

（方法6）如图所示，作血丄于D,交外接圆于E,连M和＜加。

设

设3C的外接圆肓径为d,则侑,

所以9C=BD^QJ

注意到>c=rf"（.从而=■■«<»/?

+»«■■/J

（方法7）如图所示，砂为3C的&边上的高，

设

Z4tX=aZMX=fl则厶设CK=h则

^ir=—ciK=h^flJC=Jhnc^^*=^X+>E=*（m

，,,

M==*e・a*・M9m

o

乂JED=・C^g询

从而QBa+*B/9cwa=sccJU（a+J9

整理可得a^s+/9=ahacai^r+cKaBB/I

（方法8）如图所示，作妙丄OC于D,过D作M丄皿于F,QG丄应于g。

设厶OC=aBO"则厶设

XD-TKB.fiGD-rta^fl<0=ADcnKa=rflB^*cnia

,9

CE=HF=<2Dn.a=rcoi/7Ka

o

所以jU=>G4-^E=7^ift^cnB

注意到宓则冇

注记：

我们用两种不同的方法计算得到了和角的正弦公式。

如果我们卅两种方法來计算皿，则可以得到和角的余弦公式。

由上图可得

从而可得=

方法6,7和8都是用角6应的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段，从

而构造出我们所希望的等式关系。

（方法9）如图所示,设6为3C的

少边上的髙。

设ZC«=a

Zd"JC”，>C=a?

从而有

4D=bcosaBD=acos/3

>

CD=bsina=asinJ3

因此s二皿=S2ADC+S=nBC

=-.4DJ3D+-BDJ2D

22

=—icosaZhsinZ?

+-<7cosZlisina

22

=丄ab（sinacos0+cosasinP）

又因为S*sin厶S詁sin（a+Q

从而可得

sin（

方法9利用面积关系构造三角恒等式。

下面这两个证法的思路则有所不同。

AB=dcos（3BC=dsinJ3

s

CD=dsinaDA=dcosa

3

BD=〃sin（a+0）

由托勒密定理知

ACZBD=ABJ2D+ADHC

dTdsin（dz+（5）=rfcossina^dcosa~dsinJ3

整理即得

sin（a+0）=sinacos0+cosasinJ3

（方法io）如图所示，设血为ga的外接圆直径d,长度为&设

则上DJf=a~i77,从而

AB-dcosJ3BC=dsinJ3

9

CD=dsinazDA=dcosa

BD=dsin（（z+P）

由托勒密定理知

ACTED=ABHD+ADHC

dJJsin（cz+4=dcosySZc/sina^dcosCtZdsinf3

整理即得

sin（tz+0）=sinacosJ3+cosasin{3

注记：

这一证明用到了托勒密定理：

若"和是圆内接四边形的对角线，则冇

Af十血=&coB/Dfa.

o

（方法11）如图所示，6为SC的▲■边上的高。

NK3>=/7则=设<3>=孔则

AB=AD+BD=7?

（tana+tan/7）

AC=hsecaBC=hsec/3

3

由正弦定理可得・

AB_AC_BCsin（（Z+P）sin-BsinA

即

从而

即

整理即得

AB_,4C_BCsin（a+0）cos（3cosa

ABAC+BC

sin（（z+p）cosQ+cosa

血（tana+tanQ_/z（seca+sec/3）

sin（a+0）cosp+cosa

sin（（z+/?

）=sinacos（3+cosasin0

方法io和II将某一线段作为基本量，利用与角a,严相关的三角函数表示其它线段，再通过联系这些线段的几何定理（托勒密定理或正弦定理），构造出我们希望的等式关系。

3.差角正弦公式

0C

仍然还是在三角形中，我们可以在三角形的内角里构造出差角来。

方法12和13便是用这种想法來证明的。

CD=bsinJ3DE=bsin（a—J3）

J

DA=DEseca=bsin（cz—（3）seca

因此有

AC=CD+DA=i（sin0+sin（a—）S）seca）

注意到

BC=bcosJ3AC=BCtana=bcos0tana

从而

sin/5+sin（tz—>5）sec（z=cosJ3tana

整理可得

sin（a-0）=sinacosJ3-cosasin0

■■■■

A

（方法⑶如图所示，"为ge的外接圆直径，长度为do设厶個=%

4L«D=/r,则NCKD=“，ZG«=«-/»0从而

AD=dcosaBD=dsina

BC—dsin（（z—/?

）AC—dcos（tz—p）

DE=ADtan（3-dcosatan0

BE=BCsec（3=dsin（a-/?

）sec（3

所以

BD=BE+DE=rf（sin（（z-J3）sec4-cosatan/J）

注意到BD=dsina^而

sina=sin（cr-p）sec（3^cosatan0

整理可得

sin（（z-/?

）=sinacos0—cos&sin0

方法12和13的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段，借此来构造等式关系。

很显然，在这十二种证法中，方法1和2更具普遍性。

换言之，这两种方法中出现的角°,戸是任意角。

而其余方法中，角么和用则有一定的限制，它们都是三角形的内角（英至都是锐如）。

因此，对于方法3~13,我们需要将我们的结果推广到角。

和

R是任意角的情形。

具体而言，我们要证明：

如果公式对任意1成立，则对

任意角也成立。

容易验证,角么和Q中至少有一个是轴上角（即终边在处标轴上的角）,我们的公式是成立的。

下面证明，角a和戸都是彖限角（即终边在坐标系的某一象限中的

角）时，我们的公式也成立。

不妨设a为第二象限角，〃为第三象限角，从而有

c兀a71

a—ImTi^r—ay0

2?

2,加wZ；

JI

0=（2n+l）兀+0].°v0iv㊁空z

因此有

sina=cosaxcosa=—sin%

sin0=-sin