基于小波变换的图像去噪精编版Word文件下载.docx
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这些去噪方法都有各自的优点和不足。
2.1图像噪声
2.1.1噪声来源
①在光电、电磁转换过程中引起的人为噪声。
②大气层电（磁）暴、闪电、电压和浪涌等引起的强脉冲性冲击干扰。
③由物理的不连续性或粒子性所引起的自然起伏性噪声。
2.1.2噪声分类
图像是一种重要的信息源，其本质是光电信息。
一幅图像在实际应用中可能存在各种各样的噪声，这些噪声可能在传输中产生，也可能在量化等处理中产生。
根据噪声和信号的关系，可将其分为三种形式（
表示给定原始图像，
表示图像信号，
表示噪声）：
①加性噪声
含噪声的图像可表示为：
，即噪声与信号的关系是相加的。
不管有没有信号，噪声都会存在。
加性噪声干扰有用信号，因而不可避免地对通信造成危害，所以对图像进行相关处理前必须去除加性噪声。
信道噪声及光导摄像管的摄像机扫描图像时产生的噪声，就属这类噪声。
加性噪声中包括椒盐噪声、高斯噪声等典型的图像噪声。
椒盐噪声往往由图像切割引起的，是由图像传感器等产生的黑图像的白点、白图像上的黑点。
去除脉冲干扰级椒盐噪声可以用均值滤波、维纳滤波等经典图像去噪技术进行去噪处理，而非线性滤波技术中值滤波是其中最常用的方法。
高斯噪声就是n维分布都服从高斯分布，即正态分布的概率密度函数的噪声。
高斯噪声是图像含有的主要噪声，在小波域里能很好地实现去除高斯噪声。
②乘性噪声
，即噪声与信号的关系是相乘的。
信号在它在，信号不在也就不在。
乘性噪声一般由信道不理想引起，飞点扫描器扫描图像时的噪声，电视图像中的相干噪声，胶片中的颗粒噪声就属于此类噪声。
③量化噪声
此类噪声与输入图像信号无关，是量化过程存在量化误差，再反映到接收端而产生。
这类噪声不是我们研究的方向。
一般来说，图像噪声多是与信号直接相加的。
因此，原则上乘性噪声信号的去除最好先转换为加性噪声。
所以我们去噪的主要目的是去掉加性噪声的影响，即高斯噪声和椒盐噪声。
2.2噪声模拟
研究图像去噪技术，首先要给图像添加噪声，进行噪声的模拟。
数字图像噪声产生的途径有很多种。
MATLAB的图像处理工具箱提供imnoise函数，可以用该函数给图像添加五不同种类的噪声。
表2.1列出了imnoise函数能够产生的五种噪声及对应参数。
具体的应用为：
首先将图像读出来，然后给图像添加噪声。
I=imread（'
filename.tif'
）
J=imnoise（I,'
type'
parameters）
其中，filename为图像名称，且一般为灰度图像，参数type指定滤波器的种类，parameters是与滤波器种类有关的具体参数。
表2.1imnoise函数支持的噪声种类及其参数说明
type
parameters
说明
gaussian
m,v
均值为m，方差为v的高斯噪声
salt&
pepper
无
椒盐噪声
possion
泊松噪声
localvar
v
均值为0，方差为v的高斯白噪声
speckle
均值为0，方差为v的均匀分布随机噪声
2.3经典图像去噪技术
现有的经典的图像去噪方法大致可以划分为两类：
一类是空间域方法，主要采用各种图像平滑模板对图像进行卷积处理，以达到压抑或去除噪声的目的；
另一类是频域方法，主要通过对图像进行变换以后，选用适当的频率带通滤波器进行滤波处理，经反变换后获得去噪声图像。
常见的空域滤波有均值滤波、中值滤波和维纳滤波等方法。
它们的基本特点都是让图像在傅里叶空间的某个范围内的分量受到抑制，同时保持其他分量不变，从而改变输出图像的频率分布，达到图像增强的目的。
常见的频域滤波则有高通滤波和低通滤波等方法。
2.3.1均值滤波
⒈基本原理
均值滤波器，是一种最常用的线性低通滤波器。
这种方法的基本思想是，用几个像素灰度的平均值来代替每个像素的灰度值。
均值滤波器所有的系数都是正数，为了保持输出图像仍在原来的灰度范围内，模板与像素邻域的乘积和都要除以9[1]。
以
邻域为例，假设当前的待处理像素为
，最简单的一种均值滤波模板为：
将以上的均值滤波器加以修正，可以得到加权平均滤波器。
例如：
设一幅数字图像
为
的阵列，平滑后的图像为
，它的每个像素的灰度由包含
的预定邻域的几个像素的灰度级的平均值所决定，如式（2.1），
（2.1）
式（2.1）中，S是
像素点的不包含
像素点的预定邻域，K是S内的坐标点总数。
⒉滤波效果
对图像进行均值滤波处理，相当于让图像信号通过一低通滤波器。
这种方法通过把突变点的灰度分散在其相邻点中，然后达到平滑作用。
原始图像经过均值滤波后噪声得到了抑制，图像也得到了平滑。
但是均值滤波对极限像素值（与周围像素灰度值相差较大的像素）比较敏感，同时也使图像边缘变得模糊[2]。
2.3.2维纳滤波
维纳滤波是一种自适应滤波，它能根据图像的局部方差调整滤波器的输出。
维纳滤波的最终目标是使恢复图像
与原始图像
的均方误差
最小。
维纳滤波器以最小均方误差
作为最优准则。
（2.2）
因为对误差进行平方运算，使得大误差的分量远远小于小误差的分量，选择
就可以限制滤波输出的主要误差，也可以使用其他的最优原则进行分析（例如平均误差等）。
但是这些准则将使得分析过程变得较为复杂，而且效果也不是很好。
我们可以用MATLAB中的wiener2函数对一幅图像进行自适应滤波，wiener2函数的调用格式为：
J=wiener2（I,[MN],NOISE）
I表示输入图像，[MN]表示卷积使用的邻域大小，缺省值为[33]；
NOISE为噪声强度，如果不指定此参数，那么wiener2函数将返回一个估计的噪声强度。
2.3.3中值滤波
⒈基本原理
中值的定义为：
有一组数
，把各数值按大小顺序排列于下，
其中，
就称为序列
的中值。
若n为奇数，则中值
为排在第
的数；
n为偶数时，则中值为排在第
的数与排在第
的数之和的平均值。
例如有一序列为（80，90，200，110，120），那么这个序列的中值为110。
中值滤波的基本原理是，把数字图像或数字序列中的一点用该点的一个邻域中各点值的中值代替[3]。
把一个点的特定长度或者形状的邻域称做窗口。
在一维情况下，中值滤波器是一个含有奇数个像素的滑动窗口，窗口正中间的那个像素的值用窗口中各像素的中值代替。
设输入序列为
，
为自然数合集或子集，n为窗口长度。
则滤波器输出为
（2.3）
式中，
。
中值滤波的概念很容易推广到二维，此时可以利用某种形式的二维窗口。
二维窗口的形状可以取方形，也取近似圆形或十字形。
一维、二维窗口内各点对输出的作用是相同的。
如果希望强调中间点或距中间点最近的几个点的作用，可以采用加权中值滤波。
中值滤波的主要功能是，让周围象素灰度值的差比较大的像素改取与周围的像素值接近的值，从而可以消除孤立的噪声点。
中值滤波的滤波原理与均值滤波方法相似，但其输出值是由邻域像素的中间值而不是平均值决定的，因此中值对极限像素值远不如平均值那么敏感。
中值滤波的效果比均值滤波好，对滤除图像的椒盐噪声尤其有效。
中值滤波在衰减噪声的同时不会使图像的边界模糊，从而获得比较满意的图像复原效果。
而且在实际运算过程中不需要图像的统计特性，它的效果依赖于邻域的空间范围和中值计算中模板所覆盖的像素数。
因此，改变滤波器的长度或者模板均可改变滤波器的性能。
一般来说，小于中值滤波器面积的一半的亮或暗的物体基本上会被滤掉，而较大的物体会几乎不变地保存下来。
中值滤波对图像中的细节处理不理想，对许多点、线等细节较多的图像不大适用。
第3章基于小波域的图像去噪技术的研究
本文用到的去噪方法主要是基于小波域的，小波域里的图像去噪技术有很多种。
现如今，小波去噪技术已经广泛地应用在图像去噪领域。
3.1小波分析概述
小波（Wavelet）又称为子波，是一个有限的、均值为零的振荡波形。
小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域。
经过近20年的探索研究，重要的数学形式体系已经建立，理论基础更加扎实。
小波分析（WaveletAnalysis）的概念是1984年法国的地球物理学家J.Morlet在分析处理地球物理勘探资料时提出来的。
小波变换的数学基础是19世纪的傅里叶变换，其后，理论学家A.Grossman采用平移和伸缩不变性建立了小波变换的理论体系。
1985年，法国数学家Y.Meyer第一个构造出具有一定衰减性的光滑小波。
1988年，比利时的数学家Daubechies证明了紧支集正交标准小波基的存在，使得离散小波分析成为可能。
1989年S.Mallat提出多分辨分析概念，统一了在此之前的各种构造小波的方法，使小波变换完全走向实用性。
信号分析专家S.Mallat提出的多分辨分析的概念，给出了构造正交小波基的一般方法，并以多分辨分析为基础提出了著名的快速小波算法——Mallat算法。
Mallat算法的提出标志着小波理论获得突破，开创了小波理论应用于信号处理领域的新局面[4]。
小波分析是时间-尺度分析与多分辨率分析的一种新技术，应用领域十分广泛。
小波分析方法成功地应用在去噪领域，是由于小波变换具有如下特点[5]：
①低熵性：
小波系数的稀疏分布，使得图像变换后的熵降低。
②多分辨性：
由于采用了多分辨分析，所以可以非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等。
③去相关性：
因为小波变换可以对信号进行去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比空域更利于去噪。
④选基灵活性：
由于小波变换可以灵活选择变换基，从而对不同的应用场合，对不同的研究对象，可以选用不同的小波母函数，以获得最佳的效果。
3.1.1时频特性
信号分析的主要目的，一般是为了获得时间和频域之间的相互关系。
傅里叶变换的特点是域变换，它把时域和频域联系起来。
傅里叶变换要求提供全部信号的信息，时域信号的局部改变会影响频域的全局改变，同样的频域中的某点变化也会影响全部的时域。
这样信号分析就面临着一对矛盾：
时域和频域局部化的矛盾。
相比而言，小波变换通过平移母小波可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度（尺度）可获得信号的频率特性，是时间（空间）频率的局部化分析。
小波变换通过伸缩平移运算，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分。
即在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率；
在高频情况下（频率变换不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。
这样就能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，探测正常信号中的瞬态成分，解决了傅里叶变换不能解决的许多问题。
因此，小波变换被誉为“数学显微镜”。
3.1.2多分辨率分析
多分辨率（多尺度）技术在许多信号和图像处理应用中的重要性已为人们所认识，主要三个方面[6]：
①尺度是许多物理现象内在特性。
信号，特别是图像信号，含有不同分辨率的物理结构特征。
②多分辨率分析就是在不同尺度、不同分辨率下研究信号。
从频域观点看，信号多分辨率分解相当于信号多频道分解。
③多分辨率技术往往表现出某些计算的优越性。
多分辨率分析的作用是将信号分解成不同空间的部分，多分辨率跟小波变换建立了密切的联系。
小波变换作为信号分辨率分析的有力工具，而多分辨率分析理论又为小波变换提供了数学上的理论基础和一种构造各正交小波基、双正交小波基等的简单方法。
3.1.3常用小波函数
①Haar小波：
最早、最简单的小波，本身是一个阶跃函数。
②Daubechies小波：
其系列简写为dbN，N本身阶数，db是小波名字的前缀。
③SymletA小波族：
即symN小波族，类似于db小波族，但具有更好的对称性。
④Molet小波：
是一个具有解析表达式的小波，但不具备正交性，所以只能满足连续小波的可允条件，不能做离散小波变换和正交小波变换。
3.2小波变换
3.2.1连续小波变换
设函数
具有有限能量，即
，定义：
（3.1）
如果
满足以下条件：
（3.2）
那么下式就称为小波函数：
（3.3）
称为基小波函数，
为尺度因子，
为位移因子。
若
>
1，函数
具有伸展作用，
<
则具有收缩作用。
由式（3.3）可以看出，小波函数就是一个满足式（3.2）的函数经过伸缩和平移得到的一族函数。
小波
的选择既不是唯一的，也不是任意的，它应满足如下两个条件：
①定义域是紧支撑的（CompactSupport），换句话说，就是在一个很小的区间之外，函数为零。
也就是说函数应具有速降特性，以便获得空间局域化。
②平均值为零，即
（3.4）
甚至其高阶矩阵也为零，即
（3.5）
上述两个条件可以概括为：
小波应是一个具有振荡性和迅速衰减的波。
事实上傅里叶变换就是所有时间上的信号与负指数的乘积之和。
同样的，连续小波变换CWT（ContinualWaveletTransform）定义为，所有时间上的信号
与小波函数的乘积之和。
（3.6）
其逆变换为
（3.7）
式（3.6）为小波变换公式，式（3.7）为小波重构公式，从这两个式子可以看出，一个一维函数的连续小波是一个双变量函数，因此称连续小波变换是超完备的，因为它要求的存储量和代表的信息量都增加了。
是一个二维函数，那么它的连续小波变换定义如下：
（3.8）
和
表示在两个维度上的平移。
小波变换的时宽和频宽的乘积都很小，而且在时间和空间上都很集中。
小波系数能非常清楚地说明在时间点上不连续点的准确位置。
二维连续小波的逆变换的定义如下：
（3.9）
3.2.2离散小波变换
⒈离散小波的定义
连续小波变换主要用于理论上的分析，而在实际应用中离散小波变换DWT（DiscreteWaveletTransform）更适用于计算机处理。
离散小波的定义表示为（
）：
（3.10）
则相应的小波变换可由式（3.11）定义。
（3.11）
⒉尺度函数
由尺度函数构造小波是小波变换的必经之路。
尺度函数
应满足下列六个条件：
①
，它是一个平均函数。
与小波函数
相比较，其傅里叶变换
具有低通特性，
具有带通特性。
②
，即尺度函数是范数为1的规范化函数。
③尺度函数对所有的小波是正交的。
④尺度函数对于平移是正交的，但对于伸缩收缩来说不是正交的。
⑤某一尺度上的尺度函数可以由下一尺度的线性组合得到。
⑥尺度函数与小波是有关联的，小波可以由尺度函数的伸缩和平移的线性组合获得，这就是构造小波正交基的途径。
⒊紧支集概念
紧支集是小波变换中经常用到的数学概念，它是衡量小波性能的重要指标。
函数
的支集或支撑区supp
是指其最大开集的补集。
函数的支集就是函数定义域的闭子集，也就是说这样一个最小的闭子集或区间
，使得在
之外函数
为零。
如果说函数
是紧支集就是指
的支撑区supp
是紧支集，即supp
是有界闭区间。
一个序列是紧支撑的，就是说有有限多的元素在域中为零，称它为有限支撑。
与紧支集概念相联系的是函数的平滑性和速降性。
⒋正交小波变换
正交小波是从多尺度分析概念直接推广过来的，具有一定的特殊性，即在信号域和小波函数域其标准化正交基都是小波函数本身，而且其存在性也并未加以证明，那么更一般来讲，对于满足一定条件的标准化正交基，任何信号在这个正交基上展开的系数也也可以线性的叠加成原信号。
正交小波是双正交小波的一个特例，双正交小波是正交小波去除某些程度正交上的推广。
一维小波变换里说的都是正交小波变换，它是对连续信号在小波基上进行分解。
正交小波变换就是把信号分解到两个不同且相互正交的函数空间，一个是多尺度函数空间，一个是小波函数空间。
用滤波器的观点看，就是把信号通过低频和高频滤波器分解为近似系数和细节系数两个部分。
这样做基于的物理思想在于：
去除信号在空间（时间）尺度的关联关系，把信号的重要性只能通过其数值表达；
而与普通的滤波器的区别在于：
基于小波的滤波器是可重构的，所以通过相同的滤波器可以把信号重构。
3.3小波去噪
3.3.1去噪原理
⒈去噪原则
信号去噪的原则主要有两点，一是要求去噪后的信号和原信号的方差估计应该是最坏情况下的方差最小（MinmaxEstimator）；
二是在大部分情况下，去噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。
一般用正则性来刻划函数的光滑程度。
正则性越高，函数的光滑性越好。
此外，因为图像信号都是二维的，在对数字图像去噪处理时要对小波进行二维离散小波变换。
二维离散小波变换往往可以由一维信号的离散小波变换推导得到，而二维双正交小波变换可以分解为两个一维小波变换。
即首先进行
方向变换，然后进行
方向变换，便可以完成二维正交变换；
而逆变换反之就可实现。
假设
为一维尺度函数，
为相应的小波函数，则可以得到二维小波变换的基础函数：
、
分别是沿着
两个方向上的一维小波函数。
A是近似系数，H是水平细节系数，V是竖直细节系数，D是对数细节系数。
对于图像而言，我们往往可以把它看成二维矩阵，一般我们假设图像矩阵的大小为
，且有
（n为非负整数）。
任何平方可积的二维函数都能够分解，成为最低分辨率尺度上的平滑函数更高尺度上的细节函数。
具体的说，在经过每次小波变换后，图像便可分为四个大小为原始尺寸的四分之一的子块频带区域，它们分别是：
低—低（LL）、低—高（LH）、高—低（HL）和高—高（HH）。
如图3.1所示，它分别包含了相应频带上的小波系数，相当于在水平方向和竖直方向上进行隔点采样，进行下一层小波变换时，数据就集中在LL频带。
进一步对LL子图像应用二维小波变换，构造下一尺度的四个子图像，直至得到满意的小波尺度为止。
这里的LL称为近似分量，HH、LH和HL称为细节分量。
小波变换为图像去噪提供很好的图像表示形式，通过对变换后的系数进行分析和适当的取舍再重构图像，最终实现图像的去噪处理。
LL1
HL1
LH1
HH1
图3.1一次离散小波变换后的频率分布
⒉小波阈值化
图像原始信号可以分解为一系列的近似分量和细节分量，信号的噪声主要集中表现在信号的细节分量上。
使用一定的阈值处理细节分量后，再经过小波重构就可以得到平滑的信号。
在实际的工程中，有用信号常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号通常表现为高频信号。
给定一个阈值
，所有绝对值小于某个阈值
的小波系数被看成“噪声”，它们的值用零代替；
而超过阈值的小波系数的数值用阈值
缩减后再重新取值。
这样就达到降低噪声的目的，同时保留了大部分信号的小波系数，因此可以较好的保持信号细节。
如果阈值太小，去噪后的信号仍有噪声存在；
相反，阈值如果太大，重要信号特征将被滤掉，引起偏差。
从直观上对于给定小波系数，噪声越大阈值
就越大。
大多数阈值选择过程是针对一组小波系数，即根据本组小波系数的统计特性，计算出一个阈值
硬阈值化和软阈值化，是对绝对值超过阈值
的小波系数进行缩减的两种主要方法。
硬阈值是令绝对值小于阈值的信号点的值为零，这种方法的缺点是在某些点会产生间断；
软阈值在硬阈值的基础上将边界出现不连续的点收缩到零，这样可以有效地避免间断，使得重构后的信号比较光滑。
它们用数学式表示为，
硬阈值：
；
软阈值：
Donoho等人提出了一种通用阈值选取方法，从理论上给出并证明阈值与噪声的成正比，其大小为：
层子层带上的小波系数个数，
为噪声的方差。
⒊基本去噪模型
如果一个信号
被噪声污染后为
，那么基本的噪声模型为：
（3.13）
其中
为噪声，
为噪声强度。
在最简单的情况下可以假设
为高斯白噪声，且
=1。
小波变换的目的就是要抑制
以恢复
，即尽量将
去掉，
升级会员 