北师大版数学九年级下册24《二次函数的应用二》word同步练习.docx

北师大版数学九年级下册24《二次函数的应用二》word同步练习.docx

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北师大版数学九年级下册24《二次函数的应用二》word同步练习

2.4二次函数的应用

（二）

一、选择题

1．如图2－109所示的抛物线的解析式是（）

A．y＝x2－x＋2B．y=－x2－x＋2

C．y＝x2＋x＋2D．y=－x2＋x＋2

2.（2014•佛山，第6题3分）下列函数中，当x＞0时，y值随x值的增大而减小的是（　　）

A、y=xB、y=2x﹣1C、y=D、y=x2

3（2014•浙江金华，第9题，3分）如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（　　）

A、﹣1≤x≤3B、x≤﹣1C、x≥1D、x≤﹣1或x≥3

4.（2014•甘肃天水，第4题4分）将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（　　）

Ay=（x﹣1）2+2By=（x+1）2+2Cy=（x﹣1）2﹣2Dy=（x+1）2﹣2

5．（2014•齐齐哈尔，9题3分）如图，二次函y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点（2，0），下列说法：

①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（　　）

A①②④B③④C①③④D①②

二、填空题

6．如图2－110所示的是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a的值是．

7．已知抛物线y＝4x2－11x－3，则它的对称轴是，与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是.

8．抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为l，则b的值是．

9.（2014•辽宁沈阳，第15题，4分）某种商品每件进价为20元，调查表明：

在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为　　元．

10.（2014•甘肃天水，第18题4分）如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为（　　）．

三、解答题

11．用12米长的木料做成如图2－111所示的矩形窗框（包括中间的十字形），当长、宽各为多少时，矩形窗框的面积最大?

最大面积是多少?

12．如图2－112所示，△ABC的面积为2400cm2，底边BC的长为80cm，若点D在BC上，点E在AC上，点F在AB上，且四边形BDEF为平行四边形，设BD＝xcm，SBDEF=ycm2．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）求自变量x的取值范围；

（3）当x为何值时，y最大?

最大值是多少?

13．如图2-113所示，在ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠BAD＝120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，延长FE与DC的延长线交于点G，设BE＝x，△DEF的面积为S．

（1）求证△BEF∽△CEG；

（2）用x表示S的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少?

14．如图2－114所示，在边长为8cm的正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个点，它们分别从点A、点C同时出发，沿对角线以1cm／s的相同速度运动，过E作EH垂直AC，交Rt△ADC的直角边于H；过F作FG垂直AC，交Rt△ADC的直角边于G，连接HG，EB.设HE，EF，FG，GH围成的图形面积为S1，AE，EB，BA围成的图形面积为S2（这里规定：

线段的面积为0）．若E到达C，F到达A，则停止运动．若E的运动时间为xs，解答下列问题．

（1）当0＜x＜8时，直接写出以E，F，G，H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，S1=S2；

（2）①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式；（图2－115为备用图）②求y的最大值．

15.（2014•湖北潜江仙桃，第25题12分）已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当BQ=AP时，求t的值；

（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？

若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．D[提示：

应用待定系数法．]

2.C

3.D

4.A

5.A

6．1[提示：

抛物线开口向上，故a＞0．因为图象过原点，所以a2－1＝0，所以a＝±1，所以a＝1．]

7．x＝（3，0）,（－，0）（0，－3）

8．－3

9.25

10（10.5，﹣0.25）

11．解：

设窗框的长为x米，则窗框的宽为米，矩形窗框的面积y＝x（）＝－x2＋4x．配方得y＝－（x－2）2＋4．∵a=－l＜0，∴函数y＝－（x－2）2＋4有最大值．当x＝2时，y最大值＝4平方米，此时＝4－2＝2（米），即当长、宽各为2米时，矩形窗框的面积最大，最大值为4平方米．

12．解：

（1）设A到BC的距离为dcm，E到BC的距离为hcm，则y=SBDEF=xh．∵S△ABC＝BC·d，∴2400=×80d，∴d=60．∵ED∥AB，∴△EDC∽△ABC，∴，即，∴h=，∴y＝x＝－x2＋60x．

（2）自变量x的取值范围是0＜x＜80．（3）∵a=－＜0，－＝40，0＜40＜80，∴当x＝40时，y最大值＝1200．

13．

（1）证明：

∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECG．又∠BEF=∠CEG，∴△BEF∽△CEG．

（2）解：

由

（1）得，∠G＝∠BFE＝90°，∴DG为△DEF中EF边上的高．在Rt△BFE中，∠B=60°，EF＝BEsinB＝x.在Rt△CGE中，CE=3－x，CG=（3－x）cos60°=，∴DG=DC＋CG=，∴S=EF·DG=－x2＋x，其中0＜x≤3．

（3）解：

∵a=－＜0，对称轴x＝，∴当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，∴当x＝3，即E与C重合时，S有最大值，S最大值＝3．

14．解：

（1）以E，F，G，H为顶点的四边形是矩形．∵正方形ABCD的边长为8，∴AC=16．∵AE＝x，过点B作BO⊥AC于O，如图2－116所示，则BO＝8，∴S2＝4x．∵HE=x，EF＝16－2x，∴S1=x（16－2x）．当S1＝S2，即x（16－2x）=4x时，解得x1=0（舍去），x2＝6．∴当x＝6时，S1＝S2．

（2）①当0≤x＜8时，如图2－116所示．y=x（16－2x）＋4x＝－2x2＋20x．当8≤x≤16时，如图2－117所示，AE＝x，CE=HE＝16－x，EF＝16－2（16－x）=2x－16，∴S1＝（16－x）（2x－16），∴y＝（16－x）（2x－16）＋4x=－2x2＋52x－256．

（2）解法1：

②当0≤x＜8时，y＝－2x2＋20x＝－2（x2－10x＋25）＋50=－2（x－5）2＋50，∴当x＝5时，y的最大值为50．当8≤x≤16时，y＝－2x2＋52x－256=－2（x－13）2＋82，∴当x＝13时，y的最大值为82．综上可得，y的最大值为82．解法2：

②y＝－2x2＋20x（0≤x＜8），当x＝－＝5时，y最大值＝＝50．y=－2x2＋52x－256（8≤x≤16），当x=－＝13时，y最大值=＝82．综上可得，y的最大值为82．

15.解：

（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

∵抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，

∴，

解得，

∴y=﹣x2﹣x+2．

（2）∵AQ⊥PB，BO⊥AP，

∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO，

∵AO=BO=2，

∴△AOQ≌△BOP，

∴OQ=OP=t．

①如图1，当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ=2﹣t，AP=2+t．

∵BQ=AP，

∴2﹣t=（2+t），

∴t=．

②如图2，当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ=t﹣2，AP=2+t．

∵BQ=AP，

∴t﹣2=（2+t），

∴t=6．

综上所述，t=或6时，BQ=AP．

（3）当t=﹣1时，抛物线上存在点M（1，1）；当t=3+3时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3）．

分析如下：

∵AQ⊥BP，

∴∠QAO+∠BPO=90°，

∵∠QAO+∠AQO=90°，

∴∠AQO=∠BPO．

在△AOQ和△BOP中，

，

∴△AOQ≌△BOP，

∴OP=OQ，

∴△OPQ为等腰直角三角形，

∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上，

∵直线y=x垂直平分PQ，

∴M在y=x上，设M（x，y），

∴，

解得或，

∴M点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）．

①如图3，当M的坐标为（1，1）时，作MD⊥x轴于D，

则有PD=|1﹣t|，MP2=1+|1﹣t|2=t2﹣2t+2，PQ2=2t2，

∵△MPQ为等边三角形，

∴MP=PQ，

∴t2+2t﹣2=0，

∴t=﹣1+，t=﹣1﹣（负值舍去）．

②如图4，当M的坐标为（﹣3，﹣3）时，作ME⊥x轴于E，

则有PE=3+t，ME=3，

∴MP2=32+（3+t）2=t2+6t+18，PQ2=2t2，

∵△MPQ为等边三角形，

∴MP=PQ，

∴t2﹣6t﹣18=0，

∴t=3+3，t=3﹣3（负值舍去）．

综上所述，当t=﹣1+时，抛物线上存在点M（1，1），或当t=3+3时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3），使得△MPQ为等边三角形．