高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式Word文档下载推荐.docx

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②推论：

对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有

＋≥.

事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3在同一直线上，并且点P1，P2在P3点的两旁时，等号成立．

类型一　利用柯西不等式证明不等式

例1　已知a1，a2，b1，b2∈R＋，求证：

（a1b1＋a2b2）·

≥（a1＋a2）2.

证明　∵a1，a2，b1，b2∈R＋，

∴（a1b1＋a2b2）

＝·

≥2

＝（a1＋a2）2.

∴（a1b1＋a2b2）≥（a1＋a2）2.

反思与感悟　利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要将待证不等式进行变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法．

跟踪训练1　已知θ为锐角，a，b∈R＋，

求证：

＋≥（a＋b）2.

证明　∵＋＝（cos2θ＋sin2θ）

≥2＝（a＋b）2，

∴＋≥（a＋b）2.

例2　若实数x，y，z满足x2＋4y2＋z2＝3，求证：

|x＋2y＋z|≤3.

证明　因为x2＋4y2＋z2＝3，

所以由柯西不等式得

[x2＋（2y）2＋z2]（12＋12＋12）≥（x＋2y＋z）2

.

整理得（x＋2y＋z）2≤9，即|x＋2y＋z|≤3.

反思与感悟　

（1）抓住柯西不等式的特征“方、和、积”，构造使用柯西不等式的条件．

（2）此类题也可以用三角不等式，把△ABO的三个顶点分别设为O（0,0），A（x1，x2），B（－y1，－y2）即可．

跟踪训练2　设a，b，c为正数，求证：

＋＋≥（a＋b＋c）．

证明　由柯西不等式知，·

≥a＋b，

即·

同理，·

≥b＋c，·

≥a＋c.

将上面三个同向不等式相加，

得（＋＋）≥2（a＋b＋c），

∴＋＋≥（a＋b＋c）．

类型二　利用柯西不等式求最值

例3　若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点．

解　由柯西不等式（x2＋y2）（32＋42）≥（3x＋4y）2，

得25（x2＋y2）≥4，所以x2＋y2≥，

当且仅当＝时等号成立，点（x，y）为所求最小值点，

解方程组得

因此，当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为，最小值点为.

反思与感悟　利用柯西不等式求最值

（1）先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的前提条件；

（2）有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；

（3）有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．

跟踪训练3　已知a，b∈R，且9a2＋4b2＝18，求3a＋2b的最值．

解　由柯西不等式，得（9a2＋4b2）（12＋12）≥（3a＋2b）2，

∵9a2＋4b2＝18，

∴36≥（3a＋2b）2.

∴|3a＋2b|≤6.

当即或时等号成立．

∴当a＝1，b＝时，3a＋2b有最大值6.

当a＝－1，b＝－时，3a＋2b有最小值－6.

1．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为（　　）

A．4B．2

C．8D．9

答案　B

解析　（a2＋b2）（32＋22）≥（3a＋2b）2，当且仅当3b＝2a时取等号，所以（3a＋2b）2≤4×

13.所以3a＋2b的最大值为2.

2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则（　　）

A．ab≤B．ab≥

C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3

答案　C

解析　∵（a2＋b2）（12＋12）≥（a＋b）2＝4，

∴a2＋b2≥2.

3．设xy＞0，则的最小值为________．

答案　9

解析　∵

＝≥（1＋2）2＝9，

当且仅当xy＝，即xy＝时，取等号．

∴最小值为9.

4．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．

答案　

解析　∵（a2＋b2）（m2＋n2）≥（ma＋nb）2＝25，

∴m2＋n2≥5.

∴≥.

当且仅当an＝bm时取等号．

5．已知a2＋b2＝1，求证：

|acosθ＋bsinθ|≤1.

证明　∵1＝a2＋b2＝（a2＋b2）·

（cos2θ＋sin2θ）

≥（acosθ＋bsinθ）2，

∴|acosθ＋bsinθ|≤1.

1．利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，应用时要对照柯西不等式的原形，进行多角度的尝试．

2．柯西不等式取等号的条件也不容易记忆，如（a2＋b2）·

（c2＋d2）≥（ac＋bd）2等号成立的条件是ad＝bc，可以把a，b，c，d看成等比，则ad＝bc来联想记忆．

一、选择题

1．已知a，b∈R＋且a＋b＝1，则P＝（ax＋by）2与Q＝ax2＋by2的关系是（　　）

A．P≤QB．P＜Q

C．P≥QD．P＞Q

答案　A

解析　设m＝（x，y），n＝（，），

则|ax＋by|＝|m·

n|≤|m||n|

＝，

∴（ax＋by）2≤ax2＋by2.即P≤Q.

2．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是（　　）

A．[－2，2]

B．[－2，2]

C．[－，]

D．（－，）

解析　（a2＋b2）[12＋（－1）2]≥（a－b）2，

∵a2＋b2＝10，∴（a－b）2≤20.

∴－2≤a－b≤2.

3．函数y＝＋2的最大值是（　　）

A.B.

C．3D．5

解析　根据柯西不等式知，

y＝1×

＋2×

≤×

＝（当且仅当x＝时取等号）．

4．若3x2＋2y2≤1，则3x＋2y的取值范围是（　　）

A．[0，]B．[－，0]

C．[－，]D．[－5,5]

解析　（3x＋2y）2≤

＝5×

（3x2＋2y2）≤5，

∴－≤3x＋2y≤.

5．已知a，b，c，d，m，n∈R＋，P＝＋，Q＝·

，则P与Q的大小关系为（　　）

C．P≥QD．P＝Q

解析　∵P＝＋

≤

＝Q.

∴P≤Q.

6．已知a，b＞0，且a＋b＝1，则（＋）2的最大值是（　　）

A．2B.

C．6D．12

答案　D

解析　（＋）2

＝（1×

＋1×

）2

≤（12＋12）（4a＋1＋4b＋1）

＝2[4（a＋b）＋2]＝2×

（4×

1＋2）＝12，

当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立．

二、填空题

7．设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值为________．

解析　由柯西不等式，得

（2x＋y）2≤[（x）2＋（y）2]·

＝（3x2＋2y2）·

≤6×

＝11，

所以2x＋y≤.

8．设x，y∈R＋，则（x＋y）的最小值是________．

答案　5＋2

解析　（x＋y）≥2

＝（＋）2＝5＋2，

当且仅当·

时，等号成立．

9．已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则2x＋y的最小值为________．

答案　3＋2

解析　2x＋y＝（2x＋y）

＝[（）2＋（）2]

≥2＝3＋2，

时，等号成立，

又＋＝1，

则此时

10．已知函数f（x）＝3＋4，则函数f（x）的最大值为________．

答案　5

解析　由柯西不等式知，

（3＋4）2≤（32＋42）·

[（）2＋（）2]＝25.

当且仅当3＝4时，等号成立，

因此f（x）≤5.

11．函数f（x）＝3cosx＋4的最大值为________．

解析　设m＝（3,4），

n＝（cosx，），

则f（x）＝3cosx＋4

＝m·

n≤|m||n|

＝5.

当且仅当m∥n时，上式取“＝”．

此时，3－4cosx＝0.

解得sinx＝±

，cosx＝.

故当sinx＝±

，cosx＝时．

f（x）＝3cosx＋4取得最大值5.

12．已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．

则＋的最大值为__________．

答案　4

解析　由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，

则解得a＝－3，b＝1.

又＋＝＋

＝2＝4，

当且仅当＝，即t＝1时等号成立，

故（＋）max＝4.

三、解答题

13．设a，b∈R＋，且a＋b＝2.求证：

＋≥2.

证明　根据柯西不等式，有

[（2－a）＋（2－b）]

＝（a＋b）2＝4.

∴＋≥＝2.

∴原不等式成立．

四、探究与拓展

14．若a＋b＝1，则2＋2的最小值为（　　）

A．1B．2

C.D.

解析　2＋2

＝a2＋2＋＋b2＋2＋.

∵a＋b＝1，

∴a2＋b2＝（a2＋b2）·

（1＋1）

≥（a＋b）2＝.

又∵＋≥≥＝8，

以上两个不等式都是当且仅当a＝b＝时，等号成立．

∴2＋2≥＋2＋2＋8＝，

当且仅当a＝b＝时等号成立．

15．已知a，b∈（0，＋∞），a＋b＝1，x1，x2∈（0，＋∞）．求证：

（ax1＋bx2）（ax2＋bx1）≥x1x2.

证明　由a，b∈（0，＋∞），a＋b＝1，

x1，x2∈（0，＋∞），及柯西不等式，可得

（ax1＋bx2）（ax2＋bx1）＝[（）2＋（）2]·

[（）2＋（）2]≥（·

＋·

）2＝（a＋b）2＝x1x2，

当且仅当＝，即x1＝x2时取得等号．

所以（ax1＋bx2）（ax2＋bx1）≥x1x2.

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；

读太阳，读出了它普照万物的无私；

读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；

幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 

幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；

幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；

幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；

从归雁的行列中，我读出了集体的力量；

从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；

从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；

从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；

朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；

朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；

青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；

青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；

青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。