小学奥数勾股定理.docx

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小学奥数勾股定理

勾股定理

学前需掌握：

三角形和多边形的面积计算方法

有开平方和求平方根的概念

了解为什么学习勾股定理？

有一定图形和数字结合的认识

为什么要学习勾股定理？

勾股定理呢是几何的基础.首先,三角形是多边形中最简单的,而直角三角形是三角形中特殊的一种，这是数与形结合的最初形式。

.学习了勾股定理,就会解直角三角形.很多时候,在普通的三角形里,也会作辅助线分成几个直角三角形来做.所以,这个很基础!

几何学是研究空间关系的数学分支，有时简称为几何。

学过数学的人，都知道它有一门分科叫作“几何学”，然而却不一定知道“几何”这个名称是怎么来的。

在中国古代，这门数学分科并不叫“几何”，而是叫作“形学”。

“几何”二字，在中文里原先也不是一个数学专有名词，而是个虚词，意思是“多少”。

比如三国时曹操那首著名的《短歌行》诗，有这么两句：

“对酒当歌，人生几何？

”这里的“几何”就是多少的意思。

那么，是谁首先把“几何”一词作为数学的专业名词来使用的，用它来称呼这门数学分科的呢？

这是明末杰出的科学家徐光启。

关于勾股定理

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。

也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。

1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。

实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。

这是任何定理无法比拟的。

在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理．这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580－公元前500）．

实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例．除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角．但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑．比如，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：

“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理．我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实．”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：

“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？

”这是一个三边为3:

4:

5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：

最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数．这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库．

证明方法：

先拿四个一样的直角三角形。

拼入一个（a+b）的正方形中，中央米色正方形的面积：

c2。

图

（1）再改变三角形的位置就会看到两个米色的正方形，面积是（a2，b2）。

图

（2）四个三角形面积不变，所以结论是：

a2+b2=c2

勾股定理的历史：

商高是公元前十一世纪的中国人.当时中国的朝代是西周,是奴隶社会时期.在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说:

"…故折矩,勾广三,股修四,经隅五."商高那段话的意思就是说:

当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时,径隅（就是弦）则为5.以后人们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五".这就是著名的勾股定理.

关于勾股定理的发现,《周髀算经》上说:

"故禹之所以治天下者,此数之所由生也.""此数"指的是"勾三股四弦五",这句话的意思就是说:

勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的.

赵爽：

•东汉末至三国时代吴国人•为《周髀算经》作注,并著有《勾股圆方图说》.赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识.他用几何图形的截,割,拼,补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数,形数统一,代数和几何紧密结合,互不可分的独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展.例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法,只是具体图形的分合移补略有不同而已.

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的"形数统一"的思想方法,更具有科学创新的重大意义.事实上,"形数统一"的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件.正如当代中国数学家吴文俊所说:

"在中国的传统数学中,数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明,正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续."中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:

周公问:

"我听说您对数学非常精通,我想请教一下:

天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?

"商高回答说:

"数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:

当直角三角形'矩'得到的一条直角边'勾'等于3,另一条直角边'股'等于4的时候,那么它的斜边'弦'就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的。

内容概述

1.勾股定理（毕达哥拉斯定理）:

直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方．

公元前500年古希腊的毕达哥拉斯发现了勾股定理后,曾宰牛百头,广设盛筵以示庆贺．

2.公元前11世纪的《周髀算经》中提到:

故折矩,以为勾广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五．

三国时期的赵爽注解道:

勾股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:

弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实．

汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《勾股》.其中解释到:

短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦．

句股各自乘，并，而开方除之，即弦．

中国科学院数学与系统科学研究院的徽标（右图所示）采用的就是赵爽

的弦图.2002年在北京举行的国际数学家大会的徽标也是弦图．

如下,在弦图中有

3.伽菲尔德证法:

美国第20任总统伽菲尔德对数学有浓厚的兴趣,在还是中学教师时曾给出一种勾股定理的证明方法：

梯形面积=（上底＋下底）×高

=（a+b）×（a+b）

=（a+b）2；

三个直角三角形的面积和=ab+ab+c2；

梯形面积=三个直角三角形面积和．

（a+b）2=ab+ab+c2,所以a2+b2=c2.

4.公元前3世纪的欧几里得在《几何原本》中给出一种证明,简叙如下：

如图,作出三个正方形,它们的边长分别为直角三角形ABC的三边长.连接图中的虚线段对应的点；过C作CK平行于AF,交AB、FG分别于J、K点．

证△AFC≌△BAE,有AF.FK=,EA.CA=,所以；

证△CBG≌△HBA，有BG.KG=,BH.IH=,所以.

而．

即有AB2=AC2+CB2.

5.勾股数组:

a=u2-v2,b=2uv,c=u2+v2如果a、6、c可以如此表达,那么a、b、c称之为勾股数组,有a2+b2=c2．

如:

u=2,v=l时a=3,b=4,c=5；u=7,v=6时a=13,b=84,c=85．

当然将已知的勾股数组内每个数都同时扩大若干倍得到的新的一组数还是勾股数组.

典型问题

2.智能机器猫从平面上的O点出发.按下列规律行走:

由O向东走12厘米到A1,由A1向北走24厘米到A2,由A2向西走36厘米到A3,由A3向南走48厘米到A4,由A4向东走60厘米到A5,…,问:

智能机器猫到达A6点与O点的距离是多少厘米?

【分析与解】如右图所示,当智能机器猫到达A6点时,相对

O点,向东走了12-36+60=36厘米,向北走了24-48+72=48厘米．

有=362+482,即OA2=60．

所以,A6点到O点的距离为60厘米．

4.如图32-3所示,直角三角形PQR的两个直角边分别为5厘米,9厘米问下图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少?

【分析与解】如右图,延长AR,DQ,过E,F分别作AR,DQ的平行线,在正方形EFRQ内交成四个全等的直角三角形和一个小正方形GHMN，四个全等的直角三角形面积之和与四个白色的三角形面积之和相等．

小正方形HGNM的边长为9-5=4厘米,所以面积为16平方厘米,而另

外两个正方形ABPR、CDQR他的面积分别为25,81．所以原图中3个正方

形面积之和比4个三角形面积之和大25+8l+16=122平方厘米．

6.若把边长为1的正方形ABCD的四个角剪掉,得一四边形A1BlClDl,试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原来正方形面积的,请说明理由.（写出证明及计算过程）

【分析与解】如左图所示,我们知道利用弦图,可是弦图怎么利用?

设构造出的弦图中最小正方形的面积为x最大正方形面积为1,那么有剩下的正方形面

积为（x+1）=,所以x=.

那么,最小正方形的边长为.由于是四角对称的剪

去,所以有ADl=DCl=CBl=BA1=,AAl=BBl=CCl=DDl=

证明及计算过程略．

8.有5个长方形,它们的长和宽都是整数,且5个长和5个宽恰好是1～10这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形,那么,大正方形面积的最小值为多少?

【分析与解】注意到,5个长、宽均不相等的长方形拼成一个正方形,只有一种拼法.（如右图所示，由弦图联想到）．

A、B、C、D中必有一个长方形的一边长为10,不妨设为A，

那么显然不能组成边长为10的正方形；

如果能够组成边长为11的正方形,那么有11=10+1=9+2=8+3=7+4=6+5,那么大正方形的四边必须是为11,则剩下的两个数,它们的和为11,为中问阴影部分的长、宽和；

评注:

如果能够组成边长为12的正方形,那么有12=10+2=9+3=8+4=7+5,剩下1、6试填不满足．

对于边长为13的正方形,注意到13=10+3=9+4=8+5=7+6,剩下1、2,有见下图情形,满足．

10.园林小路,曲径通幽.如图32-7所示,小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成.问：

内圈三角形石板的总面积大,还是外圈三角形的总面积大?

请说明理由．

【分析与解】如图①,我们任意抽出两块相邻的白色正方形石板,及它们所夹成的青、红两色的三角形石板，如图②所示.图中有∠CDB+∠ADG=1800.

如果③,将△CDE逆时针旋转900,得△.有、、在同一条直线上,且△与△等底同高,所以有.

也就是说,任意两块相邻的白色正方形石板,它们所夹成的青色三角形与红色三角形面积相等．

注意到在原图中,除了外圈青色的两块三角形外,外圈三角形、内圈三角形一一对应.所以原图中,外圈三角形的面积大于内圈三角形的面积,如图①所示．