汉中市届高三第二次教学质量检测数学理试题含答案.docx
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汉中市届高三第二次教学质量检测数学理试题含答案
汉中市2017届高三年级教学质量第二次检测考试
数学（理科）
注意事项：
1、选择题请按题号用2B铅笔填涂方框，非选择题，除作图可使用2B铅笔外，其余各题按题号用0.5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效。
2、按照题号在对应的答题区域内作答，超出各题区域的答案无效，在草稿纸、试题上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：
本题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项符合题目要求。
1、已知全集，，，则（）．
A．B．C．D．
2、已知复数，则z在复平面上对应的点在第（）象限．
A．一B．二C．三D．四
3、汉中最美油菜花节期间，5名游客到四个不同景点游览，每个景点至少有一人，则不同的游览方法共有（）种。
A．120B．625C．240D．1024
4、设向量，，则“”是“”的（）条件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
5、平面直角坐标系中，在直线x=1，y=1与坐标轴围成的正方形内任取一点，则此点落在曲线下方区域的概率为（）．
A．B．C．D．
6、如图所示，三个直角三角形是一个体积为的几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积（单位：
）等于（）．
A．B．C．D．
7、公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的为（）（参考数据：
）．
A．12B．4C．36D．24
8、在中，分别为内角所对的边，若，则的最大值为（）A．4B．C．D．2
9、如图，F1、F2是双曲线－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的两支分别交于点A、B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B.4C.D.
10、已知函数f（x）＝sin2x＋cos2x－m在上有两个零点x1，x2，则tan的值为（ ）．A．B．C．D．
11、已知实数x，y满足，则的的最小值为（）．
A．1B．C．D．4
12、已知函数，若，且，则的取值范围是（）．
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，将答案填写在答题卡中的横线上）．
13、为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖规律,得如下实验数据,计算得回归直线方程为.由以上信息,得到下表中c的值为．
天数x（天）
3
4
5
6
7
繁殖个数y（千个）
2.5
3
4
4.5
c
14、的展开式中整理后的常数项为．
15、已知直线l：
y＝k（x－2）与抛物线C：
y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|＝3|BF|，则直线l的倾斜角为．
16、已知偶函数的导函数为，且满足，当时，，则使成立的的取值范围为 ．
三、解答题（解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．
17、（本小题满分12分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：
小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人．
（1）求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间的人数；
（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望．
18、（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有成立．记．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：
．
19、（本小题满分12分）已知直三棱柱中，△ABC为等腰直角三角形，
∠BAC＝90°，且，D、E、F分别为、、的中点．
（1）求证：
直线DE∥平面ABC；
（2）求锐二面角的余弦值．
20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，其右焦点为F（1,0）。
（1）求椭圆E的方程；
（2）若P、Q、M、N四点都在椭圆上，已知与共线，与共线，且，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．
21、（本小题满分12分）已知函数．
（1）设函数，求的单调区间；
（2）若存在常数k，m使得对任意恒成立，且对任意恒成立，则称直线为函数与的“分界线”，试问：
与是否存在“分界线”？
若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上所选题目对应的题号涂黑。
22、（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.（I）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）点P、Q分别在直线l和圆C上运动，求
∣PQ∣的最小值。
23、（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
设函数，
（1）若，解不等式；
（2）如果，，求a的取值范围．
汉中市2017届高三年级教学质量第二次检测考试
数学（理科）参考答案
一、选择题：
本题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
B
A
B
D
C
A
B
C
D
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡中的横线上）
13、6；14、252；15、或；16、（-1,0）∪（0,1）
三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、解析：
（1）由直方图知，（0.15+0.125+0.1+0.0875+a）×2=1，解得a=0.0375………2分
因为甲班学习时间在区间[2,4]的有8人，所以甲班的学生人数为，所以甲、乙两班人数均为40人。
………3分
所以甲班学习时间在区间[10,12]的人数为40×0.0375×2=3（人）………5分
（2）乙班学习时间在区间[10,12]的人数为40×0.05×2=4（人）………6分
由
（1）知甲班学习时间在区间[10,12]的人数为3人，在两班中每天平均学习时间大于10小时的学生共7人。
的所有可能取值为0,1,2,3.则：
,,.………8分
所以随机变量的分布列为
所以.………12分
18、【解析】
（1）在中，令得.……2分
因为对任意正整数，都有成立，时，，
得，，所以，………4分
又，所以数列是以为首项，4为公比的等比数列，即，所以.………7分
（2）由题意及
（1）知，………9分
所以.
由于为单调增函数，则故………12分
19、【解析】
（1）方法一：
设AB的中点为G，连接DG,CG，则,四边形DGCE为平行四边形，∴DE∥GC，又,∴DE∥平面ABC．………6分
方法二：
（空间向量法）如图建立空间直角坐标系O—xyz，令AB＝AA1＝4，则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B1（4，0，4），D（2，0，2）.……2分，平面ABC的法向量为.
∵，∴，又∵，∴DE∥平面ABC．………6分
（2）∵,,,∴,∴,∵∴B1F⊥平面AEF.
∴平面AEF的一个法向量为.………8分
设平面B1AE的法向量为，则由，即.
令x＝2，则z=-2,y=1.………12分
20、【解析】
（1），故椭圆方程为………4分
（2）如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（1,0），且PQ⊥MN，设直线PQ的斜率为k（k≠0），则PQ的方程为y=k（x-1）将此式代入椭圆方程得，于是
，………7分
同理：
．
则………10分
当时，四边形PMQN的面积取最小值．
当直线PQ的斜率为0或不存在时，四边形PMQN的面积为2．
综上：
四边形PMQN的面积的最小值和最大值分别为和2．………12分
21、【解析】
（1）由于函数，，
因此
则＝＝.………3分
当时，＜0，所以在（0，）上是减函数；
当时，＞0，所以在（，＋）上是增函数.………5分
因此，函数的单调减区间是（0，），单调增区间是（，＋）.
（2）由（Ⅰ）可知，当时，取得最小值（）＝0，
则与的图象在处有公共点（，）.
假设与存在“分界线”，则其必过点（，）………6分
故设其方程为：
，即，
由对恒成立，得对恒成立，
所以恒成立，
因此，“分界线”的方程为：
.………9分
下面证明对恒成立.
设，则，
所以当时，，当时，＜0，
当时，取得最大值0，则对恒成立.
故所求“分界线”的方程为：
.………12分
22、【解析】（I）直线l的普通方程为x-y+1=0,圆C的直角坐标方程易求得：
………5分
（Ⅱ）由平面几何知识知：
最小值为圆心C到l的距离减半径，∵
∴∣PQ∣的最小值为。
………10分
23、【解析】
（1）当时，，由得：
，
（法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为。
………5分
（法二）不等式可化为或或，
∴不等式的解集为。
………5分
（2）若，，不满足题设条件；
若，，的最小值为；
若，，的最小值为。
所以对于，的充要条件是，从而a的取值范围。
………10分
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