高中数学数系的扩充与复数的引入 42 复数的四则运算学案 北师大版选修12Word格式文档下载.docx

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设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1·

z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.

2．复数乘法的运算律

对任意复数z1，z2，z3∈C，有

交换律

z1·

z2＝z2·

z1

结合律

（z1·

z2）·

z3＝z1·

（z2·

z3）

乘法对加法的分配律

z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3

3.共轭复数

如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z的共轭复数用来表示，即z＝a＋bi，则＝a－bi.

4．复数的除法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（c＋di≠0），则＝＝＋i.

（1＋i）2－＝________.

【解析】　∵（1＋i）2－＝2i－＝－＋i.

【答案】　－＋i

[质疑·

手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

________________________________________________________

解惑：

__________________________________________________________

疑问2：

疑问3：

[小组合作型]

复数的加法与减法运算

（1）＋（2－i）－＝________；

（2）已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z；

（3）已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.

【精彩点拨】　

（1）根据复数的加法与减法法则计算．

（2）设z＝a＋bi（a，b∈R），根据复数相等计算或把等式看作z的方程，通过移项求解．

（3）设z＝x＋yi（x，y∈R），则|z|＝，再根据复数相等求解．

【自主解答】　

（1）＋（2－i）－＝＋i

＝1＋i.

【答案】　1＋i

（2）法一：

设z＝x＋yi（x，y∈R），因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋（1－3i）＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.

法二：

因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝（5－2i）－（1－3i）＝4＋i.

（3）设z＝x＋yi（x，y∈R），则|z|＝，又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i.

1．复数加法与减法运算法则的记忆

（1）复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．

（2）把i看作一个字母，类比多项式加、减法中的合并同类项．

2．当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi（a，b∈R）．

[再练一题]

1．

（1）复数（1－i）－（2＋i）＋3i等于（　　）

A．－1＋i　B．1－i　　　

C．i　　　D．－i

【解析】　（1－i）－（2＋i）＋3i＝（1－2）＋（－i－i＋3i）＝－1＋i.故选A.

【答案】　A

（2）已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.

【解析】　设z＝x＋yi（x，y∈R），∴＝3①，且z＋3i＝x＋yi＋3i＝x＋（y＋3）i是纯虚数，则

由①可得y＝3.

∴z＝3i.

【答案】　3i

复数的乘法与除法运算

　已知复数z1＝1＋i，z2＝3－2i.试计算：

【导学号：

67720025】

（1）z1·

z2和z；

（2）z1÷

z2和z÷

z1.

【精彩点拨】　按照复数的乘法和除法法则进行．

【自主解答】　

（1）z1·

z2＝3－2i＋3i－2i2＝5＋i.

z＝[（1＋i）2]2＝（2i）2＝4i2＝－4.

z2＝＝＝＝＋i.

z÷

z1＝＝＝

＝＝－－i.

1．实数中的乘法公式在复数范围内仍然成立．

2．复数的四则运算次序同实数的四则运算一样，都是先算乘除，再算加减．

3．常用公式

（1）＝－i；

（2）＝i；

（3）＝－i.

2．

（1）满足＝i（i为虚数单位）的复数z＝（　　）

A.＋i　　　　　B．－i

C．－＋iD．－－i

（2）若复数z满足z（1＋i）＝2i（i为虚数单位），则|z|＝（　　）

A．1　　　　　　B．2

C.D．

【解析】　

（1）∵＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z（i－1）．

∴z＝＝＝＝－i.

（2）∵z（1＋i）＝2i，∴z＝＝＝1＋i，

∴|z|＝＝.

【答案】　

（1）B　

（2）C

[探究共研型]

共轭复数的应用

探究1　两个共轭复数的和一定是实数吗？

两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？

【提示】　若z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，则z＋＝2a∈R.因此，和一定是实数；

而z－＝2bi.当b＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b≠0时，两共轭复数的差是纯虚数．

探究2　若z1与z2是共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？

【提示】　|z1|＝|z2|.

　已知z∈C，为z的共轭复数，若z·

－3i＝1＋3i，求z.

【精彩点拨】　设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi.代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解．

【自主解答】　设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，（a，b∈R），

由题意得（a＋bi）（a－bi）－3i（a－bi）＝1＋3i，

即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，

则有解得或

所以z＝－1或z＝－1＋3i.

3．已知复数z1＝（－1＋i）（1＋bi），z2＝，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值．

【解】　z1＝（－1＋i）（1＋bi）＝－1－bi＋i－b＝（－b－1）＋（1－b）i，

z2＝＝＝＝＋i，

由于z1和z2互为共轭复数，所以有

解得

[构建·

体系]

1．设z1＝2＋i，z2＝1－5i，则|z1＋z2|为（　　）

A.＋　　　　B．5

C．25D．

【解析】　|z1＋z2|＝|（2＋i）＋（1－5i）|

＝|3－4i|＝＝5.

【答案】　B

2．已知i是虚数单位，则（－1＋i）（2－i）＝（　　）

A．－3＋iB．－1＋3i

C．－3＋3iD．－1＋i

【解析】　（－1＋i）（2－i）＝－1＋3i.

3．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i（x∈R），若z1z2∈R，则x＝________.

【解析】　∵z1＝1＋i，z2＝x＋2i（x∈R），

∴z1z2＝（1＋i）（x＋2i）＝（x－2）＋（x＋2）i.

∵z1z2∈R，∴x＋2＝0，即x＝－2.

【答案】　－2

4．若＝a＋bi（i为虚数单位，a，b∈R），则a＋b＝________.

【解析】　因为＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.

【答案】　2

5．已知复数z满足|z|＝，且（1－2i）z是实数，求.

【解】　设z＝a＋bi（a，b∈R），则（1－2i）z＝（1－2i）·

（a＋bi）＝（a＋2b）＋（b－2a）i，又因为（1－2i）z是实数，所以b－2a＝0，即b＝2a，又|z|＝，所以a2＋b2＝5，解得a＝±

1，b＝±

2，

∴z＝1＋2i或－1－2i，

∴＝1－2i或－1＋2i，

∴＝±

（1－2i）．

我还有这些不足：

（1）______________________________________________________________

（2）______________________________________________________________

我的课下提升方案：

学业分层测评（十三）

（建议用时：

45分钟）

[学业达标]

一、选择题

1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是（　　）

A．1　　　　　　　B．2

C．－2D．－1

【解析】　z1－z2＝y＋xi－（yi－x）＝x＋y＋（x－y）i＝2，

∴∴x＝y＝1.

∴xy＝1.

2．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝（　　）

A．0B．6i

C．6D．6－6i

【解析】　∵z＋3i－3＝3－3i，

∴z＝（3－3i）－（3i－3）

＝6－6i.

【答案】　D

3．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为（　　）

A．1B．2

【解析】　由z＝－ai，a∈R，得z2＝2－2×

×

ai＋（ai）2＝－a2－ai，因为z2＝－i，所以解得a＝.

4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是（　　）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等边三角形D．等腰直角三角形

【解析】　复数z1对应向量，复数z2对应向量.

则|z1＋z2|＝|＋|，|z1－z2|＝|－|，

依题意有|＋|＝|－|.

∴以，为邻边所作的平行四边形是矩形．

∴△AOB是直角三角形．

5．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·

等于（　　）

A.B.

C．1D．2

【解析】　∵z＝＝＝

＝＝＝－＋，

∴＝－－，

∴z·

＝.

二、填空题

6．复数的值是________.

【解析】　＝＝－1.

【答案】　－1

7．已知＝b＋i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a＋b＝__________.

【解析】　∵＝b＋i，

∴a＋2i＝（b＋i）i＝－1＋bi，

∴a＝－1，b＝2，

∴a＋b＝1.

【答案】　1

8．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝________.

【解】　法一：

设z＝a＋bi（a，b∈R）．

则|z|＝，

代入方程得a＋bi＋＝2＋8i.

∴解得

∴z＝－15＋8i.

原式可化为z＝2－|z|