第十一章 112 平面的基本事实与推论秋数学 必修 第四册 人教B版新教材改题型Word下载.docx

1、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.点、线、面位置关系的符号表示（1）点A在直线l上表示为Al；点A在平面内表示为A.（2）直线l在平面内表示为l；平面与平面相交于线l表示为：l.3.平面的基本事实的推论（1）推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.（2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.（3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.教材拓展补遗微判断1.梯形是平面图形.（）2.两两相交的三条直线可以确定一个平面.（）提示若三条直线相交于一点，则三条直线不一定在一个平面内，此时确定一个或三个平面.3.两个平面若有三个公共点，则这

2、两个平面相交或重合.（）微训练1.若点M在直线a上，直线a在平面内，则点M_平面.答案2.用符号表示下列语句.（1）平面与相交于直线l，直线a与，分别相交于A，B；（2）点A，B在平面内，直线a与平面交于点C，C不在直线AB上.解（1）l，aA，aB.（2）A，B，aC，CAB.微思考1.基本事实1及推论有怎样的作用？提示确定平面，可用其证明点、线共面问题.2.基本事实3有何作用？提示其一可判定两个平面是否相交.只要两个平面有一个公共点，就可判定这两个平面必相交于过这点的公共直线；其二可以判定点在直线上.若点是两个平面的公共点，线是两个平面的交线，则点在线上.题型一点、直线、平面之间的位置关系

3、的符号表示【例1】用符号语言表示下列语句，并画出图形.（1）三个平面，相交于一点P，且平面与平面相交于PA，平面与平面相交于PB，平面与平面相交于PC；（2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解（1）符号语言表示：P，PA，PB，PC，图形表示如图（1）.（2）符号语言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC，图形表示如图（2）.规律方法点与直线（或平面）的关系为元素与集合的关系，用“”或表示点与直线（或平面）的关系；直线与平面的关系为集合间的关系，不能用“”，只能用或表示.【训练1】如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.解在

4、（1）中，l，aA，aB.在（2）中，l，a，b，alP，blP.题型二点线共面问题【例2】已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内.解已知a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面.证明若a，b，c三线共点于O，如图所示：Od，经过d与点O有且仅有一个平面（推论1）.A，B，C分别是d与a，b，c的交点，A，B，C三点在平面内.由基本事实2知a，b，c都在平面内，故a，b，c，d共面.若a，b，c，d无三线共点，如图所示：abA，经过a，b有且仅有一个平面（推论2），B，C，由基本事实2知c.同理，d，从而有a，b，c，d共面.综上所述，四条直

5、线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内.规律方法证明点、线共面问题，一般先由部分点线确定一个平面，再证其他的点和线在所确定的平面内.也可以用同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.【训练2】已知直线ab，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.如图所示.由已知ab，所以过a，b有且只有一个平面.设alA，blB，A，B，且Al，Bl，l，即过a，b，l有且只有一个平面.题型三两平面的交线问题【例3】如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BE

6、D1F和平面ABCD的交线.解在平面AA1D1D内，连接D1F并延长，D1F与AD不平行，D1F与DA必相交于一点，设为P，则PFD1，PDA.又FD1平面BED1F，P平面BED1F，又DA平面ABCD，P平面ABCD.P为平面BED1F与平面ABCD的公共点.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB，则PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.规律方法两点确定一条直线，由平面基本事实3知，要想画出两个平面的交线，只需找到两个平面的两个公共点即可.【训练3】如图正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是AB，A1D1，BB1的中点.画出过M，N，P的平面与平面A1B1C

7、1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线.解设M，N，P三点确定的平面为，则与平面AA1B1B交于MP.连接MP并延长交A1B1的延长线于一点，设为R，连接NR，则NR为平面与平面A1B1C1D1的交线.设RNB1C1Q，则PQ是与平面BB1C1C的交线，如下图所示.一、素养落地1.通过对平面的基本事实与推论的理解与应用，发展培养空间想象素养和逻辑推理素养.2.平面的基本事实的作用基本事实1及推论，是判定点共面、线共面的依据；基本事实2是判定直线在平面内的依据；基本事实3是判定点共线、线共点的依据.3.理解符号语言所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描

8、述出来，再转换为符号语言.作直观图时，要注意线的实虚.二、素养训练1.下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（）解析画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示.答案D2.已知点A，直线a，平面，以下表述正确的个数是（）Aa，aA；Aa，aA；Aa，aA；Aa，aA.A.0 B.1 C.2 D.3解析不正确，如aA；不正确，“a”表述错误；不正确，如图所示，Aa，a，但A；不正确，“A”表述错误.答案A3.设平面与平面交于直线l，A，B，且直线ABlC，则直线AB_.解析l，ABlC，C，CAB，ABC.答案C4.（1）空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定_个平面.（2

9、）空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定_个平面.解析（1）可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.（2）可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.答案（1）4（2）7基础达标一、选择题1.文字语言叙述：“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”改成符号语言是（）A.A B.AC.A D.解析直线在平面内用符号“”表示，而点在直线上用“”表示，点在平面内用“”表示.答案B2.空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中（）A.必有三点共线 B.必有三点不共线C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线解析如图（1）（2）所示，A、C、D均

10、不正确，只有B正确.3.下列命题中正确的是（）A.空间三点可以确定一个平面B.三角形一定是平面图形C.若A，B，C，D既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合D.四条边都相等的四边形是平面图形解析共线的三点不能确定一个平面，故A错；两个平面有公共点，这两个平面可以是相交的，故C错；四边都相等的四边形可以是空间四边形.4.如图，平面l，A，B，C且Cl，ABlR，设过A，B，C三点的平面为平面，则是（）A.直线AC B.直线BCC.直线CR D.以上都不对解析由C，R是平面和的两个公共点，可知CR.5.已知，为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（）A.Aa，A，Ba，BaB.M

11、，M，N，NMNC.A，AAD.A，B，M，A，B，M，且A，B，M不共线，重合解析A，A，A（）.由基本性质可知为经过A的一条直线而不是A.故A的写法错误.二、填空题6.设平面与平面相交于l，直线a，直线b，abM，则M_l.解析因为abM，a，b，所以M，M.又因为l，所以Ml.7.若直线l与平面相交于点O，A，Bl，C，D，且ACBD，则O，C，D三点的位置关系是_.解析ACBD，AC，BD确定一个平面（推论3），CD，AB，又OAB，O.又O，OCD，即O，C，D三点共线.答案共线8.如图，已知D，E是ABC的边AC，BC上的点，平面经过D，E两点，若直线AB与平面的交点是P，则点P与

12、直线DE的位置关系是_.解析因为PAB，AB平面ABC，所以P平面ABC.又P，平面ABC平面DE，所以P直线DE.答案P直线DE三、解答题9.用符号语言表示下列语句：（1）点A在平面内，但在平面外；（2）直线a经过平面外一点M；（3）直线a在平面内，又在平面内，即平面和相交于直线a；（4）直线a与平面相交于点A.解（1）A，且A.（2）Ma，M.（3）a，且a，即a.（4）aA.10.如图，直角梯形ABDC中，ABCD，ABCD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.由于ABCD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，EAC，AC