届百校联盟全国卷II高考《考试大纲》调研卷文科数学第十模拟解析版Word下载.docx
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2+4=12.
6．若双曲线x2-=1（b>
0）的一条渐近线与圆x2+（y-）2=1至多有一个交点,则双曲线的离心率的取值范围是
A.（1,）B.（1,]C.（1,2）D.（1,2]
【答案】B
【解析】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求解,考查考生对基础知识的掌握情况.解题时要注意圆、双曲线的性质的运用.
圆x2+=1的圆心为（0,）,半径r=1,因为双曲线x2-=1（b>
0）的一条渐近线与圆x2+（y-）2=1至多有一个交点,不妨设渐近线方程为y=bx,所以圆心（0,）到渐近线y=bx的距离d=≥1,即b2≤2.所以e2=1+b2≤3,因为e>
1,所以1<
e≤.
7．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>
0,ω>
0,0<
φ<
π）的部分图象如图所示,则f（x）的单调递减区间为
A.[8k+1,8k+5]（k∈Z）B.[8k-1,8k+5]（k∈Z）
C.[8k-5,8k+1]（k∈Z）D.[8k+3,8k+5]（k∈Z）
【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,考查考生借助图象处理数学问题的基本能力.解题时,先根据图象求出函数f（x）的解析式,再利用正弦函数的单调性求解.
由图象可知A=2,T=2×
（7-3）=8,又由=8得ω=,所以f（x）=2sin（+φ）,又0<
π,结合f（3）=0,即2sin（+φ）=0,得φ=,故f（x）=2sin（+）,由+2kπ≤+≤+2kπ（k∈Z）⇒8k+1≤x≤8k+5（k∈Z）.故函数f（x）的单调递减区间为[8k+1,8k+5]（k∈Z）.
8．已知某工厂产值的程序框图如图所示,其中a=200表示2004年的产值,r=0.05表示以后各年的平均增长率,则输出的值是（注:
lg1.75≈0.2430,lg1.05≈0.0212）
A.2014B.2015C.2016D.2017
【解析】本题主要考查循环结构的程序框图,考查考生的运算求解能力及对循环结构的理解与运用.
本题的程序框图实现的功能是当累积产值大于3000时,输出最小的年份值.于是,由200+200（1+0.05）+…+200（1+0.05）n-1>
3000,即>
3000⇒1.05n>
1.75⇒n>
≈11.46,此时,取n=12,那么输出的值是2016.
9．若数列{an}中a1=1,且a1,a3,…,a2n-1是递增数列,a2,a4,…,a2n是递减数列,a1>
a2,|an+1-an|=2n,则数列{an}的前6项和S6=
A.-11B.-12C.-13D.-14
【解析】本题主要考查数列的有关概念及运算,考查考生对等比数列基本公式的理解与运用.解题时,首先利用累加法求出通项公式,再利用求和公式求出前n项和,最后代入求解.
由于a3>
a1,又a1>
a2⇒a3>
a2⇒a3-a2=22,类似地,有a4-a3=-23,a5-a4=24,……,an-an-1=（-2）n-1,又a1>
a2,则a2-a1=-2,那么an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=,从而Sn=++…+-+,故S6=2-14=-12.
10．如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线AB交抛物线于点A,B,交抛物线的准线于点C,若,则|AB|=
A.4B.5C.6D.7
【解析】本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等,考查考生的数形结合思想和运算求解能力.
设直线AB的倾斜角为α,A（x1,y1）,B（x2,y2）,过点B作准线的垂线,垂足为D,则|BD|=|BF|,那么cosα=⇒tanα=2,于是直线AB的方程为y=2（x-1）,由⇒x2-3x+1=0⇒x1+x2=3,故|AB|=x1+x2+2=5.
11．已知正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心与正四面体一边的一个截面如图所示,且图中三角形（正四面体的截面）的面积为,则该球的体积是
A.πB.2πC.2πD.2π
【解析】本题主要考查正四面体的概念、性质及球的相关知识,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.解题时,利用正四面体的高求出球的半径是解题的关键.
如图,由正四面体的特点及性质可知,四面体的截面即为等腰三角形ABE,其中E为CD的中点.设正四面体的边长为a,则AE=BE=,△ABE的面积为×
a×
故a=2,于是正四面体ABCD的高h=,设球O的半径为R,则（-R）2+（）2=R2,得R=,从而球O的体积V=π（）3=π.
12．已知函数f（x）=（ex+1）（ax+3a-1）,若存在x∈（0,+∞）,使得不等式f（x）-1<
0成立,则实数a的取值范围为
A.（-∞,）B.（0,）C.（-∞,）D.（0,）
【解析】本题主要考查函数的单调性、不等式成立等知识,考查考生借助导数处理数学问题的基本能力及数形结合思想.解题时,首先对a分情况讨论,然后通过函数的单调性求解.
由f（x）-1<
0⇒（ex+1）（ax+3a-1）<
1⇒ax+3a-1<
.①若a≤0,当x∈（0,+∞）时,ax+3a-1<
0,而ex+1>
0,此时结论成立.②若a>
0,设h（x）=,则h'
（x）=<
0,所以h（x）在（0,+∞）上是减函数,则0<
h（x）<
由于y=ax+3a-1与y轴的交点为（0,3a-1）,则如果存在x∈（0,+∞）,使得不等式（ex+1）（ax+3a-1）<
1成立,则⇒0<
a<
.由①②得实数a的取值范围为（-∞,）.
二、填空题：
共4题
13．若f（x+1）+1为奇函数,则f（-2）+f（4）= .
【答案】-2
【解析】本题考查奇函数的定义与性质,考查考生对基础知识的掌握情况.
由f（-x+1）+1=-[f（x+1）+1]⇒f（x+1）+f（-x+1）=-2,令x=3,得f（-2）+f（4）=-2.
14．如图,四边形ABCD为矩形,且AB=2,AD=1,点E,F分别在边CD,BC上,若·
=6,则·
= .
【答案】1
【解析】本题考查平面向量的基本运算,考查考生的运算求解能力.解题时,可以直接运用向量的运算法则求解,也可以建立平面直角坐标系,通过向量的坐标运算求解.
通解 因为·
=6,·
=0,所以·
=（-）·
（-）=6-·
-·
=6--=1.
优解 以A为原点,AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,则A（0,0）,B（2,0）,D（0,1）,设E（x,1）,F（2,y）,则=（x,1）,=（2,y）,由·
=6得2x+y=6,=（x-2,1）,=（2,y-1）,则·
=2（x-2）+y-1=2x+y-5=1.
15．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .
【答案】3+12
【解析】根据几何体的三视图,画出该几何体的直观图,可知该几何体是将一个棱长为2的正方体沿着如图所示的截面ABCDEF截去之后剩下的几何体.根据三视图,可知该几何体的表面积为3×
[+2×
1]+3×
+6×
×
（）2=3+12.
16．设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acosC=4csinA,b=4,若△ABC的面积S=10,则a的值为 .
【答案】
【解析】本题考查正弦定理、同角三角函数之间的关系、三角形的面积公式等知识,考查考生的运算求解能力.
由3acosC=4csinA得,即⇒tanC=,又S=10,故bcsinA=10⇒csinA=5,由tanC=⇒cosC=,那么3acosC=4csinA=20,从而a=.
三、解答题：
共8题
17．设公差不为零的等差数列{an}的前5项和为55,且a2,,a4-9成等比数列.
（1）求数列{an}的通项公式;
（2）设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
（1）设等差数列{an}的公差为d,
则⇒或（舍去）,
故数列{an}的通项公式为an=7+2（n-1）,即an=2n+5.
（2）由
（1）得bn=（-）.
故Sn=b1+b2+…+bn=[（1-）+（-）+…+（-）]=（1-）=.
【解析】本题考查等差数列与等比数列的基本性质及裂项相消法求和.
（1）利用等差数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的性质即可求解;
（2）利用
（1）的结论及裂项相消法求和.
【备注】新课标全国卷Ⅱ对数列的考查比较基础,常规情况下以考查等差数列与等比数列的基础知识或能转化为等差、等比数列的递推关系式为主,往往侧重于基本的求和方法,如分组求和、裂项相消法求和、错位相减法求和等,因此遇到求和问题时,要有意识地往这三种方法去思考.
18．在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°
∠BAC=∠CAD=60°
PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.
（1）求证:
CE∥平面PAB;
（2）若F为PC的中点,求三棱锥F-AEC的体积.
（1）在Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°
∴BC=,AC=2.
取AD的中点M,连接EM,CM,
则EM∥PA.
∵EM⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,
∴EM∥平面PAB.
在Rt△ACD中,∠CAD=60°
AC=2,
∴AD=4,AM=2=AC,
∴∠ACM=60°
.而∠BAC=60°
∴MC∥AB.
∵MC⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴MC∥平面PAB.
∵EM∩MC=M,∴平面EMC∥平面PAB.
∵CE⊂平面EMC,∴CE∥平面PAB.
（2）∵PA=AC=2,F为PC的中点,∴AF⊥PC.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.
又EF∥CD,∴EF⊥平面PAC,即EF为三棱锥E-AFC的高.
∵CD=2,∴EF=,从而VE-AFC=AC×
PA×
EF=×
2×
.
∵VE-AFC=VF-AEC,∴VF-AEC=.
【解析】本题考查线面平行的证明及三棱锥体积的计算,考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
（1）利用面面平行的性质即可证明;
（2）利用等体积转换法求解.
19．已知某班n名同学的数学测试成绩（单位:
分,满分100分）的频率分布直方图如图所示,其中a,b,c成等差数列,且成绩在[90,100]内的有6人.
（1）求n的值;
（2）规定60分以下为不及格,若不及格的人中女生有4人,而及格的人中,男生比女生少4人,借助独立性检验分析是否有90%的把握认为“本次测试的及格情况与性别有关”?
附:
K2=
（1）依题意得⇒b=0.01,
因为成绩在[90,100]内的有6人,所以n==60.
（2）由于2b=a+c,而b=0.01,可得a+c=0.02,
则不及格的人数为0.02×
10×
60=12,及格的人数为60-12=48,
于是本次测试的及格情况与性别的2×
2列联表如下:
结合列联表计算可得K2=≈1.6667<
2.706,
故没有90%的把握认为“本次测试的及格情况与性别有关”.
【解析】本题考查频率分布直方图及独立性检验的有关知识,考查考生的运算求解能力.
（1）利用频率分布直方图的知识求解;
（2）先列出2×
2列联表,再利用独立性检验的有关知识进行分析.
【备注】通过各种图表,如数据统计表、频数分布表、频率分布直方图、即兴设计的其他数表等给出数据,借助这些数据设计的古典概型、线性回归及独立性检验等问题在高考中最为常见,求解此类题的关键在于充分认识图表与合理利用图表.
20．已知椭圆+=1（a>
b>
0）的左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别是B1,B2,C是B1F2的中点,若·
=2,且⊥.
（1）求椭圆的方程;
（2）点Q是椭圆上任意一点,A1,A2分别是椭圆的左、右顶点,直线QA1,QA2与直线x=分别交于E,F两点,试证:
以EF为直径的圆与x轴交于定点,并求该定点的坐标.
（1）设F1（-c,0）,F2（c,0）,B1（0,b）,则C（,）.
由题意得⇒⇒⇒,
从而a2=4,
故所求椭圆的方程为+=1.
（2）由
（1）得A1（-2,0）,A2（2,0）,
设Q（x0,y0）,易知x0≠±
2,则直线QA1的方程为y=（x+2）,与直线x=的交点E的坐标为（,（+2））,
直线QA2的方程为y=（x-2）,与直线x=的交点F的坐标为（,（-2））,
设以EF为直径的圆与x轴交于点H（m,0）,m≠,则HE⊥HF,从而kHE·
kHF=-1,即·
=-1⇒=-（-m）2 ①,
由+=1得 ②.
所以由①②得m=±
1,
故以EF为直径的圆与x轴交于定点,且该定点的坐标为（+1,0）或（-1,0）.
【解析】本题考查椭圆方程的求解及椭圆的性质,考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.第
（1）问结合向量的基本运算及椭圆中基本量之间的关系求出基本量的值,即可得椭圆的方程;
第
（2）问将问题转化为两条直线的斜率之积为-1进行求解.
【备注】与圆锥曲线有关的定值、定点问题是解析几何中的一类常见问题,它多与圆锥曲线的性质相结合,是高考试题中一道亮丽的风景线,如考查圆锥曲线过定点、证明直线的斜率为定值等.
21．设函数f（x）=x3-（a-1）x2-2bx+1,其中a∈R.
（1）若f（x）的单调递减区间为（-1,2）,求f（x）在区间[-3,3]上的最大值与最小值;
（2）若对任意的实数a<
1,函数f（x）都有两个极值点x1,x2（x1≠x2）,则是否存在b使得+-x1·
x2=成立?
若存在,求出b的值或取值范围;
若不存在,请说明理由.
【答案】f'
（x）=3x2-2（a-1）x-2b.
（1）由题意知f'
（x）<
0的解集为（-1,2）,即不等式3x2-2（a-1）x-2b<
0的解集为（-1,2）,于是方程3x2-2（a-1）x-2b=0的两根分别为-1,2,
由⇒,此时f（x）=x3-x2-6x+1,
由f'
（x）=3x2-3x-6=3（x+1）（x-2）,
易得当x∈[-3,-1）时,f'
（x）>
0,此时函数f（x）单调递增;
当x∈（-1,2）时,f'
0,此时函数f（x）单调递减;
当x∈（2,3]时,f'
0,此时函数f（x）单调递增.
于是,f（x）max=max{f（-1）,f（3）}=max{,-}=,
f（x）min=min{f（-3）,f
（2）}=min{-,-9}=-,
故f（x）在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为与-
.
（2）对任意的实数a<
1,函数f（x）都有两个极值点x1,x2,所以对任意的实数a<
1,方程f'
（x）=0有两个不等的实数根x1,x2,即方程3x2-2（a-1）x-2b=0有两个不等的实数根x1,x2,于是[2（a-1）]2-4×
3×
（-2b）>
0对任意的a<
1恒成立,即6b>
-（a-1）2对任意的a<
1恒成立,从而b≥0 ①.
若存在b使得+-x1·
x2=成立,则存在b使得（x1+x2）·
[-3x1·
x2]=1成立,
由于,
故（x1+x2）[-3x1·
x2]=[-3×
（-）]=1,
得b=-,
设φ（a）=,
则φ'
（a）=-,
令φ'
（a）=0,即-=0⇒a=1-,
当a<
1-时,φ'
（a）>
0,φ（a）单调递增;
当1-<
1时,φ'
（a）<
0,φ（a）单调递减.
所以当a=1-时,b有最大值,且最大值为<
0,
结合①知,不存在b使得+-x1·
x2=成立.
【解析】本题考查函数的单调性、最值及极值点等,考查考生利用导数求解问题的能力及分析问题、解决问题的能力.
【备注】函数与导数的基础知识与基本技能是高考考查的重点.细心研究近几年的高考试题可以发现一个共同点,即对导数的考查由直接考查、显性考查逐步转化为间接考查、隐性考查,更注重让考生根据条件构造新函数,通过导数分析、研究该函数的有关性质,最终产生结论.
22．如图,☉O的弦ED,CB的延长线交于点A.
（1）若BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3,求EC的长;
（2）若,,求的值.
（1）由圆的割线定理知AB·
AC=AD·
AE,
∴AE=8,DE=5,连接EB,∵∠EDB=90°
∴EB为☉O的直径,∴∠ECB=90°
由勾股定理,得EB2=DB2+ED2=AB2-AD2+ED2=16-9+25=32,
在Rt△ECB中,EB2=BC2+EC2=4+EC2,
∴EC2=28⇒EC=2.
（2）∵四边形ECBD是☉O的内接四边形,
∴∠ADB=∠C,∠ABD=∠AEC,∴△ADB∽△ACE,
∴.
∵,,∴（）2=·
·
从而.
【解析】本题考查圆的割线定理及三角形相似等知识.第
（1）问利用割线定理、勾股定理即可产生结论;
第
（2）问通过三角形相似即可产生结论.
23．在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l与椭圆C的极坐标方程分别为ρcosθ+2ρsinθ+3=0,ρ2=.
（1）求直线l与椭圆C的直角坐标方程;
（2）若P是直线l上的动点,Q是椭圆C上的动点,求|PQ|的最小值.
（1）ρcosθ+2ρsinθ+3=0⇒x+2y+3=0,
即直线l的直角坐标方程为x+2y+3=0.
ρ2=⇒ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4⇒x2+4y2=4,
即椭圆C的直角坐标方程为+y2=1.
（2）因为椭圆C:
+y2=1的参数方程为（α为参数）,
所以可设Q（2cosα,sinα）.
因此点Q到直线l的距离d=,
所以当α=2kπ+,k∈Z时,d取得最小值,
所以|PQ|的最小值为.
【解析】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、椭圆的参数方程的应用、点到直线的距离公式等.第
（1）问利用极坐标方程与直角坐标方程之间的互化公式即可产生结论;
第
（2）问将椭圆方程化为参数方程,借助三角中的有关知识求最值.
24．已知不等式|2x-1|-|x+1|<
2的解集为{x|a<
b}.
（1）求a,b的值;
（2）已知x>
y>
z,求证:
-+≥.
（1）（i）当x<
-1时,不等式可转化为-（2x-1）-[-（x+1）]<
2,即-x+2<
2,解得x>
0,此时无解;
（ii）当-1≤x≤时,不等式可转化为-（2x-1）-（x+1）<
2,即-3x<
-,
此时不等式的解集为{x|-<
x≤};
（iii）当x>
时,不等式可转化为2x-1-（x+1）<
2,即x-2<
2,解得x<
4,此时不等式的解集为{x|<
4}.
由（i）（ii）（iii）得不等式的解集为{x|-<
4}.
又不等式的解集为{x|a<
b},所以a=-,b=4.
（2）由
（1）知-+≥,即+≥.
由于x>
z,则[（x-y）+（y-z）]（+）=2++≥2+2=4（当且仅当时等号成立）⇒+≥.
【解析】本题考查绝对值不等式的解法及不等式的证明等,考查考生的运算能力及分析问题、解决问题的能力.第
（1）问通过零点分段讨论法即可求解;
第
（2）问在第
（1）问的基础上,结合基本不等式即可证明.
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