辽宁省沈阳市郊联体学年高一下学期期中考试数学理试题.docx
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辽宁省沈阳市郊联体学年高一下学期期中考试数学理试题
辽宁省沈阳市郊联体2017-2018学年高一下学期期中考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.是（）
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
【答案】D
【解析】分析：
根据终边相同的角的表示方法找到在在内与其终边相同的角，然后可判断所给角的终边所在的位置．
详解：
由题意得，
∴的终边和角的终边相同，
∴是第四象限角．
故选D．
点睛：
所有与α角终边相同的角（连同角α在内），可以表示为β＝，k∈Z；在确定α角所在象限时，有时需要对整数k的奇、偶情况进行讨论．
2.函数的最小正周期为（）
A.B.C.2D.4
【答案】C
【解析】分析：
根据正切函数的周期求解即可．
详解：
由题意得函数的最小正周期为．
故选C．
点睛：
本题考查函数的最小正周期，解答此类问题时根据公式求解即可．
3.向量，并且，则实数的值为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】分析：
根据向量共线的等价条件得到关于y的方程，解方程可得所求．
详解：
∵，且，
∴,
∴．
故选B．
点睛：
根据平行的条件建立方程求参数，是解决这类题目的常用方法，充分体现了方程思想在向量中的应用．
4.（）
A.B.C.D.1
【答案】A
【解析】分析：
将化为，然后逆用两角和的余弦公式求解．
详解：
由题意得
．
故选A．
点睛：
本题考查利用两角和的余弦公式求值，解题的关键是在统一角及三角函数值后再逆用公式，将问题化为求特殊角的三角函数值的问题．
5.已知点，向量，则（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】分析：
由条件求得，再根据求解即可得到结果．
详解：
由条件得,
又，
∴．
故选B．
点睛：
本题考查向量坐标的求法和向量的减法运算，解题时注意向量运算法则的正确运用，主要考查学生的基本运算能力，属于容易题．
6.要得到函数的图象，只需将的图象（）
A.向左平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向右平移个单位
【答案】D
【解析】分析：
将化为，再与对照后可得结论．
详解：
由题意得，
∴将的图象向右平移个单位后可得函数的图象．
故选D．
点睛：
解决三角函数图象的变换问题时要注意以下几点：
①变换前后三角函数的名称不变；②正确确定变换的顺序；③在x轴方向上的变换，无论是平移还是伸缩，都是对变量x而言的，因此当解析式中x的系数不是1时，要将系数化为1后再进行变换．
7.已知向量满足，且，则与夹角为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】分析：
先由求得，再根据公式可求得向量的夹角．
详解：
∵，
∴，
∴．
设向量与夹角为，
则，
又，
∴．
故选A．
点睛：
两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，由定义可得，利用这一公式可求两向量的夹角，但解题时要注意向量夹角的范围．
8.函数是偶函数，则下列说法错误的是（）
A.函数在区间上单调递减B.函数的图象关于直线对称
C.函数在区间上单调递增D.函数的图象关于点对称
【答案】C
【解析】分析：
根据函数是偶函数求得，然后再对每个选项进行分析排除可得结论．
详解：
∵函数是偶函数，
∴，
∴,
又，
∴，
∴．
对于A，可得函数区间上单调递减，故A正确．
对于B，由可得直线是对称轴，故B正确．
对于C，可得函数在区间上先减后增，故C不正确．
对于D，由可得是对称中心，故D正确．
故选C．
点睛：
关于三角函数奇偶性的结论与方法
①函数y＝Asinωx是奇函数，y＝Acosωx是偶函数．
②若函数y＝Asin（ωx＋φ）是奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若该函数为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）．
③若函数y＝Acos（ωx＋φ）是奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若该函数为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）．
9.已知且，，则（）
A.B.C.D.3
【答案】D
【解析】分析：
先求得，进而得到，然后利用公式求解即可．
详解：
∵，
∴，
∴．
又，
∴．
故选D．
点睛：
对于三角变换中的“给值求值”的问题，求解过程中要注意角的变换，运用拆、分、凑等方法将所求角用已知角表示出来，把已知角当作一个整体代入求解，以减少运算量、提高解题的效率和准确性．
10.已知函数的部分图象如图所示，点，是该图象与轴的交点，过点作直线交该图象于两点，点是的图象的最高点在轴上的射影，则的值是（）
A.B.C.1D.2
【答案】B
【解析】分析：
由图象得到函数的周期，进而求得．又由条件得点D,E关于点B对称，可得，然后根据数量积的定义求解可得结果．
详解：
由图象得，
∴，
∴．
又由图象可得点B为函数图象的对称中心，
∴点D,E关于点B对称，
∴，
∴．
故选B．
点睛：
本题巧妙地将三角函数的图象、性质和向量数量积的运算综合在一起，考查学生分析问题和解决问题的能力．解题的关键是读懂题意，通过图象求得参数；另外，根据函数图象的对称中心将向量进行化简，从而达到能求向量数量积的目的．
11.已知且，又，则的最大值为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】分析：
建立平面直角坐标系，根据题意得到点D的轨迹，然后再根据的几何意义求解．
详解：
∵，
∴．
建立如图所示的平面直角坐标系，则C（1,0）,A（0,1）．
设，则，
∵，
∴，
整理得，
∴点在以为圆心，半径为的圆．
又表示圆上的点到原点B的距离，
∴．
故选A．
点睛：
（1）由于向量具有数形二重性，因此研究向量的问题时可借助于几何图形进行，利用数形结合增强解题的直观性，同时也使得对向量的研究简单化．
（2）求的最大值时，根据向量模的几何意义，转化为圆上的点到原点距离的最大值，即圆心到原点的距离加上半径．
12.已知函数的周期为，将函数的图象沿着轴向上平移一个单位得到函数图象，对任意的时恒成立，当取得最小值时，的值是（）
A.B.1C.D.2
【答案】C
详解：
∵函数的周期为，
∴，
∴，
∴.
由得，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵对任意的时恒成立，
∴，
∴，，
解得．
又，
∴.
∴的最小值为，
此时，
∴．
故选C．
点睛：
解答本题的关键是对“对任意的时恒成立”的理解，可将这一条件转化为两集合间的包含关系，通过解不等式组可得的取值范围，于是可得函数的解析式，进而求得的值．
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为_______.
【答案】24
【解析】分析：
根据弦长公式可得扇形的半径，然后再根据扇形的面积公式求解．
详解：
弧度．
设扇形所在圆的半径为，
由题意得，解得．
所以扇形的面积为．
点睛：
本题考查弧度制和角度制间的互化、扇形弧长、扇形面积的求法，解题的关键是根据条件求出扇形所在圆的半径．
14.已知，则_______.
【答案】
【解析】分析：
先判断的符号，再根据求解．
详解：
∵，
∴，
∴.
又，
∴．
点睛：
对于这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为，解题的关键是确定的符号．
15.若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】试题分析：
时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，．
考点：
1.三角函数的单调性；2.导数的应用．
16.如图，已知为的重心，且，若，则角的大小为_______.
【答案】
【解析】分析：
利用余弦定理、直角三角形的性质、三角函数求值即可得出．
详解：
连AO并延长与BC相交于点D，
∵为的重心，
∴点D是BC的中点，且．
设AD=m，∠ADB=α．
则，
以上两式两边分别相加可得：
又，
∴．
又，
在中，由余弦定理的推论得
．
∵，
∴．
点睛：
本题考查余弦定理的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力．由于题中涉及的三角形较多，故解题的关键是分清是用哪个三角形，然后根据条件选择余弦定理合适的形式求解．
三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.已知向量，，.
（1）若，，求；
（2）若，求函数的对称轴.
【答案】
（1）
（2）
【解析】分析：
（1）由题意先求得函数的解析式，根据可得，然后再根据的范围求得的值．
（2）先求得函数图象的对称轴，再根据给出的范围确定所求．
详解：
由题意得
（1）∵,
∴，
∴．
又，
∴或．
（2）由，
得．
又，
∴．
即当时，函数图象的对称轴为．
点睛：
已知函数值求角时，一定要注意判断出所求角的取值范围，只有在此范围下求出的角才是所求的，否则会得到错误的结果．
18.如图，在中，点为直线上的一个动点，且满足
（1）若，用向量表示；
（2）若，且，请问取何值时使得？
【答案】
（1）
（2）
【解析】分析：
（1）由和向量减法的运算法则可得结果．
（2）将和都表示为组合的形式，根据可求得的值．
详解：
（1）由题意得，
∴，
∴．
（2）由题意知.
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
解得
..............................
19.已知函数
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）讨论在区间上的单调性.
【答案】
（1），
（2）
【解析】分析：
（1）将函数解析式化为的形式后再根据要求求解．
（2）将看作一个整体，由的范围得到所求的单调性．
详解：
（1）由题意得
=
．
∴，．
（2）∵，
∴．
∴当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减．
即在上单调递增，在上单调递减．
点睛：
本题考查函数的性质，解题的关键是由条件得到该形式，然后将作为一个整体并结合正弦函数的相关性质求解．
20.如图，在平面直角坐标系中，点在单位圆上，，且
（1）若，求的值；
（2）若是单元圆上在第二象限的一点，且.过点作轴的垂线，垂足为，记的面积为，求函数的取值范围.
【答案】
（1）。
（2）
【解析】分析：
（1）由可得．由三角函数的定义可得，再根据求解即可．
（2）根据三角函数的定义得到点，由可得，化简后再求最值可得结果．
详解：
（1）由三角函数定义得．
∵，
∴．
，
∴．
．
（2）由题意知，
∵，
∴，
∴，
∴．
又，
∴，
∴．
∴函数的取值范围为．
点睛：
本题考查三角函数定义的应用及三角变换求值，解题时要准确把握三角函数定义的运用，特别是根据定义表示角终边上点的坐标是解题的关键，然后再根据相关的公式求解即可．
21.已知函数，其函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求函数的解析式及对称中心；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【解析】分析：
（1）将函数化为后再求对称中心．
（2）由题意得，且，令后可将问题转化为关于的方程在区间上仅有一个实数根求解，然后根据方程根的分布可得所求结果．
详解：
（1）由题意得
．
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距
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