浙江专用版高考数学大一轮复习第五章平面向量复数53平面向量的数量积教师用书.docx
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浙江专用版高考数学大一轮复习第五章平面向量复数53平面向量的数量积教师用书
(浙江专用)2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量、复数5.3平面向量的数量积教师用书
1.向量的夹角
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角,向量夹角的范围是[0,π].
2.平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b
投影
|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影,
|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积
3.平面向量数量积的性质
设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)的夹角.则
(1)e·a=a·e=|a|cosθ.
(2)a⊥b⇔a·b=0.
(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;
当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
特别地,a·a=|a|2或|a|=.
(4)cosθ=.
(5)|a·b|≤|a||b|.
4.平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b=b·a;
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
5.平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,由此得到
(1)若a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离AB=||=.
(3)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
(4)若a,b都是非零向量,θ是a与b的夹角,则cosθ==.
【知识拓展】
1.两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线;
两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2.
(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( √ )
(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ )
(3)由a·b=0可得a=0或b=0.( × )
(4)(a·b)c=a(b·c).( × )
(5)两个向量的夹角的范围是[0,].( × )
1.(教材改编)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k等于( )
A.-12B.6
C.-6D.12
答案 D
解析 ∵2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),
由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,
∴10+2-k=0,解得k=12.
2.(2016·临安质检)已知向量a与b的夹角为30°,且|a|=1,|2a-b|=1,则|b|等于( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 由题意可得a·b=|b|cos30°=|b|,4a2-4a·b+b2=1,即4-2|b|+b2=1,由此求得|b|=,故选C.
3.(2016·温州调研)若平面四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是( )
A.直角梯形B.矩形
C.菱形D.正方形
答案 C
解析 由+=0得平面四边形ABCD是平行四边形,
由(-)·=0得·=0,
故平行四边形的对角线垂直,
所以该四边形一定是菱形,故选C.
4.(2016·北京)已知向量a=(1,),b=(,1),则a与b夹角的大小为________.
答案
解析 设a与b的夹角为θ,则cosθ====,
又因为θ∈[0,π],所以θ=.
题型一 平面向量数量积的运算
例1
(1)(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为( )
A.-B.
C.D.
(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.
答案
(1)B
(2)1 1
解析
(1)如图,由条件可知=-,
=+=+
=+,
所以·
=(-)·(+)
=2-·-2.
因为△ABC是边长为1的等边三角形,
所以||=||=1,∠BAC=60°,
所以·=--=.
(2)方法一 以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
设E(t,0),t∈[0,1],则=(t,-1),=(0,-1),所以·=(t,-1)·(0,-1)=1.
因为=(1,0),所以·=(t,-1)·(1,0)=t≤1,
故·的最大值为1.
方法二 由图知,
无论E点在哪个位置,在方向上的投影都是CB=1,∴·=||·1=1,
当E运动到B点时,在方向上的投影最大,即为DC=1,
∴(·)max=||·1=1.
思维升华 平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
(1)(2016·全国丙卷)已知向量=,=,则∠ABC等于( )
A.30°B.45°C.60°D.120°
(2)(2015·天津)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则·的值为________.
答案
(1)A
(2)
解析
(1)∵||=1,||=1,
cos∠ABC==,
又∵0°≤∠ABC≤180°,∴∠ABC=30°.
(2)在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2,BC=1,
∠ABC=60°,∴CD=1,=+=+,
=+=+,
∴·=·=·+·+·+·=2×1×cos60°+2×+×12×cos60°+××12×cos120°=.
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 求向量的模
例2
(1)(2016·宁波模拟)已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=2,在△ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC的中点,则||=________.
(2)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的最大值是________.
答案
(1)2
(2)+1
解析
(1)因为=(+)
=(2a+2b+2a-6b)
=2a-2b,
所以||2=4(a-b)2=4(a2-2b·a+b2)
=4×(3-2×2××cos+4)=4,
所以||=2.
(2)设D(x,y),由=(x-3,y)及||=1,
知(x-3)2+y2=1,即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆.
又++=(-1,0)+(0,)+(x,y)
=(x-1,y+),
∴|++|=.
问题转化为圆(x-3)2+y2=1上的点与点P(1,-)间距离的最大值.
∵圆心C(3,0)与点P(1,-)之间的距离为=,
故的最大值为+1.
即|++|的最大值是+1.
命题点2 求向量的夹角
例3
(1)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cosα=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cosβ=________.
(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是________________.
答案
(1)
(2)∪
解析
(1)因为a2=(3e1-2e2)2
=9-2×3×2×12×cosα+4=9,
所以|a|=3,
因为b2=(3e1-e2)2=9-2×3×1×12×cosα+1=8,
所以|b|=2,
又a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)
=9e-9e1·e2+2e=9-9×1×1×+2=8,
所以cosβ===.
(2)∵2a-3b与c的夹角为钝角,
∴(2a-3b)·c<0,
即(2k-3,-6)·(2,1)<0,
∴4k-6-6<0,
∴k<3.
又若(2a-3b)∥c,则2k-3=-12,即k=-.
当k=-时,2a-3b=(-12,-6)=-6c,
即2a-3b与c反向.
综上,k的取值范围为∪.
思维升华 平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角:
cosθ=,要注意θ∈[0,π].
(2)两向量垂直的应用:
两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|.
(3)求向量的模:
利用数量积求解长度问题的处理方法有
①a2=a·a=|a|2或|a|=.
②|a±b|==.
③若a=(x,y),则|a|=.
(1)(2015·湖北)已知向量⊥,||=3,则·=________.
(2)(2016·绍兴二模)已知单位向量a和b满足|a+b|=|a-b|,则a与b夹角的余弦值为( )
A.-B.-
C.D.
(3)在△ABC中,若A=120°,·=-1,则||的最小值是( )
A.B.2
C.D.6
答案
(1)9
(2)C (3)C
解析
(1)因为⊥,所以·=0.所以·=·(+)=2+·=||2+0=32=9.
(2)由|a|=|b|=1,|a+b|=|a-b|,
得2+2a·b=2(1-2a·b+1),
即a·b=,cos〈a,b〉==.
(3)∵·=-1,
∴||·||·cos120°=-1,
即||·||=2,
∴||2=|-|2=2-2·+2
≥2||·||-2·=6,
∴||min=.
题型三 平面向量与三角函数
例4 (2015·广东)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈.
(1)若m⊥n,求tanx的值;
(2)若m与n的夹角为,求x的值.
解
(1)因为m=,n=(sinx,cosx),m⊥n.
所以m·n=0,即sinx-cosx=0,
所以sinx=cosx,所以tanx=1.
(2)因为|m|=|n|=1,所以m·n=cos=,
即sinx-cosx=,
所以sin=,
因为0所以x-=,即x=.
思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.
(1)已知O为坐标原点,向量=(3sinα,cosα),=(2sinα,5sinα-4cosα),α∈,且⊥,则tanα的值为( )
A.-B.-
C.D.
(2)已知向量a=(-,),=a-b,=a+b,若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则△OAB的面积为________.
答案
(1)A
(2)1
解析
(1)由题意知6sin2α+cosα·(5sinα-4cosα)=0,即6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0,上述等