1、数学重庆市江津中学届高三月考试题理重庆市江津中学2018届高三4月月考数学试题(理)第卷一、选择题1.若,则( )A B C D 2.已知集合,则( )A B C D或3.等差数列的前项和为,且,则( )A B C D 4.执行如图的程序框图,则输出的值是( )A B C. D 5.已知实数满足不等式组,则的最大值为( )A B C. D 6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于( )A B C. D 7.某中学为提升学生的英语学习能力,进行了主题为“听”、“说”、“读”、“写”四场竞赛.规定:每场竞赛的前三名得分分别为(,且),选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了
2、每场竞赛的前三名,在第四场竞赛中,已知甲最终得分为分,乙最终得分为分,丙最终得分为分,且乙在“听”这场竞赛中获得了第一名,则“读”这场竞赛的前三名是( )A甲 B乙 C.丙 D甲和丙都有可能8.将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架(如图),小红欲从处行走至处,则小红行走路程最近的路程共有( )A种 B种 C. 种 D种9. ( )A B C. D 10.如图,半径为的扇形中,是弧上的一点,且满足分别是线段上的动点,则的最大值为( )A B C. D 11.如图,已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴上,且过点,圆,过圆心的直线与抛物线和圆分别交于,则的最小值为( )A B C. D
3、12.已知实数满足,则( )A B C. D 第卷二、填空题13.已知向量,且,则等于 14.在展开式中,只有第项的二项式系数最大,则展开式中常数项是 15.下图是两个腰长均为的等腰直角三角形拼成的一个四边形,现将四边形沿折成直二面角,则三棱锥的外接球的体积为 16.设椭圆的两个焦点是,过的直线与椭圆交于,若,且,则椭圆的离心率为 三、解答题 17. 设数列的前项和是,且是等差数列,已知.(1)求的通项公式;(2)若,求数列的前项和.18. 为了解学生寒假期间学习情况,学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学习时间按整小时统计,调查结果绘成折线图如下:(1)已知该校有名学生,试估计全校学生中,
4、每天学习不足小时的人数.(2)若从学习时间不少于小时的学生中选取人,设选到的男生人数为,求随机变量的分布列.(3)试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.(只需写出结论)19. 如图,在四棱锥中,侧面底面,底面是平行四边形为的中点,点在线段上.(1)求证:;(2)试确定点的位置,使得直线与平面所成的角与直线与平面所成的角相等.20. 已知分别为椭圆的左、右顶点,为椭圆上异于两点的任意一点,直线的斜率分别记为.(1)求;(2)过坐标原点作与直线平行的两条射线分别交椭圆于点,问:的面积是否为定值?请说明理由.21. 已知,函数.(1)若函数在上为减函数,求实数的取值范围;(2)令,已知函
5、数,若对任意,总存在,使得成立,求实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答.22.选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,曲线的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系中,曲线的参数方程为:(为参数).(1)求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程;(2)将曲线经过伸缩变换后得到曲线,若分别是曲线和曲线上的动点,求的最小值.23.选修4-5:不等式选讲已知.(1)当时,解不等式.(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围.【参考答案】一、选择题1-5: DCDDC 6-10:CBBAC 11、12:AC二、填空题13. 14. 15. 16.
6、三、解答题17.解:(1)记,又为等差数列,公差记为,得,得时,时也满足.综上.(2)由(1)得.18.解:(1)由折线图可得共抽取了人,其中男生中学习时间不足小时的有人,女生中学习时间不足小时的有人.可估计全校中每天学习不足小时的人数为:人.(2)学习时间不少于本的学生共人,其中男学生人数为人,故的所有可能取值为.由题意可得;.所以随机变量的分布列为均值.(3)由折线图可得差.(只需写出结论)19.(1)证明:在平面四边形中,连接,因为,由余弦定理得,得,所以,即,又,所以,又,所以,所以平面,所以.(2)解:侧面底面,所以底面,所以直线两两相互垂直,以为原点,直线为坐标轴,建立如图所示空间
7、直角坐标系,则,所以,设,则,所以,易得平面的法向量.设平面的法向量为,由,得,令,得.因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等,所以,即,所以,即,解得,所以.20.解:(1)设,则;(2)由题知,直线,直线,设,则,由,同理可得,故有,又,故.21.解:(1)因为,要使在为减函数,则需在上恒成立.即在上恒成立,因为在为增函数,所以在的最小值为,所以.(2)因为,所以.,当时,在上为递增,当时,在上为递减,所以的最大值为,所以的值域为.若对任意,总存在.使得成立,则,函数在的值域是在的值域的子集.对于函数,当时,的最大值为,所以在上的值域为,由得;当时,的最大值为,所以在上的值域为,由得(舍).综上所述,的取值范围是.22.解:(1)的极坐标方程是,整理得的直角坐标方程为.曲线,故的普通方程为.(2)将曲线经过伸缩变换后得到的方程为,则曲线的参数方程为(为参数).设,则点到曲线的距离为.当时,有最小值,所以的最小值为.23.解:(1)当时,等式,即,等价于或或,解得或,所以原不等式的解集为;(2)设,则,则在上是减函数,在上是增函数,当时,取最小值且最小值为,解得实数的取值范围为.
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