高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语11集合的概念与运算学案理Word文件下载.docx
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A∪(∁UA)=U;
A∩(∁UA)=∅;
∁U(∁UA)=A;
∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);
∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
(4)若有限集A中有n个元素,则A的子集个数为2n个,非空子集个数为2n-1个,真子集有2n-1个,非空真子集的个数为2n-2个.
[诊断自测]
1.概念思辨
(1)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组成的集合是{1,4}.( )
(2)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.( )
(3)设集合A={0,1},若B={x|x⊆A},则A⊆B.( )
(4)设集合A={x|ax=1},B={x|x2=1},若A⊆B,则a=1或-1.( )
答案
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
2.教材衍化
(1)(必修A1P12T5)若集合P={x|x≥5},Q={x|5≤x≤7},则P与Q的关系是( )
A.P=QB.PQC.PQD.P⊄Q
答案 C
解析 因为集合P={x|x≥5},Q={x|5≤x≤7},所以QP.故选C.
(2)(必修A1P12T2)已知A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},则A∩B=________.
答案 {(1,2)}
解析 A∩B={(x,y)|4x+y=6}∩{(x,y)|3x+2y=7}=
={(1,2)}.
3.小题热身
(1)已知集合A={x|-3<
x<
3},B={x|x(x-4)<
0},则A∪B=( )
A.(0,3)B.(-3,4)C.(0,4)D.(3,4)
答案 B
解析 集合B=(0,4),故A∪B=(-3,4).故选B.
(2)若集合A=[2,3],B={x|x2-5x+6=0},则A∩B=( )
A.{2,3}B.∅C.(2,3)D.[2,3]
答案 A
解析 因为A={x|2≤x≤3},B={2,3},所以A∩B={2,3}.故选A.
题型1 集合的基本概念
(xx·
四川高考)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )
A.3B.4C.5D.6
本题用列举法.
解析 A中包含的整数元素有-2,-1,0,1,2,共5个,所以A∩Z中的元素个数为5.故选C.
豫北名校联考)设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P⊗Q={z|z=a÷
b,a∈P,b∈Q},若P={-1,0,1},Q={-2,2},则集合P⊗Q中元素的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
本题用分类讨论法,根据元素的互异性确定元素的个数.
解析 当a=0时,无论b取何值,z=a÷
b=0;
当a=-1,b=-2时,z=
;
当a=-1,b=2时,z=-
当a=1,b=-2时,z=-
当a=1,b=2时,z=
.
故P⊗Q=
,该集合中共有3个元素.故选B.
方法技巧
解决集合概念问题的一般思路
1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合,然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的意义.常见的集合的意义如下表:
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合是否满足元素的互异性.
3.集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
冲关针对训练
1.已知集合A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},则下列关系正确的是( )
A.A∩B=∅B.A∩B=A
C.A=BD.A∩B=B
答案 D
解析 A=R,B=[1,+∞),故A∩B=B.故选D.
2.已知a,b为两个不相等的实数,集合M={a2-4a,-1},N={b2-4b+1,-2},f:
x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b等于( )
A.1B.2C.3D.4
解析 因为集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,所以
即
因为a,b为两个不相等的实数,则a,b为方程x2-4x+2=0的两根,∴a+b=4.故选D.
题型2 集合间的基本关系
资阳模拟)含有三个实数的集合可表示为
,也可表示为{a2,a+b,0},则axx+bxx的值为( )
A.0B.±
1C.-1D.1
利用集合相等分类讨论,根据元素的互异性求解.
解析 三个实数的集合可表示为
,也可表示为{a2,a+b,0},可得b=0,a2=1,因为集合含有三个实数,所以a=-1,∴axx+bxx=-1.故选C.
已知集合A={x|x<
-3或x>
7},B={x|x<
2m-1},若
B⊆A,则实数m的取值范围是________.
本题可用数形结合方法.
答案 (-∞,-1]
解析 由题意知2m-1≤-3,m≤-1,∴m的取值范围是(-∞,-1].
[条件探究1] 典例2中的B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},其余不变,该如何求解?
解 当B=∅时,有m+1>
2m-1,则m<
2.
当B≠∅时,
或
解得m>
6.综上可知m的取值范围是(-∞,2)∪(6,+∞).
[条件探究2] 典例2中的A改为A={x|-3≤x≤7},B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},又该如何求解?
解 当B=∅时,满足B⊆A,此时有m+1>
2m-1,
即m<
2;
当B≠∅,要使B⊆A,则有
解得2≤m≤4.
综上可知m的取值范围是(-∞,4].
1.集合相等的问题求解思路
首先分析已知元素与另一个集合中的哪个元素相等,一般要分类讨论,列出方程(组)求解,最后要验证是否满足互异性.例如典例1.
2.已知两个集合间的关系求参数时的关键点及注意点
(1)关键点:
将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.例如条件探究1,2.
(2)注意点:
①利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论;
②注意区间端点的取舍.例如典例2.
提醒:
空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.
冲关针对训练
1.已知集合A={x|x2-2x>
0},B={x|-
<
},则( )
A.A∩B=∅B.A∪B=R
C.B⊆AD.A⊆B
解析 易得A={x|x>
2或x<
0},又B={x|-
},利用数轴表示A与B(略),易知A∩B={x|-
0或2<
},A项错误;
A∪B=R,B项正确;
A与B没有包含关系,C项与D项均错误.故选B.
2.(xx·
河北校级期中)已知集合A={2,3},B={x|mx-6=0},若B⊆A,则实数m=( )
A.3B.2
C.2或3D.0或2或3
解析 因为B⊆A,所以根据B是否为空集分以下两种情况:
①当B=∅时,mx-6=0无解,即m=0,
②当B≠∅时,mx-6=0的解为2或3,则m的值分别为3,2.故选D.
题型3 集合的基本运算
角度1 求交集
全国卷Ⅰ)设集合A={x|x2-4x+3<
0},B={x|2x-3>
0},则A∩B=( )
A.
B.
C.
D.
本题用数形结合法.
解析 易知A=(1,3),B=
,∴A∩B=
.故选D.
角度2 求并集
浙江模拟)已知集合P={x|-1<
1},Q=
{x|0<
2},那么P∪Q=( )
A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)
解析 ∵P={x|-1<
1},Q={x|0<
2},
∴P∪Q={x|-1<
2}.故选A.
角度3 交、并、补的综合运算
广东七校联考)已知全集U=R,集合A={x|x2-2x>
0},B={x|y=lg(x-1)},则(∁UA)∩B=( )
A.{x|x>
0}B.{x|1<
2}
C.{x|1<
x≤2}D.{x|1≤x≤2}
本题用转化法、数形结合法.
解析 解不等式x2-2x>
0,即x(x-2)>
0,得x<
0或x>
2,故A={x|x<
2}.集合B是函数y=lg(x-1)的定义域,由x-1>
0,解得x>
1,所以B={x|x>
1}.易知∁UA={x|0≤x≤2},所以(∁UA)∩B={x|0≤x≤2}∩{x|x>
1}={x|1<
x≤2}.故选C.
1.集合的基本运算的求解策略
(1)求解思路一般是先化简集合,再根据交、并、补的定义求解.例如角度1典例.
(2)求解原则一般是先算括号里面的,再按运算顺序求解.
(3)求解思想一般是注重数形结合思想的运用,利用数轴、Venn图等.例如角度2,3典例.
2.参数求解策略
一般来讲,若集合中的元素是离散的,则用Venn图表示,根据画出的Venn图得到关于参数的一个或多个方程,求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾;
若集合中的元素是连续的,则用数轴表示,根据数轴得到关于参数的不等式,解之得到参数的范围,此时要注意端点的情况.见冲关针对训练2.
1.(xx·
天津高考)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=( )
A.{2}B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}
解析 A∪B={1,2,4,6}.又C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.
合肥质检二)已知集合A=[1,+∞),B={x∈R
,若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.
D.(1,+∞)
解析 因为A∩B≠∅,所以
解得a≥1,故选A.
3.(xx·
唐山二模)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥3},图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{1,2}B.{4,5}C.{1,2,3}D.{3,4,5}
解析 图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中,但不在集合B中,
由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(∁UB)∩A,又A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥3},
∵∁UB={x|x<
3},∴(∁UB)∩A={1,2},
则图中阴影部分表示的集合是{1,2}.故选A.
题型4 集合中的创新问题
已知数集A={a1,a2,…,an}(1≤a1<
a2<
…<
an,n≥2)具有性质P:
对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与
两数中至少有一个属于A,则称集合A为“权集”,则( )
A.{1