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定义证明二重极限
第一篇：
定义证明二重极限
定义证明二重极限
就是说当点（x,y）落在以（x0,y0）点附近的一个小圈圈内的时候，f（x,y）与a的差的绝对值会灰常灰常的接近。
那么就说f（x,y）在（x0,y0）点的极限为a
关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：
定义1设函数在点的某一邻域内有定义（点可以除外），如果对于任意给定的正数。
，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p（x，y）所对应的函数值都满足不等式那末，常数a就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于d的点，若对于任意给定的正数。
，总存在正数a，使得对d内适合不等式0<户几卜8的一切点p，有不等式v（p）一周<。
成立，则称a为函数人p）当p～p。
时的极限.定义3设函数x一人工，”的定义域为d，点产人工。
，人）是d的聚点，如果对于任意给定的正数。
，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点p（x，…ed，都有成立，则称a为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人x，…在点p入x。
，汕）的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y）在点p。
（x。
，入）的任一去心邻域内都有使人x，y）无定义的点，相应地，定义i要求见的去心邻域内的点p都适合/（p）一a卜
利用极限存在准则证明：
（1）当x趋近于正无穷时，（inx/x^2）的极限为0;
（2）证明数列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1）用夹逼准则:
x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0
且lnx1）,lnx/x^2<（x-1）/x^2.而（x-1）/x^2极限为0
故（inx/x^2）的极限为0
2）用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a
x0>√a时,xn-x（n-1）=/2<0,单调递减
且xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.
设数列极限为a,xn和x（n-1）极限都为a.
对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a
同理可求x0<√a时,极限亦为√a
综上,数列极限存在,且为√
（一）时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:
的意义,的直观意义.
定义（和.）
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
（二）时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证（类似有（三）单侧极限:
1.定义：
单侧极限的定义及记法.
几何意义:
介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质（3学时）
教学目的：
使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：
掌握函数极限的基本性质：
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：
函数极限的性质及其计算。
教学难点：
函数极限性质证明及其应用。
教学方法：
讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
（一）函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性（不等式性质）:
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=（现证对有）
註:
若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:
（只证“+”和“”）
（二）利用极限性质求极限：
已证明过以下几个极限：
（注意前四个极限中极限就是函数值）
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1（利用极限和）
例2例3註:
关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
第二篇：
证明二重极限不存在
证明二重极限不存在
如何判断二重极限（即二元函数极限）不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f（x,y）不存在,通常的方法是:
找几条通过（或趋于）定点（x0,y0）的特殊曲线,如果动点（x,y）沿这些曲线趋于（x0,y0）时,f（x,y）趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f（x,y）不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过（x0,y0）,并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f（x,y）g（x,y）的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f（x,y）-g（x,y）=0,这样做就很容易出错。
例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-（x2+y2）=0→（0,0）时,所得的结论就不同（这时f（x,y）→1）。
为什么会出现这种情况呢?
仔细分析一下就不难得到答案
2
若用沿曲线，（，y）一g（，y）=0趋近于（，y0）来讨论，一0g，y。
。
可能会出现错误，只有证明了（，）不是孤立点后才不会出错。
o13a1673-3878（201X）0l__0l02__02如何判断二重极限（即二元函数极限）不存在。
是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。
只是略谈一下在判断二重极限不存在时。
一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知，要讨论limf（x，y）不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：
找几条通过（或趋于）定点（xo，yo）的特殊曲线，如果动点（x，y）沿这些曲线趋于（xo，y。
）时，f（x，y）趋于不同的值，则可判定二重极限limf（x，y）不存在，这一方i—’10r’y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过（xo，y。
），并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜’iogx，yy—·y0断其不存在时，不少人找的曲线是f（x，y）一g（x，y）：
0，这样做就很容易出错。
3
当沿曲线y=-x+x^2趋于（00）时，极限为lim（-x^2+x^3）/x^2=-1;
当沿直线y=x趋于（00）时，极限为limx^2/2x=0。
故极限不存在。
4
x-y+x^2+y^2
f（x,y）=————————
x+y
它的累次极限存在：
x-y+x^2+y^2
limlim————————=-1
y->0x->0x+y
x-y+x^2+y^2
limlim————————=1
x->0y->0x+y
当沿斜率不同的直线y=mx,（x,y）->（0,0）时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。
第三篇：
用极限定义证明极限
例1、用数列极限定义证明：
limn?
2?
0n?
?
n2?
7
n?
2时n?
2
（1）2n
（2）2nn?
22（3）24（4）|2?
0|?
2?
2?
2?
?
?
?
?
nn?
7n?
7n?
7n?
nn?
1n?
n
2
上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号
（1）、
（2）、（3）均成立方可。
第一个等号成立的条件是n>2；不等号
（1）成立的条件是2（2）成立的条件是7n4，即n>2；不等号（4）成立的条件是n?
[]，故取n=max{7,2?
44[]}。
这样当n>n时，有n>7，n?
[]。
?
?
4因为n>7,所以等号第一个等号、不等式
（1）、
（2）、（3）能成立；因为n?
[]，所以不等号（3）成立的条件是1?
?
|不等式（4）能成立，因此当n>n时，上述系列不等式均成立，亦即当n>n时，
在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n?
2?
0|?
?
。
n2?
7n的方法，因此，对于具体的数，．．．．．．．2
可把它放大为（k为大于零的常数）的形式．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．．
n?
4?
0n?
?
n2?
n?
1
n?
4n?
4n?
4时n?
n2n2
（1）|2?
0|?
2?
2?
?
?
?
n?
n?
1n?
n?
1n?
n?
1n2n
22不等号
（1）成立的条件是n?
[],故取n=max{4,[]},则当n>n时，上面的不等式都成?
?
例2、用数列极限定义证明：
lim
立。
注：
对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。
如：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
n2?
n?
1?
n2
n2?
n?
1?
n
n?
n?
n22
n（n?
1）2?
n?
1
（?
1）n
例3、已知an?
，证明数列an的极限是零。
2（n?
1）
（?
1）n1
（1）1
（2）
证明：
?
?
?
0（设0?
?
?
1），欲使|an?
0|?
||?
?
?
?
成立22（n?
1）（n?
1）n?
1
11?
?
解得：
n?
?
1，由于上述式子中的等式和不等号
（1）对于任意的正整n?
1?
1数n都是成立的，因此取n?
[?
1]，则当n>n时，不等号
（2）成立，进而上述系列等式由不等式?
和不等式均成立，所以当n>n时，|an?
0|?
?
。
在上面的证明中，设定0?
?
?
1，而数列极限定义中的?
是任意的，为什么要这样设定？
这样设定是否符合数列极限的定义？
在数列极限定义中，n是一个正整数，此题如若不设定0?
?
?
1，则n?
[?
1]就有1
?
可能不是正整数，例如若?
＝2，则此时n＝－1，故为了符合数列极限的定义，先设定0?
?
?
1，这样就能保证n是正整数了。
那么对于大于1的?
，是否能找到对应的n？
能找到。
按照上面已经证明的结论，当?
＝0.5时，有对应的n1，当n>n1时，|an?
0|＜0.5成立。
因此，当n＞n1时，对于任意的大于1的?
，下列式子成立：
|an?
0|＜0.5＜1＜?
，亦即对于所有大于1的?
，我们都能找到与它相对应的n=n1。
因此，在数列极限证明中，?
可限小。
只要对于较小的?
能找到对应的n，则对于较大的?
．．．
就自然能找到对应的n。
第四篇：
极限定义证明
极限定义证明
趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0
x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2
这两个用函数极限定义怎么证明?
x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0
证明：
对于任意给定的ξ>0，要使不等式
|sinx/√x-0|=|sinx/√x|<ξ成立，只需要
|sinx/√x|^2<ξ^2,即sinx^2/x<ξ^2（∵x→+∞）,则x>sinx^2/ξ^2,
∵|sinx|≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，
所以取x=1/ξ^2，当x>x时，必有|sinx/√x-0|<ξ成立，
同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0.
x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2
证明：
对于任意给定的ξ>0，要使不等式
|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|<ξ成立，只
需要0<|x+1/2|<ξ/2成立.所以取δ=ξ/2,则当0<|x+1/2|<δ时，必有
|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|<ξ
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