届一轮复习人教A版专题七 随机变量空间向量理科学案.docx

1、届一轮复习人教A版 专题七 随机变量空间向量理科 学案江苏 新高考这两部分内容的教学课时都较多，但高考并非是年年都考，通常是交叉式的隔年考一个内容.但2017年两道必做题一改常规，既考查空间向量在立体几何中应用，又考查概率分布与期望值，既考查运算能力，又考查思维能力.,由于考题属中档题要求，所以不宜过难.立体几何题应当容易建立空间直角坐标系，以计算空间角为主；概率题也是离散型随机变量及其分布列的均值与方差、n次独立重复试验的模型及二项分布这几个基本知识交叉考查.第1课时随机变量与分布列(能力课) 常考题型突破离散型随机变量的分布列及其期望 例1(2017南通二调)某乐队参加一户外音乐节，准备从

2、3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数)，演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a.求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望 解(1)设“至少演唱1首原创新曲”为事件A，则事件A的对立事件为“没有1首原创新曲被演唱”所以P(A)1P()1.答：该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为.(2)设随机变量x表示被演唱的原创新曲的首数，则x的所有可能值为0,1,2,3.依题意，Xax2a(4x)，故X的所有可能值依次为8a,7a,6a,5a.则P(X8a)P(x0)，P(X7a)P(x

3、1)，P(X6a)P(x2)，P(X5a)P(x3).从而X的概率分布为：X8a7a6a5aP所以X的数学期望E(X)8a7a6a5aa. 方法归纳求离散型随机变量问题的四步骤由于离散型随机变量的数学期望、方差是根据其分布列运用相应公式求解，因而解决这种问题的关键是求离散型随机变量的分布列，而分布列是由随机变量及其相应的概率值构成的，所以这类问题主要就是求随机变量取各个值的概率具体步骤如下：(1)明确随机变量的意义及其所有可能的取值x1，x2，；(2)根据事件的种类求随机变量的概率P(Xxi)，i1,2，；(3)写出分布列Xx1x2Pp1p2(这里可用分布列性质：0pi1及p1p2pn1检验是

4、否出错)；(4)根据题目要求计算数学期望E(X)或方差V(X) 变式训练(2017扬州考前调研)某校举办校园 技文化艺术节，在同一时间安排生活趣味数学和校园舞蹈赏析两场讲座已知A，B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场若A组1人选听生活趣味数学，其余4人选听校园舞蹈赏析；B组2人选听生活趣味数学，其余3人选听校园舞蹈赏析(1)若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率；(2)若从A，B两组中各任选2人，设X为选出的4人中选听生活趣味数学的人数，求X的分布列和数学期望E(X)解：(1)设“选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析”为事件M，则P(M)，

5、故选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率为.(2)X可能的取值为0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以X的概率分布为：X0123P所以X的数学期望E(X)0123. n次独立重复试验的模型及二项分布 例2(2017南京、盐城一模)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布与数学期望E(X) 解(1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率

6、为P1.(2)由题意得XB，P(Xk)Ck5k，k0,1,2,3,4,5.所以X的概率分布为：X012345P所以X的数学期望为E(X)5. 方法归纳二项分布的分布列及期望问题求解三步骤第一步，先判断随机变量是否服从二项分布，即若满足：对立性：即一次试验中只有两种结果“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中成功的概率和不成功的概率都保持不变，则该随机变量服从二项分布，否则不服从二项分布.第二步，若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计算公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少.第三步，根据二项分

7、布的分布列列出相应的分布列，再根据期望公式或二项分布期望公式求期望即可. 变式训练(2017扬州期末)为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设数学史、生活中的数学、数学与哲学、数学建模四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；(2)设X为甲、乙、丙三人中选修数学史的人数，求X的概率分布和数学期望E(X)解：(1)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有4364种不同的选法，记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M，事件M共包含A2

8、4个基本事件，则P(M)，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为. (2)法一：X可能的取值为0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的概率分布为：X0123P所以X的数学期望E(X)0123. 法二：甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X为甲、乙、丙三人中选修数学史的人数，则XB，所以P(Xk)Ck3k，k0,1,2,3，所以X的分布列为：X0123P所以X的数学期望E(X)3.期望与方差的应用 例3(2017苏州模拟)某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球(每个球的大小、形状

9、完全相同)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n元活动规定：参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止(1)如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n元的概率；(2)若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由 解(1)设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元为事件M.则P(M)，即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元的概率为.(2)参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：先在甲箱中摸球，参与者

10、获奖金可取0，m，mn，则P(0)，P(m)，P(mn)，E()0m(mn).先在乙箱中摸球，参与者获奖金可取0，n，mn，则P(0)，P(n)，P(mn)，E()0n(mn).E()E().当时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大 方法归纳利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出 学的决策，其中随机变量的均值的意义在于描述随机变量的平均程度，而方差则描述了随机变量稳定与波动或

11、集中与分散的状况.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关.(1)若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量1，2的均值，当E(1)E(2)时，不应误认为它们一样好，需要用V(1)，V(2) 比较这两个随机变量的偏离程度.(2)若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近.(3)若没有对平均水平或者稳定性有明确要求是，一般先计算均值，若相等，则由方差 确定哪一个更好.若E(1)与E(2)比较接近，且均值较大者的方差较小，显然该变量较好；若E(1)与E(2)比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，即选择较理想的平

12、均水平还是选择较稳定. 变式训练某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的概率分布、数学期望及方差；若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

13、请说明理由解：(1)当日需求量n16时，y16(105)80；当日需求量n15时，y5n5(16n)10n80.所以y(nN)(2)X所有可能取值为60,70,80，则P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的概率分布为：X607080P0.10.20.7X的数学期望为E(X)600.1700.2800.776，X的方差为V(X)1620.1620.2420.744.答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的概率分布为：Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.Y的方差为V(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出，V(X)V(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然E(X)E(Y)，但两者相差不大故花店一天应购进16枝玫瑰花答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花理由如下