江苏省南京市、盐城市2015届高三数学二模试卷word版.doc
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江苏省南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试
数学试题
一、填空题：
（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）
1.函数的最小正周期为▲.
2.已知复数，其中是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于第▲象限.
3.如图是一个算法流程图，如果输入的值是，则输出的值是▲.
4.某工厂为了了解一批产品的净重（单位：
克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区间[100，104]上的产品件数是▲.
5.袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是▲.
6.如图，在平面四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（），则▲.
7.已知平面α，β，直线，给出下列命题：
①若，，则 ②若，，则
③若，则 ④若，，则.
其中是真命题的是▲.（填写所有真命题的序号）。
8.如图，在中，D是BC上的一点。
已知，则AB=▲.
9.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：
的焦点为F，定点，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM：
MN=▲.
10.记等差数列的前n项和为，已知，且数列也为等差数列，则=▲.
11.已知知函数，，则不等式的解集是▲.
12.在平面直角坐标系中，已知⊙Ｃ：
，Ａ为⊙Ｃ与x负半轴的交点，过A作⊙Ｃ的弦AB，记线段AB的中点为M.则直线AB的斜率为▲.
13.已知均为锐角，且，则的最大值是▲.
14.已知函数，当时，关于的方程的所有解的和
为▲.
二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15（本小题满分14分）
在中，角A、B、C的对边分别为.已知.
（1）若,求的面积；
（2）设向量，，且，求的值。
16（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，，，，.
（1）求证：
平面；
（第16题图）
P
A
B
C
D
M
（2）若M为线段PA的中点，且过三点的平面与PB交于点N，求PN：
PB的值。
17（本小题满分14分）
E
B
G
A
N
D
M
C
F
O
H
P
（第17题图）
右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）。
过O作，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知（单位：
m）,记通风窗EFGH的面积为S（单位：
）
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设，将S表示成的函数；
（ii）设，将S表示成的函数；
（2）试问通风窗的高度MN为多少时？
通风窗EFGH的面积S最大？
18（本小题满分16分）
x
y
A
O
B
C
D
M
N
（第18题图）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆E：
的离心率为，直线l：
与椭圆E相交于A，B两点，，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N.
（1）求的值；
（2）求证：
直线MN的斜率为定值。
19（本小题满分16分）
已知函数，其中为常数.
（1）若,求曲线在点处的切线方程.
（2）若,求证：
有且仅有两个零点；
（3）若为整数，且当时，恒成立，求的最大值。
20（本小题满分16分）
给定一个数列，在这个数列里，任取项，并且不改变它们在数列中的先后次序，得到的数列的一个阶子数列。
已知数列的通项公式为，等差数列，，是数列的一个3子阶数列。
（1）求的值；
（2）等差数列是的一个阶子数列，且
，求证：
（3）等比数列是的一个阶子数列，
求证：
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数学附加题
21、选做题
A．选修4-1；几何证明选讲
如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F.已知AD为∠BAC的平分线，求证：
EF//BC
B
A
D
E
C
F
（第21A题图）
B．选修4-2：
矩阵与变换
已知矩阵，的逆矩阵
（1）求a,b的值；
（2）求的特征值。
C．选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C：
，直线l：
.设曲线C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度。
D．选修4-5：
不行等式选讲
已知x,y,z都是正数且xyz=1,求证：
（1+x）（1+y）（1+z）≥8
22、甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。
除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.
（1）分别求甲队以3：
0，3：
1，3：
2获胜的概率；
（2）若比赛结果为3：
0或3：
1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3:
2，则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分X的分布列及数学期望。
23、（本小题满分10分）
已知，定义
（1）记，求的值；
（2）记，求所有可能值的集合。
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数学参考答案
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．p2．一3．－24．555．
6．7．③④8．9．10．50
11．（1，2）12．213．14．10000
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知cosC＝．
（1）若×＝，求△ABC的面积；
（2）设向量x＝（2sin，），y＝（cosB，cos），且x∥y，求sin（B－A）的值．
解：
（1）由·＝，得abcosC＝．
又因为cosC＝，所以ab＝＝．……………………2分
又C为△ABC的内角，所以sinC＝．……………………4分
所以△ABC的面积S＝absinC＝3．……………………6分
（2）因为x//y，所以2sincos＝cosB，即sinB＝cosB．…………………8分
因为cosB≠0，所以tanB＝．
因为B为三角形的内角，所以B＝．…………………10分
所以A＋C＝，所以A＝－C．
所以sin（B－A）＝sin（－A）＝sin（C－）
＝sinC－cosC＝×－×
＝．…………………14分
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，AD＝CD＝AB，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．
（1）求证：
BC⊥平面PAC；
（第16题图）
P
A
B
C
D
M
（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：
PB的值．
证明：
（1）连结AC．不妨设AD＝1．
因为AD＝CD＝AB，所以CD＝1，AB＝2．
因为ÐADC＝90°，所以AC＝，ÐCAB＝45°．
在△ABC中，由余弦定理得BC＝，所以AC2＋BC2＝AB2．
所以BC^AC．……………………3分
因为PC^平面ABCD，BCÌ平面ABCD，所以BC^PC．……………………5分
因为PCÌ平面PAC，ACÌ平面PAC，PC∩AC＝C，
所以BC^平面PAC．……………………7分
（第16题图）
P
A
B
C
D
M
N
（2）如图，因为AB∥DC，CDÌ平面CDMN，ABË平面CDMN，
所以AB∥平面CDMN．……………………9分
因为ABÌ平面PAB，
平面PAB∩平面CDMN＝MN，
所以AB∥MN．……………………12分
在△PAB中，因为M为线段PA的中点，
所以N为线段PB的中点，
即PN：
PB的值为．……………………14分
17．（本小题满分14分）
E
B
G
A
N
D
M
C
F
O
H
P
（第17题图）
右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O．为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP^AB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P．已知OP＝10，MP＝6.5（单位：
m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：
m2）．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设∠POF＝θ（rad），将S表示成θ的函数；
（ii）设MN＝x（m），将S表示成x的函数；
（2）试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？
解：
（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．
（i）在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．
在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON－OM＝10cosθ－3.5，
故S＝EF×FG＝20sinθ（10cosθ－3.5）＝10sinθ（20cosθ－7）．
即所求函数关系是S＝10sinθ（20cosθ－7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝．
…………4分
（ii）因为MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x＋3.5．
在Rt△ONF中，NF＝＝＝．
在矩形EFGH中，EF＝2NF＝，FG＝MN＝x，
故S＝EF×FG＝x．
即所求函数关系是S＝x，0＜x＜6.5．…………8分
（2）方法一：
选择（i）中的函数模型：
令f（θ）＝sinθ（20cosθ－7），
则f′（θ）＝cosθ（20cosθ－7）＋sinθ（－20sinθ）＝40cos2θ－7cosθ－20．…………10分
由f′（θ）＝40cos2θ－7cosθ－20＝0，解得cosθ＝，或cosθ＝－．
因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝．
设cosα＝，且α为锐角，
则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，
所以当θ＝α，即cosθ＝时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．
即MN＝10cosθ－3.5＝4.5m时，通风窗的面积最大．…………14分
方法二：
选择（ii）中的函数模型：
因为S＝，令f（x）＝x2（351－28x－4x2），
则f
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