数学重庆市江津中学届高三月考试题理.docx

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数学重庆市江津中学届高三月考试题理

重庆市江津中学2018届高三4月月考数学试题（理）

第Ⅰ卷

一、选择题

1.若，则（）

A．B．C．D．

2.已知集合，则（）

A．B．

C．D．或

3.等差数列的前项和为，且，则（）

A．B．C．D．

4.执行如图的程序框图，则输出的值是（）

A．B．C.D．

5.已知实数满足不等式组，则的最大值为（）

A．B．C.D．

6.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（）

A．B．C.D．

7.某中学为提升学生的英语学习能力，进行了主题为“听”、“说”、“读”、“写”四场竞赛.规定：

每场竞赛的前三名得分分别为（，且），选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名，在第四场竞赛中，已知甲最终得分为分，乙最终得分为分，丙最终得分为分，且乙在“听”这场竞赛中获得了第一名，则“读”这场竞赛的前三名是（）

A．甲B．乙C.丙D．甲和丙都有可能

8.将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架（如图），小红欲从处行走至处，则小红行走路程最近的路程共有（）

A．种B．种C.种D．种

9.（）

A．B．C.D．

10.如图，半径为的扇形中，是弧上的一点，且满足分别是线段上的动点，则的最大值为（）

A．B．C.D．

11.如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（）

A．B．C.D．

12.已知实数满足，则（）

A．B．C.D．

第Ⅱ卷

二、填空题

13.已知向量，且，则等于．

14.在展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式中常数项是．

15.下图是两个腰长均为的等腰直角三角形拼成的一个四边形，现将四边形沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的体积为．

16.设椭圆的两个焦点是，过的直线与椭圆交于，若，且，则椭圆的离心率为．

三、解答题

17.设数列的前项和是，且是等差数列，已知.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

18.为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：

（1）已知该校有名学生，试估计全校学生中，每天学习不足小时的人数.

（2）若从学习时间不少于小时的学生中选取人，设选到的男生人数为，求随机变量的分布列.

（3）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.

（只需写出结论）

19.如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形

为的中点，点在线段上.

（1）求证：

；

（2）试确定点的位置，使得直线与平面所成的角与直线与平面所成的角相等.

20.已知分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于两点的任意一点，直线的斜率分别记为.

（1）求；

（2）过坐标原点作与直线平行的两条射线分别交椭圆于点，问：

的面积是否为定值？

请说明理由.

21.已知，函数.

（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；

（2）令，已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：

（为参数）.

（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.

23.选修4-5：

不等式选讲

已知.

（1）当时，解不等式.

（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

【参考答案】

一、选择题

1-5:

DCDDC6-10:

CBBAC11、12：

AC

二、填空题

13.14.15.16.

三、解答题

17.解：

（1）记，又为等差数列，公差记为，

，得，得

时，时也满足.综上.

（2）由

（1）得

.

18.解：

（1）由折线图可得共抽取了人，其中男生中学习时间不足小时的有人，女生中学习时间不足小时的有人.

可估计全校中每天学习不足小时的人数为：

人.

（2）学习时间不少于本的学生共人，其中男学生人数为人，故的所有可能取值为.

由题意可得；；；；.

所以随机变量的分布列为

均值.

（3）由折线图可得差.（只需写出结论）

19.

（1）证明：

在平面四边形中，连接，因为，

由余弦定理得，得，

所以，即，又，

所以，

又，所以，

所以平面，所以.

（2）解：

侧面底面，所以底面，所以直线两两相互垂直，以为原点，直线为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系，则

，所以，设，则，所以，易得平面的法向量.设平面的法向量为，由，

得，令，得.因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，所以，即，所以，即，解得，所以.

20.解：

（1）设，则；

（2）由题知，直线，直线，设，

则，由，

同理可得，故有，

又，故.

21.解：

（1）因为，

要使在为减函数，则需在上恒成立.

即在上恒成立，因为在为增函数，所以在的最小值为，所以.

（2）因为，所以.

，

当时，在上为递增，

当时，在上为递减，

所以的最大值为，所以的值域为.

若对任意，总存在.使得成立，则，

函数在的值域是在的值域的子集.

对于函数，

①当时，的最大值为，所以在上的值域为，由得；

②当时，的最大值为，所以在上的值域为，由得（舍）.

综上所述，的取值范围是.

22.解：

（1）的极坐标方程是，整理得的直角坐标方程为.

曲线，故的普通方程为.

（2）将曲线经过伸缩变换后得到的方程为，则曲线的参数方程为（为参数）.设，则点到曲线的距离为.

当时，有最小值，所以的最小值为.

23.解：

（1）当时，等式，即，

等价于或或，解得或，

所以原不等式的解集为；

（2）设，则，

则在上是减函数，在上是增函数，

当时，取最小值且最小值为，

，解得实数的取值范围为.