百度网数学题选答2文档格式.docx
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a/2};
a=2时g'
（x）=（2x-1）^2/[x（1-x）]>
=0,原不等式的解集为{x|1/2<
1};
2时x1,2=[a土√（a^2-4）]/4,x2<
x1时g'
0,g（x）↓，
x2<
a/4时不等式成立，
g（0+）=-∞，g（a+/2）=+∞，g（x）在（0，a/2）内连续，所以存在
x3∈（0，x2）,x4∈（x2,a/2）,使得g（x3）=g（x4）=0,（x3,x4无法用a表示），
原不等式的解集为{x|x3<
a/4,或x4<
a/2}.
3.已知整数边长的周长值的一半与面积相等,求所有这样的三角形.
设三边分别为a,b,c,p=（a+b+c）/2,面积为△，则
内切圆半径r=△/p=1,
由内切圆半径公式，（p-a）（p-b）（p-c）=p=（p-a）+（p-b）+（p-c）,
方程xyz=x+y+z（x≤y≤z）恰有唯一正整数解x=1,y=2,z=3.
∴p=6,（a,b,c）=（3,4,5）,满足题设的三角形是唯一的。
4.已知命题p:
函数y=loga（1-2x）在定义域上单调递增.
命题q:
不等式（a-2）x^2+2（a-2）x-4<
0对任意实数x恒成立,
若p则q是真命题,求实数a的取值范围.
若p则q是真命题，分两种情况：
1.p假，a>
1;
2.p真，0<
1,
==>
q真，
a-2<
0,且（a-2）^2+16（a-2）=（a-2）（a+14）<
0,
-14<
2.
∴0<
1.
综上，a>
1,或0<
1.
5.设数列｛an｝的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且-a1，Sn，Sn-1为等差数列
（1）求｛an｝通项公式；
（2）设bn=1-Sn问是否存在｛bn｝为等比数列，若存在，求出a1的值，若不存在，说明理由
（1）-a1，Sn，Sn-1为等差数列，
∴2Sn=S<
n-1>
-a1,
以n+1代n,得
2S<
n+1>
=Sn-a1,
相减得2a<
=an,
∴a<
/an=1/2,
∴an=a1/2^（n-1）,
（2）Sn=2a1（1-1/2^n）,
bn=1-Sn=1-2a1（1-1/2^n）,
｛bn｝为等比数列,
<
b<
/bn={1-2a1[1-1/2^（n+1）]}/[1-2a1（1-1/2^n）]=常数k,
1-2a1[1-1/2^（n+1）]=k-2a1k（1-1/2^n）,
a1（1-2k）/2^n=（k-1）（1-2a1）,
k=1/2,a1=1/2.
6.已知函数f（x）=αsinx+αcosx+1-α，α∈R，x∈[0，π/2]。
若定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，+∞）是增函数，且g
（2）=0，求当g[f（x）]＜0时α的取值范围
f（x）=αsinx+αcosx+1-α
=a[（√2）sin（x+π/4）-1]+1，α∈R,x∈[0,π/2],
（√2）sin（x+π/4）∈[1,√2],
f（x）介于1与a（√2-1）+1之间.
奇函数g（x）在（0，+∞）是增函数,
∴g（x）在（-∞，0）↑，
由g[f（x）]＜0=g（土2）,得
f（x）<
2,或f（x）<
-2（舍），
a（√2-1）+1<
2,
∴-（√2+1）<
√2+1.
7已知函数f（x）=x²
+x-1,α,β为方程以f（x）=0的两个根（α>
β）,f'
（x）是f（x）的导数,设A1=1,A（n+1）=An-[f（An）/f'
（An）]（n=1,2,3…）
1）求α,β的值.
2）已知对任意的正整数n有An>
α,记Bn=ln[（An-β）/（An-α）]（n=1,2,3...）,求数列{Bn}的前n项和Sn
1）α=（-1+√5）/2，β=（-1-√5）/2.
2）f'
（x）=2x+1,
A<
=An-[An^2+An-1]/[2An+1]
=（An^2+1）/（2An+1）,
[A<
-β]/[A<
-α]
=[An^2+1+（1+√5）（An+1/2）]/[An^2+1+（1-√5）（An+1/2）]
=[An^2+（1+√5）An+（3+√5）/2]/[An^2+（1-√5）An+（3-√5）/2]
=[（An-β）/（An-α）]^2,
∴B<
=2Bn,
∴数列{Bn}是以B1=ln[（1-β）/（1-α）]=2ln[（3+√5）/2]为首项,2为公比的等比数列，
∴Sn=2ln[（3+√5）/2]*（2^n-1）.
8.已知四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB‖CD,∠ABC=60°
，CD=1,AD=根号3，PA=PB=PC,M是线段PC上不同于P，C任意一点，且BM⊥PA
求证：
AB//平面PCD
求证平面PAD⊥平面PBC
求三棱锥P-ABC的体积
1）AB∥CD,AB不在平面PCD上，
∴AB∥平面PCD.
2）直角梯形ABCD中作CE⊥AB于E,AB‖CD,∠ABC=60，AE=CD=1,CE=AD=√3，
∴BE=1，∴AC=BC,
∴△ABC是等边三角形。
作PO⊥底面于O,
PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC,
∴O是△ABC的中心，
∴AO⊥BC,
∴PA⊥BC,
已知PA⊥BM,
∴PA⊥平面PBC,
∴平面PAD⊥平面PBC.
3）由2），∠APB=∠BPC=∠CPA=90°
，
∴PC⊥PE,
∴PO^2=OC*OE=2/3，
PO=√6/3，
S△ABC=√3，
∴V（P-ABC）=√2/3.
9.三角形ABC中，AC=2，BC=6，已知点O是三角形ABC内一点，且满足OA+3OB+4OC=0（都是向量），求OC与（BA+2BC）的数量积
|AC|=|OC-OA|=2，
∴OC^2-2OA*OC+OA^2=4，
OA*OC=（OA^2+OC^2-4）/2，
同理，OC^2-2OB*OC+OB^2=36，
OB*OC=（OB^2+OC^2-36）/2，
由OA+3OB+4OC=0得
OA=-3OB-4OC,
平方得OA^2=9OB^2+24OB*OC+16OC^2
=9OB^2+12（OB^2+OC^2-36）+16OC^2
=21OB^2+28OC^2-432，①
OA*OC+3OB*OC+4OC^2=0，
∴（OA^2+OC^2-4）/2+3（OB^2+OC^2-36）/2+4OC^2=0，
∴OA^2+3OB^2+12OC^2=112，
24OB^2+40OC^2-432=112，
3OB^2=68-5OC^2，②
把②代入①，OA^2=7（68-5OC^2）+28OC^2-432=44-7OC^2，
OC*（BA+2BC）
=OC*（OA-OB+2OC-2OB）
=OC*（OA-3OB+2OC）
=OA*OC-3OB*OC+2OC^2
=（OA^2+OC^2-4）/2-3（OB^2+OC^2-36）/2+2OC^2
=（1/2）（OA^2-3OB^2+2OC^2-40）
=（1/2）（44-7OC^2+5OC^2-68+2OC^2-40）
=-32.
10在三角形ABC中,AB的模=AC的模=根号2,向量AC与向量CB的夹角为150度,则BC的模为多少？
AC和CB夹角为150°
向量AB=AC+CB
|AB|^2=（AC+CB）^2=|AC|^2+|CB|^2+2AC*CB
2=2+|BC|^2+2√2|CB|cos150°
|BC|^2-√6|BC|=0
（|BC|-√6）|BC|=0
|BC|=√6
解2：
CA和CB夹角C=180°
-150°
=30°
|AB|=|AC|，B=C=30°
，A=120°
。
由正弦定理
|BC|/sin120°
=|AB|/sin30°
|BC|=√3*√2=√6
11.在直角坐标系xOy中，设A,B,C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数m,n,使得OC向量＝mOA向量＋nOB向量，则m^2+（n-3）^2的取值范围是什么？
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x,y）,
由向量OC=mOA+nOB得
x=mx1+nx2,y=my1+ny2,
A,B,C是圆x2^+y^2=1上相异三点,
∴1=x^2+y^2=（mx1+nx2）^2+（my1+ny2）^2
=m^2（x1^2+y1^2）+2mn（x1x2+y1y2）+n^2（x2^2+y2^2）
=m^2+n^2+2mn（x1x2+y1y2）,
由柯西不等式，（x1x2+y1y2）^2<
=（x1^2+y1^2）（x2^2+y2^2）=1,
∴-1<
=x1x2+y1y2<
=1,m,n>
∴m^2+n^2-2mn<
=1<
=m^2+n^2+2mn,
∴|n-1|<
=m<
=n+1,
∴m^2+（n-3）^2>
=2n^2-8n+10=2（n-2）^2+2>
=2,当m=1,n=2时取等号；
m^2+（n-3）^2<
=2n^2-4n+10，无最大值。
综上，m^2+（n-3）^2的取值范围是[2，+∞）
12.设函数f（x）=mx^-mx-1.
1.f（x）＜0恒成立，求m的范围
2.对于m属于【-2，2】，f（x）＜-m+5恒成立，求x的范围.
1.f（x）＜0恒成立,分两种情况：
1）m=0时f（x）=-1<
0;
2）m<
0,△=（-m）^2+4m=m（m+4）<
-4<
m<
0.
综上，-4<
=0.
2.m∈[-2,2],f（x）<
-m+5恒成立，
g（m）=m（x^2-x+1）-6<
g
（2）=2（x^2-x+1）-6<
0,且g（-2）=-2（x^2-x+1）-6<
化为x^2-x-2<
0,且x^2-x+4>
解得-1<
13在等比数列{an}中,已知a1>
0,q≠0且q>
-1,bn=a<
n+2>
+a<
，数列｛an｝、｛bn｝的前几项之和An、Bn,比较An、Bn的大小
/bn=[a<
n+3>
]/[a<
]=q,
∴Bn/An=（a3+a2）/a1=q^2+q,
-1<
q<
0时Bn/An<
0,An=a1（1-q^n）/（1-q）>
∴Bn<
An;
q>
0时，An=a1[1+q+……+q^（n-1）]>
（-1+√5）/2时，0<
Bn/An<
1,Bn<
q=（-1+√5）/2时Bn=An;
（-1+√5）/2时Bn>
An.
已发博文
14.不用导数，求以A（0,1）为圆心的圆与函数y=1/（x-1）的图像有公共点,求圆A的半径的最小值.
设圆A:
x=rcost,y=rsint+1（t为参数），代入y=1/（x-1）得
（rcost-1）（rsint+1）=1,
r^2*sintcost+r（cost-sint）-2=0,①
设u=cost-sint（这是关键），则u∈[-√2，√2],sintcost=（1-u^2）/2,
代入①*（-2），整理得
r^2*u^2-2ru+4-r^2=0,②
△/4=r^2-r^2（4-r^2）=r^2（r^2-3）≥0,
∴r^2≥3,r≥√3.
r=√3时，②变为3u^2-2√3u+1=0,u=1/√3.
∴圆A的半径的最小值为√3.
15.已知a1=1/2,且{an}的前n项和满足Sn=n^2an-n（n-1）,求{an}的通项公式.
Sn=n^2an-n（n-1）,①
n>
1时S<
=（n-1）^2a<
-（n-1）（n-2）,②
①-②，an=n^2an-（n-1）^2a<
+2-2n
∴0=（n+1）an-（n-1）a<
-2,
∴（an-1）/（a<
-1）=（n-1）/（n+1）,
（a<
-1）/（a<
n-2>
-1）=（n-2）/n,
……
（a2-1）/（a1-1）=（2-1）/（2+1）,
累乘得（an-1）/（a1-1）=1*2/[n（n+1）],a1=1/2,
∴an=1-1/[n（n+1）].
n=1时上式也成立。
16.已知将一枚残缺不均匀的硬币连抛三次落在平地上，三次都正面朝上的概率为1/27
（1）求将这枚硬币连抛三次，恰有两次正面朝上的概率；
（2）若将这枚硬币连抛两次之后，再另抛一枚质地均匀的硬币一次．在这三次抛掷中，正面朝上的总次数为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ
设抛残缺不均匀的硬币落地正面朝上的概率为p,依题意p^3=1/27,
∴p=1/3.
（1）将这枚硬币连抛三次，恰有两次正面朝上的概率
=c（3,2）*p^2*（1-p）=3*（1/3）^2*2/3=2/9.
（2）ξ=0时P（0）=（2/3）^2*1/2=2/9,
同理，P
（1）=c（2,1）*1/3*2/3*1/2+（2/3）^2*1/2=2/9+2/9=4/9,
P
（2）=（1/3）^2*1/2+c（2,1）*1/3*2/3*1/2=1/18+4/18=5/18,
P（3）=（1/3）^2*1/2=1/18.
ξ...........0.....1......2.....3
P（ξ）....2/9...4/9...5/18..1/18.
Eξ=∑<
ξ=0,3>
ξ*P（ξ）=0*2/9+1*4/9+2*5/18+3*1/18
=（8+10+3）/18=7/6.
17.O为三角形ABC的外心,AB向量的模=16,AC向量的模=10根号2,诺AO向量=xAB向量+yAC向量,且32x+25y=25,求AO向量.
解：
由32x+25y=25得y=1-32x/25,
∴向量AO=xAB+（1-32x/25）AC,
BO=BA+AO=（x-1）AB+（1-32x/25）AC,
CO=CA+AO=xAB-32x/25*AC,
O为△ABC的外心，
∴AO^2=BO^2=CO^2，
|AB|=16，|AC|=10√2，
∴256x^2+200（1-32x/25）^2+2x（1-32x/25）AB*AC
=256（x-1）^2+200（1-32x/25）^2+2（x-1）（1-32x/25）AB*AC
=256x^2+200（32x/25）^2-64x^2/25*AB*AC,
∴200（1-64x/25）+2xAB*AC=0,
256（1-2x）+200（1-64x/25）+2（57x/25-1）AB*AC=0.
∴100-256x+xAB*AC=0,①
228-512x+（57x/25-1）AB*AC=0.②
①*（57x/25-1）-②*x，得
（100-256x）（57x/25-1）-x（228-512x）=0,
（100-256x）（57x-25）-25x（228-512x）=0,
-256*57x^2+（5700+6400）x-2500
+25*512x^2-5700x=0,
-7*256x^2+6400x-2500=0,
7*64x^2-1600x+625=0,
△=1600^2-4*7*64*625
=100^2（256-112）
=100^2*12^2,
x1=（1600+1200）/（14*64）=25/8,
x2=25/56,
∴向量AO=xAB+（1-32x/25）AC=（25/8）AB-3AC或（25/56）AB+（3/7）AC.
18.已知三角形ABC的三条边AB=4,AC=3,BC=2倍根号3，O为三角形ABC的外心，求向量AO与向量BC的数量积
记|OA|=r,由余弦定理，cosCAO=3/（2r）,cosBAO=2/r,
∴向量AO*BC=AO*（AC-AB）=r（3cosCAO-4cosBAO）=9/2-8=-3.5.
19.在平面直角坐标系中，一条直线L经过点M（√3，1）与X轴，Y轴分别交于A.B两点，且MA=MB。
圆O1是三角形AOB的内切圆，半径为R1。
圆O2与圆O1，直线l，y轴分别相切，半径为R2，圆O3与圆O2，直线l,y轴分别相切，半径为R3……，按此规律，则圆O2010的半径R2010=？
直线L经过点M（√3，1）与X轴，Y轴分别交于A.B两点，且MA=MB，
∴A（2√3,0），B（0,2）,∠ABO=60°
R1=√3-1。
∵圆Oi与直线L、y轴相切，
∴圆心Oi在∠ABO的平分线上，∠OBOi=30°
，i=1,2,3,……。
作OiNi⊥y轴于Ni,作O<
i+1>
Pi⊥OiNi,则∠OiO<
Pi=30°
，OiPi=Ri-R<
∵圆Oi与圆O<
外切，
∴OiO<
=Ri+R<
=2（Ri-R<
）,
∴R<
/Ri=1/3,
∴R2010=R1*（1/3）^2009=（√3-1）/3^2009.
20.反比例函数xy=k的图像，－4≤x≤－1时，－4≤y≤－1.若M,N分别在反比例函数图像的两分支上的两个动点。
若以点O，点M，点N为顶点，组成一个三角形，求△MNO的周长的取值范围
－4≤x≤－1时，－4≤y≤－1，∴k=4.
设M（m,4/m）,N（n,4/n）,m>
0>
n,m+n≠0，
OM=√[m^2+（4/m）^2]>
=√（2m^2*16/m^2）=2√2，当m=土2时取等号，
同理ON|min=2√2.
下面用导数求w=MN^2=（m-n）^2+（4/m-4/n）^2=（m-n）^2*[1+16/（mn）^2]的驻点坐标：
w’m=2（m-n）[1+16/（mn）^2]-32（m-n）^2/（m^3n^2）=0,
化简得m^3n^2+16m-16（m-n）=0,m^3n=-16,
同理由w’n=0得n^3m=-16.
解得m=2,n=-2,这时w=32,|MN|=4√2.
∴△MNO的周长L=OM+ON+MN>
8√2，为所求。
21.设函数f（x）＝e^x＋sinx，g（x）＝ax，F（x）＝f（x）－g（x）.
（1）若x＝0是F（x）的极值点，求a的值；
（2）当a＝1╱3时，若存在x1，x2∈［0，＋∞）使得f（x1）＝g（x2），求x2－x1的最小值；
（3）当x∈［0，＋∞）时，F（x）≥F（－x）恒成立，求a的取值范围.
（1）F'
（x）=e^x+cosx-a,
x＝0是F（x）的极值点,
∴F'
（0）=2-a=0,a=2.
（2）令x=x1,由f（x1）＝g（x2）得x2=3f（x）,
设w=x2-x1=3（e^x+sinx）-x,x>
=0,
则w’=3（e^x+cosx）-1>
0,w↑，
∴w|min=w（0）=3,为所求。
（3）x∈［0，＋∞）时，F（x）≥F（－x）恒成立，
e^x+sinx-ax>
=e^（-x）-sinx+ax,
e^x-e^（-x）+2sinx>
=2ax,
x=0时上式成立；
0时a<
=[e^x-e^（-x）+2sinx]/（2x）,记为h（x）,
h'
（x）={x[e^x+e^（-x）+2cosx]-[e^x-e^（-x）+2sinx]}/（2x^2）
={（x-1）e^x+（x+1）e^（-x）+2xcosx-2sinx}/2x^2）,
设H（x）=（x-1）e^x+（x+1）e^（-x）+2xcosx-2sinx,x>
则H'
（x）=xe^x-xe^（-x）-2xsinx=x[e^x-e^（-x）-2sinx],
设G（x）=e^x-e^（-x）-2sinx,x>
0,则
G'
（x）=e^x+e^（-x）-2cosx>
∴G（x）↑，G（x）>
G（0）=0,
∴H'
0,H（x）↑，H（x）>
H（0）=0.
∴h'
0,h（x）↑，h（x）>
h（0+）=2,
=2.
22.y=f（x）为偶函数且对任意x,y有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy+1，求f（x）的解析式。
解1：
令x=y=0,得f（0）=2f（0）+1,f（0）=-1.
令y=-x,得f（0）=f（x）+f（-x）-2x^2+1,
y=f（x）为偶函数,∴f（-x）=f（x）,
∴f（x）=x^2-1.
令y=x,得f（2x）=2f（x）+2x^2+1,
设f（2x）+a（2x）^2+b=2[f（x）+ax^2+b],则
-2ax^2+b=2x^2+1,a=-1,b=1.
∴f（2x）-（2x）^2+1=2[f（x）-x^2+1],
∴f（x）-x^2+1=2^n[f（x/2^n）-（x/2^n）^2+1]
→2^n[f（0）-（x/2^n）^2+1]→0，（n∈N+,n→∞）,
23.已知方程x²
+mx+4=0和x²
-（m-2）x-16=0有一个相同的根.求m值及这个相同的根
解1x²
+mx+4=0①和x²
-（m-2）x-16=0②有一个相同的根,
①-②，（2m-2）x+20=0,x=10/（1-m）,③
代入①，100/（1-m）^2+10m/（1-m）+4=0,
两边都乘以（1-m）^2/2,得
50+5m（1-m）+2（1-m）^2=0,
50+5m-5m^2+2-4m+2m^2=0,
52+m-3m^2=0,
3m^2-m-52=0,
解得m=-4,或13/3.
m=-4时由③，相同的根=2，
同理，m=13/3时相同的根=-3.
解2x²
①+②，2x^2+2x-12=0,
x^2+x-6=0,
解得x1=2,x2=-3.
由①，m=-（
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