第十一章 112 平面的基本事实与推论秋数学 必修 第四册 人教B版新教材改题型Word下载.docx

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如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

2.点、线、面位置关系的符号表示

（1）点A在直线l上表示为A∈l；

点A在平面α内表示为A∈α.

（2）直线l在平面α内表示为l⊂α；

平面α与平面β相交于线l表示为：

α∩β＝l.

3.平面的基本事实的推论

（1）推论1：

经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.

（2）推论2：

经过两条相交直线，有且只有一个平面.

（3）推论3：

经过两条平行直线，有且只有一个平面.

教材拓展补遗

[微判断]

1.梯形是平面图形.（√）

2.两两相交的三条直线可以确定一个平面.（×

）

提示　若三条直线相交于一点，则三条直线不一定在一个平面内，此时确定一个或三个平面.

3.两个平面若有三个公共点，则这两个平面相交或重合.（√）

[微训练]

1.若点M在直线a上，直线a在平面α内，则点M________平面α.

答案　∈

2.用符号表示下列语句.

（1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于A，B；

（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，C不在直线AB上.

解　

（1）α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.

（2）A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB.

[微思考]

1.基本事实1及推论有怎样的作用？

提示　确定平面，可用其证明点、线共面问题.

2.基本事实3有何作用？

提示　其一可判定两个平面是否相交.只要两个平面有一个公共点，就可判定这两个平面必相交于过这点的公共直线；

其二可以判定点在直线上.若点是两个平面的公共点，线是两个平面的交线，则点在线上.

题型一　点、直线、平面之间的位置关系的符号表示

【例1】　用符号语言表示下列语句，并画出图形.

（1）三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；

（2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.

解　

（1）符号语言表示：

α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图

（1）.

（2）符号语言表示：

平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图

（2）.

规律方法　点与直线（或平面）的关系为元素与集合的关系，用“∈”或∉表示点与直线（或平面）的关系；

直线与平面的关系为集合间的关系，不能用“∈”，只能用⊂或⊄表示.

【训练1】　如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

解　在

（1）中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.

在

（2）中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.

题型二　点线共面问题

【例2】　已知四条直线两两相交，且不共点，求证：

这四条直线在同一平面内.

解　已知a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：

a，b，c，d四线共面.

证明　

①若a，b，c三线共点于O，如图所示：

∵O∉d，∴经过d与点O有且仅有一个平面α（推论1）.

∵A，B，C分别是d与a，b，c的交点，

∴A，B，C三点在平面α内.

由基本事实2知a，b，c都在平面α内，故a，b，c，d共面.

②若a，b，c，d无三线共点，如图所示：

∵a∩b＝A，

∴经过a，b有且仅有一个平面α（推论2），

∴B，C∈α，由基本事实2知c⊂α.

同理，d⊂α，从而有a，b，c，d共面.

综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内.

规律方法　证明点、线共面问题，一般先由部分点线确定一个平面，再证其他的点和线在所确定的平面内.也可以用同一法：

即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.

【训练2】　已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：

过a，b，l有且只有一个平面.

如图所示.由已知a∥b，

所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α，即过a，b，l有且只有一个平面.

题型三　两平面的交线问题

【例3】　如图所

示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线.

解　在平面AA1D1D内，连接D1F并延长，

∵D1F与AD不平行，∴D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA.

又FD1⊂平面BED1F，∴P∈平面BED1F，

又DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD.

∴P为平面BED1F与平面ABCD的公共点.

又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，

∴连接PB，则PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.

规律方法　两点确定一条直线，由平面基本事实3知，要想画出两个平面的交线，只需找到两个平面的两个公共点即可.

【训练3】　如图

正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AB，A1D1，BB1的中点.画出过M，N，P的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线.

解　设M，N，P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B交于MP.

连接MP并延长交A1B1的延长线于一点，设为R，连接NR，则NR为平面α与平面A1B1C1D1的交线.

设RN∩B1C1＝Q，则PQ是α与平面BB1C1C的交线，如下图所示.

一、素养落地

1.通过对平面的基本事实与推论的理解与应用，发展培养空间想象素养和逻辑推理素养.

2.平面的基本事实的作用

基本事实1及推论，是判定点共面、线共面的依据；

基本事实2是判定直线在平面内的依据；

基本事实3是判定点共线、线共点的依据.

3.理解符号语言所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.作直观图时，要注意线的实虚.

二、素养训练

1.下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（　　）

解析　画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示.

答案　D

2.已知点A，直线a，平面α，以下表述正确的个数是（　　）

①A∈a，a⊄α⇒A∉α；

②A∈a，a∈α⇒A∈α；

③A∉a，a⊂α⇒A∉α；

④A∈a，a⊂α⇒A⊂α.

A.0B.1C.2D.3

解析　

①不正确，如a∩α＝A；

②不正确，∵“a∈α”表述错误；

③不正确，如图所示，A∉a，a⊂α，但A∈α；

④不正确，“A⊂α”表述错误.

答案　A

3.设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.

解析　∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.

答案　C

4.

（1）空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.

（2）空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面.

解析　

（1）可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.

（2）可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.

答案　

（1）4　

（2）7

基础达标

一、选择题

1.文字语言叙述：

“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”改成符号语言是（　　）

A.

⇒A⊂αB.

⇒A∈α

C.

⇒A⊂αD.

解析　直线在平面内用符号“⊂”表示，而点在直线上用“∈”表示，点在平面内用“∈”表示.

答案　B

2.空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中（　　）

A.必有三点共线B.必有三点不共线

C.至少有三点共线D.不可能有三点共线

解析　如图

（1）

（2）所示，A、C、D均不正确，只有B正确.

3.下列命题中正确的是（　　）

A.空间三点可以确定一个平面

B.三角形一定是平面图形

C.若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合

D.四条边都相等的四边形是平面图形

解析　共线的三点不能确定一个平面，故A错；

两个平面有公共点，这两个平面可以是相交的，故C错；

四边都相等的四边形可以是空间四边形.

4.如图，平

面α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ是（　　）

A.直线AC　　　B.直线BC

C.直线CR　　　D.以上都不对

解析　由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR.

5.已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（　　）

A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β

B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN

C.A∈α，A∈β⇒α∩β＝A

D.A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合

解析　∵A∈α，A∈β，∴A∈（α∩β）.

由基本性质可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.

故α∩β＝A的写法错误.

二、填空题

6.设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.

解析　因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.

7.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________.

解析　∵AC∥BD，∴AC，BD确定一个平面β（推论3），∴α∩β＝CD，AB⊂β，又O∈AB，∴O∈β.又O∈α，∴O∈CD，即O，C，D三点共线.

答案　共线

8.如图，

已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________.

解析　因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.

答案　P∈直线DE

三、解答题

9.用符号语言表示下列语句：

（1）点A在平面α内，但在平面β外；

（2）直线a经过平面α外一点M；

（3）直线a在平面α内，又在平面β内，即平面α和β相交于直线a；

（4）直线a与平面α相交于点A.

解　

（1）A∈α，且A∉β.

（2）M∈a，M∉α.

（3）a⊂α，且a⊂β，即α∩β＝a.

（4）a∩α＝A.

10.如图，

直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>

CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.

解　很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.

由于AB>

CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，

∵E∈AC，AC