学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入高考八大高频考点例析教学案北师大版选修22.docx

学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入高考八大高频考点例析教学案北师大版选修22.docx

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学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入高考八大高频考点例析教学案北师大版选修22

第五章数系的扩充与复数的引入

高考八大高频考点例析[对应学生用书P52]

归纳与类比

考查方式

　　归纳与类比是最常见的合情推理，是近几年高考的热点，归纳、类比推理大多数出现在填空题中，为中、低档题，突出了“小而巧”，主要考查类比、归纳推理能力．

备考指要

　　1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，归纳的特例越多，归纳出的共性就越可靠；类比推理是由特殊到特殊的推理，一般情况下，类比的相似性越多，类比得到的结论就越可靠．

2.解答此类问题，需要细心观察，寻找它们内在的关系，同时还要联系相关知识，合情推理得到的结论不一定正确.

[例1]　（陕西高考）观察下列等式

12＝1

12－22＝－3

12－22＋32＝6

12－22＋32－42＝－10

…

照此规律，第n个等式可为________．

[解析]　观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋（－1）n＋1n2＝（－1）n＋1.

[答案]　12－22＋32－42＋…＋（－1）n＋1n2＝（－1）n＋1

1．类比“在平面直角坐标系中，圆心在原点、半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2”，猜想“在空间直角坐标系中，球心在原点、半径为r的球面的方程为

________________________________________________________________________”．

解析：

类比平面直角坐标系中圆的方程，从形式上易得空间直角坐标系中球面的方程为x2＋y2＋z2＝r2.

答案：

x2＋y2＋z2＝r2

2．（湖北高考）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：

11,22,33，…，99.3位回文数有90个：

101,111,121，…，191,202，…，999.则

（1）4位回文数有________个；

（2）2n＋1（n∈N＋）位回文数有________个．

解析：

2位回文数有9个，4位回文数与3位回文数个数相等，都有9×10＝90个．而每一个4位回文数都对应着10个5位回文数，故5位回文数有9×10×10＝100×9个，可推出2n＋1（n∈N＋）位回文数有9×10n个．

答案：

90　9×10n

3．观察下列等式：

（1＋1）＝2×1

（2＋1）（2＋2）＝22×1×3

（3＋1）（3＋2）（3＋3）＝23×1×3×5

…

照此规律，第n个等式可为________．

解析：

观察规律可知第n个等式可为：

（n＋1）（n＋2）（n＋3）…（n＋n）＝2n·1·3·5…（2n－1）．

答案：

（n＋1）（n＋2）（n＋3）…（n＋n）＝2n×1×3×5×…×（2n－1）

直接证明与间接证明

考查方式

　　高考中直接证明主要考查立体几何中的平行与垂直、等差或等比数列、函数与不等式的证明等问题，题型多以解答题为主；高考直接考查反证法的题目并不多，但大多作为证明和判断一些命题的方法，隐含于试题中．

备考指要

　　在备考中，要分清综合法、分析法和反证法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决问题的类型．数学归纳法是证明与正整数有关的命题的方法，应用时要严格按照两个步骤论述.

[例2]　（陕西高考）设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．

（1）求数列{an}的公比；

（2）证明：

对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．

[解]　

（1）设数列{an}的公比为q（q≠0，q≠1），由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，

由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1（舍去），所以q＝－2.

（2）证明：

法一：

对任意k∈N＋，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk

＝（Sk＋2－Sk）＋（Sk＋1－Sk）

＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1

＝2ak＋1＋ak＋1·（－2）

＝0，

所以，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．

法二：

对任意k∈N＋，2Sk＝，

Sk＋2＋Sk＋1＝＋

＝，

2Sk－（Sk＋2＋Sk＋1）

＝－

＝[2（1－qk）－（2－qk＋2－qk＋1）]

＝（q2＋q－2）＝0，

因此，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．

4．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（　　）

A．a，b都能被5整除

B．a，b都不能被5整除

C．a不能被5整除

D．a，b中有一个不能被5整除

解析：

“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即a，b都不能被5整除．

答案：

B

5．如图，几何体ABCDEP中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝2BE＝4.

（1）证明：

BD∥平面PEC；

（2）若G为BC上的动点，求证：

AE⊥PG.

证明：

（1）连接AC交BD于点O，取PC的中点F，连接OF，EF.

∵EB∥PA，且EB＝PA，

又OF∥PA，且OF＝PA，

∴EB∥OF，且EB＝OF，

∴四边形EBOF为平行四边形，

∴EF∥BD.

又∵EF平面PEC，BD⃘平面PEC，

∴BD∥平面PEC.

（2）连接BP，∵＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，

∴△EBA∽△BAP，

∴∠PBA＝∠BEA，

∴∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，

∴PB⊥AE.

∵PA⊥平面ABCD，PA平面APEB，

∴平面ABCD⊥平面APEB，

∵BC⊥AB，平面ABCD∩平面APEB＝AB，

∴BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，

∴AE⊥平面PBC，

∵G为BC上的动点，

∴PG平面PBC，∴AE⊥PG.

6．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.

（1）求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

（2）设bn＝（n∈N＋），求证：

数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

解：

（1）由已知得∴d＝2.

故an＝2n－1＋，Sn＝n（n＋）．

（2）证明：

由

（1）得bn＝＝n＋.

假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br（p，q，r互不相等）成等比数列，则b＝bpbr，

即（q＋）2＝（p＋）（r＋），

∴（q2－pr）＋（2q－p－r）＝0，

∵p，q，r∈N＋，

∴∴2＝pr，（p－r）2＝0.

∴p＝r，与p≠r矛盾．

∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．

7．已知点Pn（an，bn）满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝（n∈N＋），且点P1的坐标为（1，－1）．

（1）求过点P1，P2的直线l的方程；

（2）试用数学归纳法证明：

对于n∈N＋，点Pn都在

（1）中的直线l上．

解：

（1）由题意，有a1＝1，b1＝－1，

b2＝＝，a2＝1×＝，∴P2（，）．

∴直线l的方程为＝，即2x＋y＝1.

（2）证明：

①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋（－1）＝1成立．

②假设n＝k（k≥1且k∈N＋）时，2ak＋bk＝1成立．

则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·（2ak＋1）

＝＝＝1，

∴当n＝k＋1时，命题也成立．

由①②知，对于n∈N＋，都有2an＋bn＝1，即点Pn在直线l上.

导数的几何意义及运算

考查方式

　　从近几年的高考试题分析，对该部分内容的考查，主要是利用导数的几何意义求切线方程，导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导；题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识．

备考指要

　　利用导数的几何意义求切线方程时，关键要搞清楚所给的点是不是切点，注意区分“在某点处的切线方程”与“过某点的切线方程”的区别．导数的运算要熟练掌握基本函数的导数及导数的四则运算法则.

[例3]　（北京高考）设L为曲线C：

y＝在点（1,0）处的切线．

（1）求L的方程；

（2）证明：

除切点（1,0）之外，曲线C在直线L的下方．

[解]　

（1）设f（x）＝，则f′（x）＝.

所以f′

（1）＝1，即L的斜率为1.

又L过点（1,0），所以L的方程为y＝x－1.

（2）证明：

令g（x）＝x－1－f（x），则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g（x）＞0（∀x＞0，x≠1）．

g（x）满足g

（1）＝0，

且g′（x）＝1－f′（x）＝.

当0＜x＜1时，x2－1＜0，lnx＜0，所以g′（x）＜0，故g（x）单调递减；

当x＞1时，x2－1＞0，lnx＞0，所以g′（x）＞0，故g（x）单调递增．

所以，g（x）＞g

（1）＝0（∀x＞0，x≠1）．

所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．

8．（新课标全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是

（　　）

A．（－∞，0]　　　　　　　B．（－∞，1]

C．[－2,1]D.[－2,0]

解析：

y＝|f（x）|的图像如图所示，y＝ax为过原点的一条直线，当a>0时，与y＝|f（x）|在y轴右侧总有交点，不合题意．当a＝0时成立．当a<0时，有k≤a<0，其中k是y＝|－x2＋2x|在原点处的切线斜率，显然k＝－2，于是－2≤a<0.综上，a∈[－2,0]．

答案：

D

9．（广东高考）若曲线y＝kx＋lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k＝________.

解析：

y′|x＝1＝0，即当x＝1时，k＋＝k＋1＝0，解得k＝－1.

答案：

－1

10．（江西高考）设函数f（x）在（0，＋∞）内可导，且f（ex）＝x＋ex，则f′

（1）＝________.

解析：

因为f（ex）＝x＋ex，所以f（x）＝x＋lnx（x>0），所以f′（x）＝1＋，所以f′

（1）＝2.

答案：

2

利用导数研究函数的单调性

考查方式

　　利用导数研究函数的单调性是导数最重要的应用之一．主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性，在高考命题中，三种类型均有可能出现，若以选择题或填空题的形式出现，难度则以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主.

备考指要

　　利用导数研究函数的单调性，其方法是研究不等式f′（x）≥0或f′（x）≤0解的情况，应注意f′（x）＝0不能恒成立．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来确定函数的单调区间．

特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接.

[例4]　（新课标全国卷Ⅱ）已知函数f（x）＝ex－ln（x＋m）．

（1）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；

（2）当m≤2时，证明f（x）>0.

[解]　

（1）f′（x）＝ex－.

由x＝0是f（x）的极值点得f′（0）＝0，所以m＝1.

于是f（x）＝ex－ln（x＋1），定义域为（－1，＋∞），

f′（x）＝ex－.

函数f′（x）＝ex－在（－1，＋∞）上单调递增且f′（0）＝0，因此当x∈（－1,0）时，f′（x）<0；

当x∈（0，＋∞）时，f′（x）>0.

所以f（x）在（－1,0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增．

（2）证明：

当m≤2，x∈（－m，＋∞）时，

ln（x＋m）≤ln（x＋2），

故只需证明当m＝2时，f（x）>0.

当m＝2时，函数f′（x）＝ex－在（－2，＋∞）上单调递增，又f′（－1）<0，f′（0）>0，故