高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案Word文档格式.docx
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,0）（
0）（0,
焦点在对称轴上
）（0,
）
顶点O（0,0）
离心率e=1
准线
方程
xy
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准p
线的距离2
焦点到准
线的距离
焦半径
A（x,y）
11
ppp
AFxAFx1AFy1AFy1
12
焦点弦
长
（xx）p
（yy）p
AB（x1x2）p
Ax1,y1
o
Bx2,y2
AB的几
以AB为直径的圆必与准线l相切
条性质
B（x,y）
若AB的倾斜角为，则
2p2p
AB若AB的倾斜角为，则AB2
sincos
xx
124
yyp
11AFBFAB2
AFBFAFBFAFBFp
切线
y0yp（xx0）y0yp（xx0）x0xp（yy0）x0xp（yy0）
一．直线与抛物线的位置关系
直线，抛物线，
，消y得：
（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
（2）当k≠0时，
Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；
Δ=0，直线l与抛物线相切，一个切点；
Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?
（不一定）
二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线l：
ykxb抛物线，（p0）
①联立方程法：
ykxb
2x2kbpxb2
22（）0
ky2px
设交点坐标为A（x1,y）,B（x2,y2），则有0,以及x1x2,x1x2，还可进一步求出
1
y1y2kx1bkx2bk（x1x2）2b，
y1y（kxb）（kxb）kxxkb（xx）b
2121212
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
1.相交弦AB的弦长
AB
21（）24
1kxxkxxxx
121212
k
a
或AB2（）412
1yy1yyyy
1212
kk
b.中点M（x0,y）,
②点差法：
x，
设交点坐标为A（1,y），B（x2,y2），代入抛物线方程，得
y12pxy22px2
将两式相减，可得
（y1y2）（y1y2）2p（x1x2）
y1y2
a.在涉及斜率问题时，
kAB
b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为（0,y）
Mx，
2p
，
即
kAB，
2pyp
同理，对于抛物线x2（0），若直线l与抛物线相交于A、B两点，点（0,y）
Mx
是弦AB的中点，则有
2x
（注意能用这个公式的条件：
1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存
在，且不等于零）
抛物线练习及答案
1、已知点P在抛物线y
=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之
和取得最小值时，点P的坐标为。
4
－1）
2、已知点P是抛物线
yx上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的
17
距离之和的最小值为。
3、直线yx3与抛物线
24
yx交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分
别为P,Q，则梯形APQB的面积为。
48
4、设O是坐标原点，F是抛物线
22（0）
ypxp的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正
向的夹角为60，则OA为。
5、抛物线
yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部
分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是。
43
6、已知抛物线
C:
y8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且AK2AF，
则AFK的面积为。
8
7、已知双曲线
45
，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程
为。
8、在平面直角坐标系xoy中，有一定点A（2,1）,若线段OA的垂直平分线过抛物线
ypxp则该抛物线的方程是。
9、在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P（2，4），则该抛
物线的方程是。
28
yx
10、抛物线
yx上的点到直线4x3y80距离的最小值是。
3
222
11、已知抛物线y=4x,过点P（4,0）的直线与抛物线相交于A（x1,y1）,B（x2,y2）两点，则y1+y2
值是。
32
的最小
12、若曲线
y＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件
是。
k=0,-1<
b<
13、已知抛物线y-x
2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）C
A.3B.4C.32D.42
14、已知抛物线
ypxp的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线
上，且
2xxx，则有（）Ｃ
213
Ａ．
FPFPFPＢ．
123
FPFPFP
Ｃ．
2FPFPFPＤ．
FPFP·
FP
15、已知点A（x1,y1）,B（x2,y2）（x1x20）是抛物线
ypxp上的两个动点,O是坐标原点,
向量OA,OB满足OAOBOAOB.设圆C的方程为
xy（xx）x（yy）y0。
（1）证明线段AB是圆C的直径;
（2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为
25
5
时，求p的值。
解：
（1）证明1:
OAOBOAOB,（OAOB）（OAOB），
2222
OA2OAOBOBOA2OAOBOB，整理得:
OAOB0，
x1x2y1y20，
设M（x,y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则MAMB0，
（xx）（xx）（yy）（yy）0，整理得:
xy（xx）x（yy）y0，
故线段AB是圆C的直径。
证明2:
xxyy⋯⋯..
（1）
12120
yyyy
设（x,y）是以线段AB为直径的圆上则即21
xxxx
21
1（xx,xx）
去分母得:
（xx）（xx）（yy）（yy）0，
点
（x,y）,（x,y）,（x,y）（x,y）满足上方程,展开并将
（1）代入得:
11122122
证明3:
2222OA2OAOBOBOA2OAOBOB，
整理得:
x1x2y1y20⋯⋯
（1）
以线段AB为直径的圆的方程为
xxyy1
22221212
（x）（y）[（xx）（yy）]，
224
展开并将
（1）代入得:
故线段AB是圆C的直径
（2）解法1:
设圆C的圆心为C（x,y）,则
yy
y12px1,y22px2（p0），
1242
，又因x1x2y1y20，
xxyy，
，x1x20,y1y20，
yyp，
xx11yy
12222212
x（yy）（yy2yy）
24p4p4p
（y2p）
所以圆心的轨迹
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