等差数列经典试题含答案.docx
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等差数列经典试题含答案
一、等差数列选择题
1.在等差数列{an}中,已知a5=3,a9=6,则a13=()
A.9B.12C.15D.18
2.等差数列中,已知,则()
A.13B.14C.15D.16
3.等差数列的公差为2,若成等比数列,则()
A.72B.90C.36D.45
4.在巴比伦晚期的《泥板文书》中,有按级递减分物的等差数列问题,其中有一个问题大意是:
10个兄弟分100两银子,长兄最多,依次减少相同数目,现知第8兄弟分得6两,则长兄可分得银子的数目为()
A.两B.两C.两D.两
5.在等差数列{an}中,a3+a7=4,则必有()
A.a5=4B.a6=4C.a5=2D.a6=2
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则下列判断错误的是()
A.S5,S10-S5,S15-S10必成等差数列B.S2,S4-S2,S6-S4必成等差数列
C.S5,S10,S15+S10有可能是等差数列D.S2,S4+S2,S6+S4必成等差数列
7.等差数列的前项和分别为,若,则的值为()
A.B.C.D.
8.已知数列的前n项和,则()
A.350B.351C.674D.675
9.数列是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大,则该数列的项数是()
A.8B.4C.12D.16
10.设等差数列的前项和为,且,则()
A.15B.20C.25D.30
11.设等差数列的前项和为,若,则()
A.60B.120C.160D.240
12.已知等差数列中,,则数列的公差为()
A.B.2C.8D.13
13.设等差数列的前项之和为,已知,则()
A.B.C.D.
14.等差数列的前n项和为,且,,则()
A.21B.15C.10D.6
15.已知数列满足且,则时,使得不等式恒成立的实数a的最大值是()
A.19B.20C.21D.22
16.在等差数列中,已知前21项和,则的值为()
A.7B.9C.21D.42
17.设等差数列的前和为,若,则必有()
A.且B.且
C.且D.且
18.若数列满足,且,则()
A.B.
C.D.
19.已知等差数列中,,,则的值是()
A.15B.30C.3D.64
20.在数列中,,,则()
A.10B.145
C.300D.320
二、多选题21.题目文件丢失!
22.已知数列满足,(),数列的前项和为,则()
A.B.
C.D.
23.已知数列中,,,.若对于任意的,不等式恒成立,则实数可能为()
A.-4B.-2C.0D.2
24.著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:
1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”,记Sn为数列的前n项和,则下列结论正确的是()
A.B.
C.D.
25.已知数列的前4项为2,0,2,0,则该数列的通项公式可能为()
A.B.
C.D.
26.等差数列的前项和为,若,公差,则()
A.若,则B.若,则是中最大的项
C.若,则D.若则.
27.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:
1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,记Sn为数列{an}的前n项和,则下列结论正确的是()
A.a8=34B.S8=54C.S2020=a2022-1D.a1+a3+a5+…+a2021=a2022
28.记为等差数列的前n项和.已知,则()
A.B.C.D.
29.已知数列为等差数列,则下列说法正确的是()
A.(d为常数)B.数列是等差数列
C.数列是等差数列D.是与的等差中项
30.在数列中,若为常数,则称为“等方差数列”下列对“等方差数列”的判断正确的是()
A.若是等差数列,则是等方差数列
B.是等方差数列
C.若是等方差数列,则为常数也是等方差数列
D.若既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列
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一、等差数列选择题
1.A
【分析】
在等差数列{an}中,利用等差中项由求解.
【详解】
在等差数列{an}中,a5=3,a9=6,
所以,
所以,
故选:
A
2.A
【分析】
利用等差数列的性质可得,代入已知式子即可求解.
【详解】
由等差数列的性质可得,
所以,解得:
,
故选:
A
3.B
【分析】
由题意结合成等比数列,有即可得,进而得到、,即可求.
【详解】
由题意知:
,,又成等比数列,
∴,解之得,
∴,则,
∴,
故选:
B
【点睛】
思路点睛:
由其中三项成等比数列,利用等比中项性质求项,进而得到等差数列的基本量
1、由成等比,即;
2、等差数列前n项和公式的应用.
4.C
【分析】
设10个兄弟由大到小依次分得两银子,数列是等差数列,
利用等差数列的通项公式和前项和公式转化为关于和的方程,即可求得长兄可分得银子的数目.
【详解】
设10个兄弟由大到小依次分得两银子,由题意可得
设数列的公差为,其前项和为,
则由题意得,即,解得.
所以长兄分得两银子.
故选:
C.
【点睛】
关键点点睛:
本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得两银子构成公差的等差数列,要熟练掌握等差数列的通项公式和前项和公式.
5.C
【分析】
利用等差数列的性质直接计算求解
【详解】
因为a3+a7=2a5=4,所以a5=2.
故选:
C
6.D
【分析】
根据等差数列的性质,可判定A、B正确;当首项与公差均为0时,可判定C正确;当首项为1与公差1时,可判定D错误.
【详解】
由题意,数列为等差数列,为前项和,
根据等差数列的性质,可得而,和构成等差数列,所以,所以A,B正确;
当首项与公差均为0时,是等差数列,所以C正确;
当首项为1与公差1时,此时,此时不构成等差数列,所以D错误.
故选:
D.
7.C
【分析】
利用等差数列的求和公式,化简求解即可
【详解】
=====.
故选C
8.A
【分析】
先利用公式求出数列的通项公式,再利用通项公式求出的值.
【详解】
当时,;
当时,.
不适合上式,
.
因此,;
故选:
A.
【点睛】
易错点睛:
利用前项和求通项,一般利用公式,但需要验证是否满足.
9.A
【分析】
设项数为2n,由题意可得,及可求解.
【详解】
设等差数列的项数为2n,
末项比首项大,
,,
.
由,可得,,
即项数是8,
故选:
A.
10.B
【分析】
设出数列的公差,利用等差数列的通项公式及已知条件,得到,然后代入求和公式即可求解
【详解】
设等差数列的公差为,则由已知可得,
所以
故选:
B
11.B
【分析】
利用等差数列的性质,由,得到,然后由求解.
【详解】
因为,
所以由等差数列的性质得,
解得,
所以.
故选:
B
12.B
【分析】
设公差为,则,即可求出公差的值.
【详解】
设公差为,则,即,解得:
,
所以数列的公差为,
故选:
B
13.B
【分析】
由等差数列的通项公式可得,再由,从而可得结果.
【详解】
解:
,
,
.
故选:
B.
14.C
【分析】
根据已知条件得到关于首项和公差的方程组,求解出的值,再根据等差数列前项和的计算公式求解出的值.
【详解】
因为,所以,所以,
所以,
故选:
C.
15.B
【分析】
由等差数列的性质可得数列为等差数列,再由等差数列的通项公式可得,进而可得,再结合基本不等式即可得解.
【详解】
因为,所以,
所以数列为等差数列,设其公差为,
由可得,
所以,解得,
所以,所以,
所以不等式即对任意的恒成立,
又,当且仅当时,等号成立,
所以即实数a的最大值是.
故选:
B.
【点睛】
关键点点睛:
解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用.
16.C
【分析】
利用等差数列的前项和公式可得,即可得,再利用等差数列的性质即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为,则,
所以,即,所以,
所以
,
故选:
C
【点睛】
关键点点睛:
本题的关键点是求出,进而得出,
即可求解.
17.D
【分析】
由等差数列前n项和公式即可得解.
【详解】
由题意,,
所以,.
故选:
D.
18.B
【分析】
根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解.
【详解】
由,则,
即,
所以数列是以为首项,为公差的等差数列,
所以,
所以.
故选:
B
19.A
【分析】
设等差数列的公差为,根据等差数列的通项公式列方程组,求出和的值,
,即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为,
则,即解得:
,
所以,
所以的值是,
故选:
A
20.C
【分析】
由等差数列的性质可得,结合分组求和法即可得解。
【详解】
因为,,
所以数列是以为首项,公差为3的等差数列,
所以,
所以当时,;当时,;
所以
.
故选:
C.
二、多选题
21.无
22.BC
【分析】
根据递推公式,得到,令,得到,可判断A错,B正确;根据求和公式,得到,求出,可得C正确,D错.
【详解】
由可知,即,
当时,则,即得到,故选项B正确;无法计算,故A错;
,所以,则,故选项C正确,选项D错误.
故选:
BC.
【点睛】
方法点睛:
由递推公式求通项公式的常用方法:
(1)累加法,形如的数列,求通项时,常用累加法求解;
(2)累乘法,形如的数列,求通项时,常用累乘法求解;
(3)构造法,形如(且,,)的数列,求通项时,常需要构造成等比数列求解;
(4)已知与的关系求通项时,一般可根据求解.
23.AB
【分析】
由题意可得,利用裂项相相消法求和求出,只需对于任意的恒成立,转化为对于任意的恒成立,然后将选项逐一验证即可求解.
【详解】
,,
则,,,,
上述式子累加可得:
,,
对于任意的恒成立,
整理得对于任意的恒成立,
对A,当时,不等式,解集,包含,故A正确;
对B,当时,不等式,解集,包含,故B正确;
对C,当时,不等式,解集,不包含,故C错误;
对D,当时,不等式,解集,不包含,故D错误,
故选:
AB.
【点睛】
本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立,考查了转化与划归的思想,属于中档题.
24.ABD
【分析】
根据,,,计算可知正确;根据,,,,,,累加可知不正确;根据,,,,,,累加可知正确.
【详解】
依题意可知,,,,
,,,,故正确;
,所以,故正确;
由,,,,,,
可得,故不正确;
,,,,,,
所以
,
所以,故正确.
故选:
ABD.
【点睛】
本题考查了数列的递推公式,考查了累加法,属于中档题.
25.BD
【分析】
根据选项求出数列的前项,逐一判断即可.
【详解】
解:
因为数列的前4项为2,0,2,0,
选项A:
不符合题设;
选项B:
,符合题设;
选项C:
,
不符合题设;
选项D:
,符合题设.
故选:
BD.
【点睛】
本题考查数列的通项公式的问题,考查了基本运算求解能力,属于基础题.
26.BC
【分析】
根据等差数列的前项和性质