21版高考数学人教A版浙江专用大一轮复习 47 应 用 举 例.docx

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21版高考数学人教A版浙江专用大一轮复习47应用举例

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核心考点·精准研析

考点一　测量距离问题 

1.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC=（　　）

A.240（-1）mB.180（-1）m

C.120（-1）mD.30（+1）m

2.一船以每小时15km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60°,行驶4小时后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为（　　）

A.60km　　B.60km　C.30km　　D.30km

3.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度（单位:

km）:

AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为世纪金榜导学号（　　）

A.7kmB.8km　C.9km　D.6km

4.如图,海中有一小岛C,一小船从A地出发由西向东航行,望见小岛C在北偏东60°,航行8海里到达B处,望见小岛C在北偏东15°,若此小船不改变航行的方向继续前行2（-1）海里,则离小岛C的距离为（　　）

世纪金榜导学号

A.8（+2）海里　B.2（-1）海里

C.2（+1）海里D.4（+1）海里

【解析】1.选C.记气球在地面的投影为D,在Rt△ABD中,cos15°=,又

cos15°=cos（60°-45°）=,所以AB=.在△ABC中,由正弦定理得=,所以BC==AB=120（-1）（m）.

2.选A.画出图形如图所示,在△ABC中,∠BAC=30°,AC=4×15=60,∠B=

45°,由正弦定理得=,

所以BC===60,

所以船与灯塔的距离为60km.

3.选A.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,即AC2=25+64-2×5×8cosB=89-80cosB.在△ADC中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DCcosD,即AC2=25+9-2×5×3cosD=34-30cosD.因为∠B与∠D互补,

所以cosB=-cosD,

所以-=,解得AC=7（km）.

4.选C.BC===4

所以离小岛C的距离为

=

=2（+1）（海里）.

距离问题的常见类型及解法

（1）类型:

测量距离问题常分为三种类型:

山两侧、河两岸、河对岸.

（2）解法:

选择合适的辅助测量点,构造三角形,将实际问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.

秒杀绝招　

直角三角形解T1,记气球在地面的投影为D,在Rt△ACD中,tan60°=,所以CD=60,在Rt△ABD中,因为tan15°=,tan15°=tan（60°-45°）=

=2-,所以BD=120-60,所以BC=CD-BD=120（-1）（m）.

考点二　测量高度问题 

【典例】1.一架直升飞机在200m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,则塔高为（　　）

世纪金榜导学号

A.m　B.m

C.mD.m

2.如图,在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________;塔BB1的高为________m.世纪金榜导学号 

【解题导思】

序号

联想解题

1

由“测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°”,想到作图,建立数学模型

2

由“60m”“从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍”“从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角”,想到△A1AC∽△CBB1

【解析】1.选A.如图所示.

在Rt△ACD中,CD==BE,

在△ABE中,由正弦定理得=,所以AB=,DE=BC=200-=（m）.

2.设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α,则AA1=60tanαm,BB1=

60tan2αm.因为从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,所以△A1AC∽△CBB1,所以=,所以AA1·BB1=900,所以3600tanαtan2α=900,所以tanα=（负值舍去）,所以tan2α=,BB1=60tan2α=45（m）.

答案:

　45

　　求解高度问题的关注点

1.在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角（在铅垂面上所成的角）、方向（位）角（在水平面上所成的角）是关键.

2.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.

1.某工厂实施煤改电工程防治雾霾,欲拆除高为AB的烟囱,测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=40米,并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30°,且CE=1米,则烟囱高AB=________米. 

【解析】∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=45°,

在△CBD中,由正弦定理得BC==20,所以AB=1+tan30°·CB=1+

20（米）.

答案:

（1+20）

2.在纪念抗战胜利七十周年阅兵式上举行升旗仪式,如图,在坡角为15°的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°,且第一排和最后一排的距离为10m,则旗杆的高度为________m. 

【解析】如图,设旗杆高为hm,最后一排为点A,第一排为点B,旗杆顶端为点C,则BC==h.

在△ABC中,AB=10m,∠CAB=45°,∠ABC=105°,所以∠ACB=30°,

由正弦定理得=,故h=30.

答案:

30

考点三　测量角度问题 

命

题

精

解

读

考什么:

航行方向问题,航行时间、速度问题等等.

怎么考:

考查运用正弦定理、余弦定理解决航向,时间,速度等实际问题.

新趋势:

运用正弦定理、余弦定理解决实际问题.

学

霸

好

方

法

1.不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.

2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题,这时可以画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样将空间几何问题转化为平面几何问题,处理起来既清楚又不容易出现错误.

方向问题

【典例】如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的世纪金榜导学号（　　）

A.北偏东10°　B.北偏西10°

C.南偏东80°D.南偏西80°

【解析】选D.由条件及题干图知,∠CAB=∠CBA=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=

30°,

所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.

　解决测量角度问题时有哪些注意事项?

提示:

1.测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义.

2.求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值.

3.在解应用题时,要由已知正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理使用的优点.

时间、速度问题

【典例】如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45°方向600kmA处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为世纪金榜导学号（　　）

A.14h　B.15h　C.16h　D.17h

【解析】选B.记现在热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴中心到达点B位置,在△OAB中,OA=600km,AB=20tkm,∠OAB=45°,由余弦定理得OB2=

6002+400t2-2×20t×600×,令OB2≤4502,即4t2-120t+1575≤0,解得≤t≤,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为-

=15（h）.

如何求解码头将受到热带风暴影响的时间?

提示:

已知热带风暴速度,所以将时间问题转化为路程问题,即求出码头受到热带风暴影响时的风暴路线长度.运用解三角形知识求解即可.

1.如图所示,已知两座花坛A和B与教学楼C的距离相等,花坛A在教学楼C的北偏东40°的方向上,花坛B在教学楼C的南偏东60°的方向上,则花坛A在花坛B的________的方向上. 

【解析】由已知,∠ABC=（180°-80°）=50°,所以花坛A在花坛B的北偏西10°的方向上.

答案:

北偏西10°

2.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30°,风速是20km/h;水的流向是正东,流速是20km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________,大小为________km/h. 

【解析】如图

∠AOB=60°,由余弦定理知OC2=202+202-800cos120°=1200,故OC=20,

∠COY=30°+30°=60°.

答案:

60°　20

　如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处（-1）海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.问:

缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?

并求出所需时间.

【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获（在D点）走私船,则CD=10t海里,BD=10t海里,在△ABC中,由余弦定理得,

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=（-1）2+22-2（-1）×2×cos120°=6,解得BC=,

又因为=,

所以sin∠ABC===,

所以∠ABC=45°,B点在C点的正东方向上,

所以∠CBD=90°+30°=120°,

在△BCD中,由正弦定理,得=,

所以sin∠BCD===.

所以∠BCD=30°,缉私船沿北偏东60°的方向行驶.

又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,

所以∠D=30°,所以BD=BC,即10t=,

解得t=（小时）≈15（分钟）.

所以缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.

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