完整word版流体力学习题及答案第五章.docx

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完整word版流体力学习题及答案第五章

第五章势流理论

5-1流速为u0=10m/s沿正向的均匀流与位于原点的点涡叠加。

已知驻点位于（0，-5），试求：

（1）点涡的强度；

（2）（0,5）点的流速以及通过驻点的流线方程。

答：

（1）求点涡的强度：

设点涡的强度为，则均匀流的速度势和流函数分别为：

，；

点涡的速度势和流函数为：

，；

因此，流动的速度势和流函数为：

，

；

则速度分布为：

，

；

由于为驻点，代入上式第一式中则得到：

，

整理得到：

。

（2）求点的速度：

将代入到速度分布中，得到：

，

；

将、代入上述速度分布函数，得到：

（m/s），

（m/s）；

（3）求通过点的流线方程：

由流函数的性质可知，流函数为常数时表示流线方程，则流线方程为：

；

将、代入，得到：

；

则过该点的流线方程为：

，

整理得到：

5-2平面势流由点源和点汇叠加而成，点源位于（-1，0），其流量为θ1=20m3/s，点汇位于（2,0）点，其流量为θ2=40m3/s，已知流体密度为ρ=1.8kg/m3，流场中（0，0）点的压力为0，试求点（0,1）和（1,1）的流速和压力。

答：

（1）求、和点的速度：

点源的速度势为：

，

点汇的速度势为：

；

，

；

①将、代入，并注意到及，得到点的速度为：

，

；

其合速度为：

（m/s）。

②将、代入，得到点的速度为：

，

；

其合速度为：

（m/s）。

③将、代入，得到点的速度为：

，

；

其合速度为：

（m/s）。

（2）设、和点的压力分别为、和，且由题意知，则由伯努利方程：

，

因此可得：

（N/m2），

（N/m2）。

5-3直径为2m的圆柱体在水下深度为H=10m以水平速度u0=10m/s运动。

试求

（1）A、B、C、D四点的绝对压力；

（2）若圆柱体运动的同时还绕本身轴线以角速度60r/min转动，试决定驻点的位置以及B、D两点的速度和压力。

此时若水深增至100m，求产生空泡时的速度（注：

温度为15°时，水的饱和蒸汽压力为2.332×103N/m2）。

答：

（1）求A、B、C、D四点的绝对压力：

设A、B、C、D四点的绝对压力分别为、、和，相对压力分别为、、和；并注意到其压力系数分别为1、-3、1和-3，则：

A点的绝对压力：

（2）求驻点位置和B、D点的速度和压力：

圆柱半径（m），旋转角速度（rad/s）；

因此漩涡强度为：

；

柱面上处，速度分布为：

，

；

①在驻点（A、C点），即：

将、和代入上式，得到：

，

则：

，；

②在B点，，则速度为：

（m/s）；

压力系数为：

；

相对压力为：

（N/m2）；

其中B点静水压力为：

（N/m2），

则B点处绝对压力为：

（N/m2）；

③在D点，，则速度为：

（m/s）；

压力系数为：

；

相对压力为：

（N/m2）；

其中D点静水压力为：

（N/m2），

则D点处绝对压力为：

（N/m2）；

（3）由于B点的压力系数最低，首先在B点发生空泡；当水深增至100m时，B点的静水压力为：

（N/m2），

压力系数为：

；

绝对压力为：

B点发生空泡的临界值为，且由给定条件知（N/m2）；代入上式得到：

，

将上式整理得到关于的一元二次方程：

其中系数：

，

，

；

解得：

（m/s）。

即当（m/s）时将发生空泡。

5-4写出下列流动的复势，

（1）u=U0cosa，v=U0sina；

（2）强度为m，位于（a，0）点的平面点源；（3）强度为Γ位于原点的点涡；（4）强度为M，方向为a，位于原点的平面偶极。

答：

（1），：

，

；

（2）强度为，位于点的平面点源：

，；

以点为原点，建立新的坐标系；在新坐标系中：

，，；

由于新旧坐标系之间的关系为：

，；

，；

因此：

；

（3）强度为，位于原点的点涡：

，；

（4）强度为，方向为，位于原点的平面偶极：

以原点为圆心，将坐标系逆时针旋转角，得到新坐标系；在新坐标系中，速度势和流函数分别为：

，，；

由于新旧坐标系间的关系为：

，，；

代入到上式可得：

；

5-5设在点放置一强度为的平面点源，是一固壁面，试求：

（1）固壁上流体的速度分布及速度达到最大值的位置；

（2）固壁上的压力分布，设无穷远处压力为；（3）若，其中为时间变量，求壁面上的压力分布。

答：

（1）用位于和，强度均为的两个点源，可以构造位于的壁面，其速度势为：

，

；

；

速度分布为：

，

；

在壁面上，则壁面上速度分布为：

，；

由于：

；

令上式为0，则得到：

，；

即在点和，速度达到最大值，且为：

；

（2）当时，，由伯努利方程得到：

，

；

将壁面上的压力分布沿整个壁面进行积分，得到流体作用于壁面的作用力：

即沿壁面的作用力为。

（3）当时，速度势为：

，

；

；

速度分布为：

，

；

在壁面上，则壁面上速度分布为：

，；

由于：

；

令上式为0，则得到：

，；

即在点和，速度达到最大值，且为：

；

（2）当时，，由伯努利方程得到：

，

；

5-6已知复势为，求

（1）流场的速度分布及绕圆周的环量；

（2）验证有一条流线与的圆柱表面重合，并用卜拉休斯公式求圆柱体的作用力。

答：

（1）求速度分布及绕圆周的环量：

①求速度分布：

由复势的定义可知：

；

因此：

，；

②求环量：

该流动由三个简单流动组成：

第一个：

为沿方向的均匀流，；

第二个：

是位于原点的偶极，设其强度为，则，；

第三个：

是位于原点的点涡，设其强度为，则，。

因此绕的环量为。

（2）将复势改写成下述形式：

则流函数为：

当时，，代入上式可得：

（常数）

说明确是一条流线。

由卜拉休斯公式可知，作用在柱面上的共轭合力为：

；

其中：

，

；

由留数定理可知，上式中仅第二项对积分有贡献，因此：

，

得到：

；

由于：

，得到：

水平分力：

，垂向分力（升力）：

。

5-7如习题5-3图所示，设直径为m的圆柱体在水下深度为m的水平面上以速度m/s作匀速直线运动，

（1）试写出流动的绝对速度势、牵连速度势、相对速度势及对应的单位速度势；

（2）求出圆柱体表面上A、B、C、D及θ=45°、135°六点的绝对速度。

答：

（1）设圆柱半径为，则得到：

单位相对速度势：

，

相对速度势：

，

牵连速度势：

，

绝对速度势：

，

单位绝对速度势：

。

（2）由绝对速度势可得速度分布为：

，；

在柱面上，代入上式，得到柱面上的速度分布为：

，；

A点，：

，；

B点，：

，；

C点，：

，；

D点，：

，；

：

，；

：

，。

5-8若一半经为r0的圆球在静水中速度从0加速至u0，试求需对其作多少功？

答：

当圆球加速至时，其总动能为：

；

其中：

为圆球的质量，为水的附加质量，为圆球的密度，为水的密度。

做功等于动能：

。

5-9无限深液体中，有一长为L半径为R的垂直圆柱体，设其轴心被长度为的绳子所系住。

它一方面以角速度Ω在水平面内绕绳子固定端公转，另一方面又以另一角速度绕自身轴线自转。

已知圆柱体重量为G，液体密度为，并假定，试求绳子所受的张力。

答：

设绳子的张力为，则圆柱体公转向心力为：

；

其中：

为圆柱体自转所产生的升力，且等于：

；

其中：

为公转线速度，为自转的速度环量，且等于：

其中：

为自转线速度，为柱体表面微元弧长；因此升力为：

；

为总质量：

；

其中：

为柱体质量，为柱体密度；为水的附加质量，为水的密度；因此张力为：

。

5-10设有一半径为R的二元圆柱体在液体中以水平分速度u=u0t（m/s）运动。

设t=0时，它静止于坐标原点，液体密度为ρ，圆柱体密度为σ。

试求流体作用在圆柱体上的推力及t=2s时圆柱体的位置。

答：

由牛顿第二定律可知推力为：

其中：

；；为柱体质量；为液体的附加质量；因此可以得到推力为：

；

由于柱体运动微元距离为，因此：

；

由于时，代入上式得到，则：

当时，得到：

。