中考数学二轮专题复习专题20探索问题.docx

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中考数学二轮专题复习专题20探索问题

探索问题

【近3年临沂市中考试题】

1．（3分）（2014•临沂）在平面直角坐标系中，函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有（　　）

A．

1个

B．

1个或2个

C．

1个或2个或3个

D．

1个或2个或3个或4个

2、（2015临沂市，3分）在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与反比例函数的图象有唯一公共点.若直线y＝－x＋b的图象与反比例函数的图象有两个公共点，则b的取值范围是

A.b>2B.－22或b<－2D.b<－2（）

3.（2016临沂市，3分）如图，直线y=﹣x+5与双曲线y=（x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于C点，△BOC的面积是．若将直线y=﹣x+5向下平移1个单位，则所得直线与双曲线y=（x＞0）的交点有（　　）

A．0个B．1个

C．2个D．0个，或1个，或2个

4、（2016临沂26题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．

（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

5、（13分）（2014•临沂）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点A到直线CD的距离；

（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．

【知识点】

二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数的解析式、二次函数的最值、菱形的性质、平行四边形的性质、垂直平分线性质、等腰三角形和直角梯形的相关知识、一元二次方程的解法、点的运动、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形相似、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想．

【规律方法】

1.初中阶段，求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数点的坐标，最后代入求解．待定系数法确定二次函数解析式时，有三种方式假设：

一般式y=ax2+bx+c（a≠0）、顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0）、交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0,x1、x2是二次函数图象与x轴两交点的横坐标），我们要根据题意选择合适的函数解析式进行假设.

2.存在性问题是一个比较重要的数学问题，通常作为中考的压轴题出现，解决这类问题的一般步骤是：

首先假设其存在，画出相应的图形；然后根据所画图形进行解答，得出某些结论；最后，如果结论符合题目要求或是定义定理，则假设成立；如果出现与题目要求或是定义定理相悖的情况，则假设错误，不存在。

3.分类讨论是一种重要的数学思想，对于某些不确定的情况，如由于时间变化引起的数量变化、等腰三角形的腰或底不确定的情况、直角梯形的直角不确定情况、运动问题、旋转问题等，当情况不唯一时，我们就要分类讨论。

在进行分类讨论时，要根据题目要求或是时间变化等，做到不重不漏的解决问题。

4.动点问题，首先从特殊的运动时间得出特殊的结论，再变为说明在任意时刻，里面存在的普遍规律，对于此类问题，常用的解决方法是：

先用运动时间的代数式表示出运动线段以及相关一些线段的长，然后通过方程或比例求出运动时间．

5.求最短路线问题，它与求线段差最大值属于同一种典型题的两种演化，都是利用了轴对称的性质来解决问题，前者用的是两点之间线段最短，后者使用的为三角形两边之和大于第三边.

【中考集锦】

一、选择题

1、（2016·四川内江）一组正方形按如图3所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是（）

A．（）2015B．（）2016C．（）2016D．（）2015

二．填空题

2.（2016年福建龙岩第16题）如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=　　　　　　．

三、解答题

1.（2016·山东省东营市·12分）在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（－1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．

（1）若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；

（2）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：

当点M在何处时，△AMA′的面积最大？

最大面积是多少？

并求出此时M的坐标；

（3）若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．

【方法总结】

（1）求出抛物线上三个点的坐标，就可以用待定系数法确定抛物线的表达式；

（2）在平面直角坐标系中解决运动产生的面积问题时，常设法建立所求面积与运动点的横坐标之间的函数关系式，借助建立的函数关系式再解决面积的最值问题；（3）在解决运动产生的平行四边形或特殊四边形问题时，先确定其四个顶点中的固定点，分别以固定点的连线为四边形的一边或一条对角线，构造符合要求的图形求解，这类问题的答案往往有多个解，要分类讨论.

【近3年临沂市中考试题】

1.

解答：

解：

函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，

C2图象是x=﹣y2﹣2y，a非常小时，直线y=a（a为常数）与C1没有交点，共有一个交点；

直线y=a经过C1的顶点时，共有两个交点；

直线y=a（a为常数）与C1、有两个交点时，直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有3个交点；

故选：

C．

2.【解答过程】解：

由直线y＝－x＋2与有唯一公共点，得b＝2.∵y＝－x＋b与y＝－x＋2平行，∴只要将直线y＝－x＋b向上平移，在第一象限内，直线y＝－x＋b与会有两个公共点，此时b>2；由反比例函数图象的对称性，知若将直y＝－x＋b线向下平移，在第三象限内，直线y＝－x＋b与也会有两个公共点，此时b＜－2，因此b的取值范围为：

b>2或b<－2故选择C.

3、【解答】解：

令直线y=﹣x+5与y轴的交点为点D，过点O作OE⊥直线AC于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如图所示．

令直线y=﹣x+5中x=0，则y=5，

即OD=5；

令直线y=﹣x+5中y=0，则0=﹣x+5，解得：

x=5，

即OC=5．

在Rt△COD中，∠COD=90°，OD=OC=5，

∴tan∠DCO==1，∠DCO=45°．

∵OE⊥AC，BF⊥x轴，∠DCO=45°，

∴△OEC与△BFC都是等腰直角三角形，

又∵OC=5，

∴OE=．

∵S△BOC=BC•OE=×BC=，

∴BC=，

∴BF=FC=BC=1，

∵OF=OC﹣FC=5﹣1=4，BF=1，

∴点B的坐标为（4，1），

∴k=4×1=4，

即双曲线解析式为y=．

将直线y=﹣x+5向下平移1个单位得到的直线的解析式为y=﹣x+5﹣1=﹣x+4，

将y=﹣x+4代入到y=中，得：

﹣x+4=，

整理得：

x2﹣4x+4=0，

∵△=（﹣4）2﹣4×4=0，

∴平移后的直线与双曲线y=只有一个交点．

故选B．

4、【解答】解：

（1）∵直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，

∴A（5，0），B（0，10），

∵抛物线过原点，

∴设抛物线解析式为y=ax2+bx，

∵抛物线过点B（0，10），C（8，4），

∴，

∴，

∴抛物线解析式为y=x2﹣x，

∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），

∴AB2=52+102=125，BC2=82+（8﹣5）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形．

（2）如图1，

当P，Q运动t秒，即OP=2t，CQ=10﹣t时，

由

（1）得，AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，

在Rt△AOP和Rt△ACQ中，

，

∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，

∴OP=CQ，

∴2t=10﹣t，

∴t=，

∴当运动时间为时，PA=QA；

（3）存在，

∵y=x2﹣x，

∴抛物线的对称轴为x=，

∵A（5，0），B（0，10），

∴AB=5

设点M（，m），

①若BM=BA时，

∴（）2+（m﹣10）2=125，

∴m1=，m2=，

∴M1（，），M2（，），

②若AM=AB时，

∴（）2+m2=125，

∴m3=，m4=﹣，

∴M3（，），M4（，﹣），

③若MA=MB时，

∴（﹣5）2+m2=（）2+（10﹣m）2，

∴m=5，

∴M（，5），此时点M恰好是线段AB的中点，构不成三角形，舍去，

∴点M的坐标为：

M1（，），M2（，），M3（，），M4（，﹣），

5、

解答：

解：

（1）直线y=2x﹣1，当x=0时，y=﹣1，则点C坐标为（0，﹣1）．

设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

∵点A（﹣1，0）、B（1，0）、C（0，﹣1）在抛物线上，

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为：

y=x2﹣1．

（2）如答图2所示，直线y=2x﹣1，当y=0时，x=；

设直线CD交x轴于点E，则E（，0）．

在Rt△OCE中，OC=1，OE=，由勾股定理得：

CE=，

设∠OEC=θ，则sinθ=，cosθ=．

过点A作AF⊥CD于点F，

则AF=AE•sinθ=（OA+OE）•sinθ=（1+）×=，

∴点A到直线CD的距离为．

（3）∵平移后抛物线的顶点P在直线y=2x﹣1上，

∴设P（t，2t﹣1），则平移后抛物线的解析式为y=（x﹣t）2+2t﹣1．

联立，化简得：

x2﹣（2t+2）x+t2+2t=0，

解得：

x1=t，x2=t+2，即点P、点Q的横坐标相差2，

∴PQ===．

△GPQ为等腰直角三角形，可能有以下情形：

i）若点P为直角顶点，如答图3①所示，则PG=PQ=．

∴CG====10，

∴OG=CG﹣OC=10﹣1=9，

∴G（0，9）；

ii）若点Q为直角顶点，如答图3②所示，则QG=PQ=．

同理可得：

Q（0，9）；

iii）若点G为直角顶点，如答图3③所示，此时PQ=，则GP=GQ=．

分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足分别为点M、N．

易证Rt△PMG≌Rt△GNQ，

∴GN=PM，GM=QN．

在Rt△QNG中，由勾股定理得：

GN2+QN2=GQ2，即PM2+QN2=10①

∵点P、Q横坐标相差2，∴NQ=PM+2，

代入①式得：

PM2+（PM+2）2=10，解得PM=1，

∴NQ=3．

直线y=2x﹣1，当x=1时，y=1，∴P（1，1），即OM=1．

∴OG=OM+GM=OM+NQ=1+3=4，