数学选修21测试题含答案.docx
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数学选修21测试题含答案
数学选修2-1综合测评
时间：
90分钟 满分：
120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．与向量a＝（1，－3,2）平行的一个向量的坐标是（ ）
A.B．（－1，－3,2）
C.D．（，－3，－2）
解析：
向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b≠0，a∥b⇔a＝λb，a＝（1，－3,2）＝－1，故选C.
答案：
C
2．若命题p：
∀x∈，tanx>sinx，则命题綈p：
（ ）
A．∃x0∈，tanx0≥sinx0
B．∃x0∈，tanx0>sinx0
C．∃x0∈，tanx0≤sinx0
D．∃x0∈∪，tanx0>sinx0
解析：
∀x的否定为∃x0，>的否定为≤，所以命题綈p为∃x0∈，tanx0≤sinx0.
答案：
C
3．设α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不重合的直线，则α∥β的充分条件是（ ）
A．l⊂α，m⊂β且l∥β，m∥α
B．l⊂α，m⊂β且l∥m
C．l⊥α，m⊥β且l∥m
D．l∥α，m∥β且l∥m
解析：
由l⊥α，l∥m得m⊥α，因为m⊥β，所以α∥β，故C选项正确．
答案：
C
4．以双曲线－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）
A.＋＝1B.＋＝1
C.＋＝1D.＋＝1
解析：
由－＝1，得－＝1.
∴双曲线的焦点为（0,4），（0，－4），
顶点坐标为（0,2），（0，－2）．
∴椭圆方程为＋＝1.
答案：
D
5．已知菱形ABCD边长为1，∠DAB＝60°，将这个菱形沿AC折成60°的二面角，则B，D两点间的距离为（ ）
A.B.C.D.
解析：
菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，则AC′⊥BD，沿AC折叠后，有BO⊥AC′，DO⊥AC，所以∠BOD为二面角B－AC－D的平面角，即∠BOD＝60°.
因为OB＝OD＝，所以BD＝.
答案：
B
6．若双曲线－＝1的渐近线与圆（x－3）2＋y2＝r2（r>0）相切，则r＝（ ）
A.B．2C．3D．6
解析：
双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，因为双曲线的渐近线与圆（x－3）2＋y2＝r2（r>0）相切，故圆心（3,0）到直线y＝±x的距离等于圆的半径r，则r＝＝.
答案：
A
7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为（ ）
A.B.C.D.
解析：
取，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，可求得平面AB1D1的法向量为n＝（2，－2,1）．故A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.
答案：
C
8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为（ ）
A.B．2C．4D．8
解析：
抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A（－4,2）在等轴双曲线C：
x2－y2＝a2（a>0）上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.
答案：
C
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，CC1的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的集合是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
取C1D1的中点E，PM必在平面ADEM内，易证D1N⊥平面ADEM.本题也可建立空间直角坐标系用向量求解．
答案：
A
10．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1（a>b>0）上的一点，若·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为（ ）
A.B.C.D.
解析：
由·＝0，得△PF1F2为直角三角形，由tan∠PF1F2＝，设|PF2|＝s，则|PF1|＝2s，又|PF2|2＋|PF1|2＝4c2（c＝），即4c2＝5s2，c＝s，而|PF2|＋|PF1|＝2a＝3s，∴a＝，∴e＝＝，故选D.
答案：
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
11．若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：
原命题的否定形式为∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0，为真命题．即2x2－3ax＋9≥0恒成立，∴只需Δ＝（－3a）2－4×2×9≤0，解得－2≤a≤2.
答案：
[－2，2]
12．在平面直角坐标系xOy中，若定点A（1,2）与动点P（x，y）满足·＝4，则动点P的轨迹方程是__________．
解析：
由·＝4得x·1＋y·2＝4，因此所求动点P的轨迹方程为x＋2y－4＝0.
答案：
x＋2y－4＝0
13．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝2，则AB与PC的夹角的余弦值为__________．
解析：
因为·＝·（＋）＝·＋·＝1××cos45°＝1，又||＝1，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
答案：
14．过双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为__________．
解析：
由题意，如图，在Rt△AOF中，∠AFO＝30°，
AO＝a，OF＝c，
∴sin30°＝＝＝.
∴e＝＝2.
答案：
2
三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（12分）已知命题p：
不等式|x－1|>m－1的解集为R，命题q：
f（x）＝－（5－2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
解：
由于不等式|x－1|>m－1的解集为R，
所以m－1<0，m<1；
因为f（x）＝－（5－2m）x是减函数，
所以5－2m>1，m<2.
即命题p：
m<1，命题q：
m<2.
因为p或q为真，p且q为假，所以p和q中一真一假．
当p真q假时应有m无解．
当p假q真时应有1≤m<2.
故实数m的取值范围是1≤m<2.
16．（12分）已知椭圆＋＝1（a>b>0）的离心率为，且a2＝2b.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l：
x－y＋m＝0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解：
（1）由题意得解得
所以b2＝a2－c2＝1，
故椭圆的方程为x2＋＝1.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0）．联立直线与椭圆的方程得即3x2＋2mx＋m2－2＝0，Δ＝（2m）2－4×3×（m2－2）>0，m2<3，所以x0＝＝－，y0＝x0＋m＝，即M.又因为M点在圆x2＋y2＝5上，所以2＋2＝5，解得m＝±3与m2<3矛盾．∴实数m不存在．
17．（13分）已知点P（1,3），圆C：
（x－m）2＋y2＝过点A，点F为抛物线y2＝2px（p>0）的焦点，直线PF与圆相切．
（1）求m的值与抛物线的方程；
（2）设点B（2,5），点Q为抛物线上的一个动点，求·的取值范围．
解：
（1）把点A代入圆C的方程，得
（1－m）2＋2＝，∴m＝1.
圆C：
（x－1）2＋y2＝.
当直线PF的斜率不存在时，不合题意．
当直线PF的斜率存在时，设为k，
则PF：
y＝k（x－1）＋3，即kx－y－k＋3＝0.
∵直线PF与圆C相切，
∴＝.
解得k＝1或k＝－1.
当k＝1时，直线PF与x轴的交点横坐标为－2，不合题意，舍去．
当k＝－1时，直线PF与x轴的交点横坐标为4，
∴＝4.∴抛物线方程为y2＝16x.
（2）＝（－1，－2），
设Q（x，y），＝（x－2，y－5），则
·＝－（x－2）＋（－2）（y－5）
＝－x－2y＋12＝－－2y＋12
＝－（y＋16）2＋28≤28.
∴·的取值范围为（－∞，28]．
18．（13分）如图，在四棱锥A－BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝，AB＝AC.
（1）证明：
AD⊥CE；
（2）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C－AD－E的余弦值．
解：
①
（1）证明：
作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点．以O为坐标原点，射线OC为x轴正方向，建立如图①所示的直角坐标系O－xyz.
设A（0,0，t）．
由已知条件知C（1,0,0），D（1，，0），E（－1，，0），＝（－2，，0），＝（1，，－t），
所以·＝0，得AD⊥CE.
（2）作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，如图②所示．
②设F（x,0，z），则＝（x－1,0，z），＝（0，，0），
·＝0，故CF⊥BE.
又AB∩BE＝B，
所以CF⊥平面ABE，
故∠CEF是CE与平面ABE所成的角，∠CEF＝45°.
由CE＝，得CF＝.
又CB＝2，所以∠FBC＝60°，
所以△ABC为等边三角形，因此A（0,0，）．
作CG⊥AD，垂足为G，连接GE.
在Rt△ACD中，求得|AG|＝|AD|.
故G，＝，
＝.
又＝（1，，－），·＝0，·＝0，
所以与的夹角等于二面角C－AD－E的平面角．
故二面角C－AD－E的余弦值cos〈，〉＝＝－.
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