届一轮复习人教A版专题七 随机变量空间向量理科学案.docx

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届一轮复习人教A版专题七随机变量空间向量理科学案

江苏新高考

这两部分内容的教学课时都较多，但高考并非是年年都考，通常是交叉式的隔年考一个内容.但2017年两道必做题一改常规，既考查空间向量在立体几何中应用，又考查概率分布与期望值，既考查运算能力，又考查思维能力.,由于考题属中档题要求，所以不宜过难.立体几何题应当容易建立空间直角坐标系，以计算空间角为主；概率题也是离散型随机变量及其分布列的均值与方差、n次独立重复试验的模型及二项分布这几个基本知识交叉考查.

第1课时随机变量与分布列（能力课）

常考题型突破]

离散型随机变量的分布列及其期望

例1]　（2017·南通二调）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．

（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；

（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a.求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．

解]　

（1）设“至少演唱1首原创新曲”为事件A，

则事件A的对立事件为“没有1首原创新曲被演唱”．

所以P（A）＝1－P（）＝1－＝.

答：

该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为.

（2）设随机变量x表示被演唱的原创新曲的首数，则x的所有可能值为0,1,2,3.

依题意，X＝ax＋2a（4－x），故X的所有可能值依次为8a,7a,6a,5a.

则P（X＝8a）＝P（x＝0）＝＝，

P（X＝7a）＝P（x＝1）＝＝，

P（X＝6a）＝P（x＝2）＝＝，

P（X＝5a）＝P（x＝3）＝＝.

从而X的概率分布为：

X

8a

7a

6a

5a

P

　　所以X的数学期望E（X）＝8a×＋7a×＋6a×＋5a×＝a.

方法归纳]

求离散型随机变量问题的四步骤

由于离散型随机变量的数学期望、方差是根据其分布列运用相应公式求解，因而解决这种问题的关键是求离散型随机变量的分布列，而分布列是由随机变量及其相应的概率值构成的，所以这类问题主要就是求随机变量取各个值的概率．具体步骤如下：

（1）明确随机变量的意义及其所有可能的取值x1，x2，…；

（2）根据事件的种类求随机变量的概率P（X＝xi），i＝1,2，…；

（3）写出分布列

X

x1

x2

…

P

p1

p2

…

（这里可用分布列性质：

0≤pi≤1及p1＋p2＋…＋pn＝1检验是否出错）；

（4）根据题目要求计算数学期望E（X）或方差V（X）．

变式训练]

（2017·扬州考前调研）某校举办校园技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座．已知A，B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场．若A组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》．

（1）若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率；

（2）若从A，B两组中各任选2人，设X为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．

解：

（1）设“选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》”为事件M，

则P（M）＝＝，

故选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率为.

（2）X可能的取值为0,1,2,3，

P（X＝0）＝＝，

P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝，

P（X＝3）＝＝，

所以X的概率分布为：

X

0

1

2

3

P

所以X的数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

n次独立重复试验的模型及二项分布

例2]　（2017·南京、盐城一模）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．

（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；

（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布与数学期望E（X）．

解]　

（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P＝1－＝.

（2）由题意得X～B，P（X＝k）＝Ck·5－k，k＝0,1,2,3,4,5.

所以X的概率分布为：

X

0

1

2

3

4

5

P

所以X的数学期望为E（X）＝5×＝.

方法归纳]

二项分布的分布列及期望问题求解三步骤

第一步，先判断随机变量是否服从二项分布，即若满足：

①对立性：

即一次试验中只有两种结果“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；②重复性：

试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中成功的概率和不成功的概率都保持不变，则该随机变量服从二项分布，否则不服从二项分布.

第二步，若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计算公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少.

第三步，根据二项分布的分布列列出相应的分布列，再根据期望公式或二项分布期望公式求期望即可.

变式训练]

（2017·扬州期末）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的．

（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；

（2）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的概率分布和数学期望E（X）．

解：

（1）甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有43＝64种不同的选法，记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M，事件M共包含A＝24个基本事件，则P（M）＝＝，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为.

（2）法一：

X可能的取值为0,1,2,3，

P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.

所以X的概率分布为：

X

0

1

2

3

P

所以X的数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

法二：

甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X～B，所以P（X＝k）＝Ck3－k，k＝0,1,2,3，

所以X的分布列为：

X

0

1

2

3

P

所以X的数学期望E（X）＝3×＝.

期望与方差的应用

例3]　（2017·苏州模拟）某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n元．活动规定：

①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止．

（1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n元的概率；

（2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由．

解]　

（1）设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元为事件M.

则P（M）＝×＝，即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元的概率为.

（2）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：

①先在甲箱中摸球，参与者获奖金ξ可取0，m，m＋n，

则P（ξ＝0）＝，P（ξ＝m）＝×＝，P（ξ＝m＋n）＝×＝，

E（ξ）＝0×＋m×＋（m＋n）×＝＋.

②先在乙箱中摸球，参与者获奖金η可取0，n，m＋n，

则P（η＝0）＝，P（η＝n）＝×＝，P（η＝m＋n）＝×＝，

E（η）＝0×＋n×＋（m＋n）×＝＋.

E（ξ）－E（η）＝.

当>时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；

当＝时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；

当<时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．

故当>时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当＝时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当<时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．

方法归纳]

利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出学的决策，其中随机变量ξ的均值的意义在于描述随机变量的平均程度，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关.

（1）若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量ξ1，ξ2的均值，当E（ξ1）＝E（ξ2）时，不应误认为它们一样好，需要用V（ξ1），V（ξ2）比较这两个随机变量的偏离程度.

（2）若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近.

（3）若没有对平均水平或者稳定性有明确要求是，一般先计算均值，若相等，则由方差确定哪一个更好.若E（ξ1）与E（ξ2）比较接近，且均值较大者的方差较小，显然该变量较好；若E（ξ1）与E（ξ2）比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，即选择较理想的平均水平还是选择较稳定.

变式训练]

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：

元）关于当天需求量n（单位：

枝，n∈N）的函数解析式．

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：

枝），整理得下表：

日需求量n

14

15

16

17

18

19

20

频数

10

20

16

16

15

13

10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：

元），求X的概率分布、数学期望及方差；

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

请说明理由．

解：

（1）当日需求量n≥16时，y＝16×（10－5）＝80；

当日需求量n≤15时，y＝5n－5（16－n）＝10n－80.

所以y＝（n∈N）．

（2）①X所有可能取值为60,70,80，则P（X＝60）＝0.1，P（X＝70）＝0.2，P（X＝80）＝0.7.

∴X的概率分布为：

X

60

70

80

P

0.1

0.2

0.7

∴X的数学期望为E（X）＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，

X的方差为V（X）＝162×0.1＋62×0.2＋42×0.7＝44.

②答案一：

花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润（单位：

元），那么Y的概率分布为：

Y

55

65

75

85

P

0.1

0.2

0.16

0.54

∴Y的数学期望为E（Y）＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.

Y的方差为V（Y）＝（55－76.4）2×0.1＋（65－76.4）2×0.2＋（75－76.4）2×0.16＋（85－76.4）2×0.54＝112.04.

由以上的计算结果可以看出，V（X）

答案二：

花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下