线性代数第六章.docx

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线性代数第六章

*第六章线性空间与线性变换

在第三章中，咱们把n元有序数组叫做n维向量，讨论了向量的许多性质，并介绍过向量空间的概念.在这里，咱们把这些概念推行，使向量及向量的概念更具一般性、加倍抽象化.

§１线性空间的概念与性质

概念1设V是一个非空集合，R为实数域，若是对于任意两个元素∈V，总有惟一的一个元素∈V与之对应，称为的和，记作；对于任一数k∈R与任一元素∈V，总有惟一的一个元素∈V与之对应，称为k与的积，记为＝k；而且这两种运算知足以下八条运算规律（对任意∈V;k,∈R）：

（1）;

（2）；

（3）在V中有一个元素0（叫做零元素），使对任何∈V，都有+0＝；

（4）对任何∈V，都有V中的元素，使=0（称为的负元素）；

（5）1＝；

（6）k（）＝（k）；

（7）（k+）＝k＋；

（8）k（）＝k+k.

那么，V就称为R上的向量空间（或线性空间），V中的元素称为（实）向量（上面的实数域R也可为一般数域）.

简言之，凡知足上面八条运算规律的加法及数量乘法称为线性运算；凡概念了线性运算的集合称为向量空间（或线性空间）.

注意：

向量不必然是有序数组；

向量空间V对加法与数量乘法（数乘）封锁；

向量空间中的运算只要求知足八条运算规律，不必然是有序数组的加法及数乘运算.

例1实数域R上次数不超过n的多项式的全部，咱们记作P［x］n，即

P［x］n＝｛anxn+…+a1x０＋a0｜an,an-1,…，a１，a０∈R｝.

对于通常的多项式加法、多项式数乘组成R上的向量空间.

例2实数域R上n次多项式的全部，记作W，即

W＝｛anxn+an-1xn-1+…+a1x+a０｜an,an-1，…，a１，a０∈R，且an≠0｝.

W对于通常的多项式加法、多项式数乘不组成R上的向量空间.

因为0（anxn+an-1xn-1+…+a１x０＋a０）＝0W，即W对数乘不封锁.

例3全部实函数，按函数的加法、数与函数的乘法，组成R上的线性空间.

例4n个有序实数组成的数组的全部

Sn=｛x=（x1，x2，…，xn）｜x1，x2，…，xn∈R｝

对于通常的有序数组的加法及如下概念的数乘

k·（x1，x2，…，xn）＝（0,0,…,0）

不组成R上的向量空间，因为1x=0，不知足运算规律（5）.

例5正实数的全部，记作R＋，概念加法、数乘运算为

ab=ab（a,b∈R＋），k·a=ak（k∈R,a∈R+）.

验证R+对上述加法与数乘运算组成R上的线性空间.

证实际上要验证十条.

对加法封锁：

对任意a,b∈R＋，有ab＝ab∈R＋；

对数乘封锁：

对任意k∈R,a∈R＋，有k·a＝ak∈R＋；

（1）ab=ab=ba=ba;

（2）（ab）c＝（ab）c＝（ab）c＝a（bc）＝a（bc）；

（3）R＋中的元素1知足：

a1＝a·1＝a（1叫做R＋的零元素）；

（4）对任何a∈R＋，有aa－１＝a－１＝１（a－1叫做a的负元素）；

（5）1·a＝a1＝a;

（6）k·（λ·a）＝k·（）k＝＝（）·a；

（7）（k+λ）·a=＝==k·aλ·a；

（8）k·（ab）=k·（ab）=（ab）k=akbk=akbk=k·ak·b.

因此，R＋对于上面概念的运算组成R上的线性空间.

下面咱们直接从概念来证明线性空间的一些简单性质.

性质1零元素是惟一的.

假设01，02是线性空间V中的两个零元素，即对任何∈V，有+01=,+02＝，于是特别有

02+01=02,01+02=01,

故01=01+02=02+01=02.

性质2任一元素的负元素是惟一的（的负元素记作-）.

假设有两个负元素与，即＝0，＝0.于是

性质30＝0；（－1）＝－；k0＝0.

因为＋0＝1＋0＝（1+0）＝1＝，

所以0＝0+0＝（－＋）＋0＝－+（＋0）＝－＋＝0

又因为＋（－1）＝1+（－1）=［1+（－1）］＝0＝0，

所以（－1）=0＋（－1）＝（－＋）＋（－1）

＝－＋［＋（－1）］＝－＋0＝－;

而k0=k［＋（－1）］＝k＋（－k）＝［k+（-k）］＝0＝0.

性质4若是k＝0，那么k＝0或＝0.

假设k≠0，那么

＝1＝（·k）=（k）＝0＝0.

在第三章子空间的概念可推行到一般线性空间中.

概念2R上线性空间V的一个非空子集合W若是对于V的两种运算也组成数域R上的线性空间，称W为V的线性子空间（简称子空间）.

一个非空子集要知足什么条件才组成子空间?

因为W是V的一部份，V中运算对W而言，规律

（1），

（2），（5），（6），（7），（8）显然被知足，因此只要W对运算封锁且知足规律（3）（4）即可，但由线性空间的性质3知，若W对运算封锁，则能知足规律（3）（4），因此有

定理1线性空间V的非空子集W组成V的子空间的充分

必要条件是W对于V中的两种运算封锁.

例6在全部实函数组成的线性空间中，所有实系数多项式组成V的一个子空间.

§2维数、基与坐标

在第三章，咱们讨论了n维数组向量之间的关系，介绍了一些重要概念，如线性组合、线性相关与线性无关等，这些概念及有关性质只涉及线性运算，因此，对于一般的线性空间中的元素（向量）仍然适用，以后咱们将直接引用这些概念和性质.基与维数的概念一样适用于一般的线性空间.

概念3在线性空间V中，若是存在

n个元素1,2,…,n，知足：

（1）1,2,…,n线性无关.

（2）V中任一元素都可由1,2,…,n线性表示，那么，1,2,…,n就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数.

维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作Vn.

若是在V中能够找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无穷维的.

若知1,2,…,n为V的一个基，则对任何∈Vn，都有一组有序数x1,x2,…,xn使

=x11+x22+…+xnn，

而且这组数是惟一的（不然1,2,…,n线性相关）.

反之，任给一组有序数x1,x2,…,xn，可惟一肯定Vn中元素

=x11+x22+…+xnn.

如此，Vn的元素与有序数组（x1,x2,…,xn）之间存在着一种一一对应，因此可用这组有序数来表示，于是咱们有

概念4设1,2,…,n是线性空间Vn的一个基，对于任一元素∈Vn，有且仅有一组有序数x1,x2,…,xn使

=x11+x22+…+xnn，

x1,x2,…,xn这组有序数就称为在基1,2,…,n下的坐标，记作

（x1,x2,…,xn）.

例7在线性空间P［x］3中，1＝1，2＝x，3＝x2，4＝x3就是P［x］3的一个基，P［x］3的维数是4，P［x］3中的任一多项式

f（x）＝a3x3+a2x2＋a1x＋a0

可写成f（x）=a34＋a23＋a12＋a01，

因此f（x）在基1，2，3，4下的坐标为（a0，a1，a2，a3）.

易见1＝1，2＝1＋x;3＝2x2，4＝x3也是P［x］3的一个基，而

f（x）=（a0－a1）1＋a12＋2＋a34，

因此f（x）在基1，2，3，4下的坐标为（a0－a1，a1，，a3）.

取定Vn的一个基1,2,…,n，设∈Vn，

＝x11＋x22＋…＋xnn，

＝y11＋y22＋…＋ynn,

于是

=（x1＋y1）1＋（x2＋y2）2＋…＋（xn+yn）n，

k＝（kx1）1＋（kx2）2＋…＋（kxn）n.

即的坐标是

（x1＋y1，x2＋y2，…，xn+yn）＝（x1，x2，…，xn）+（y1，y2，…，yn），k的坐标是

（kx1，kx2，…，kxn）＝k（x1，x2，…，xn）.

总之，在线性空间Vn中取定一个基1,2,…,n，则Vn中的向量与n维数组向量空间Rn中的向量（x1,x2,…,xn）之间有一个一一对应的关系，且那个对应关系维持线性组合的对应，即

设（x1,x2,…,xn）,（y1，y2，…，yn）.则

（1）（x1，x2，…，xn）+（y1，y2，…，yn）；

（2）kk（x1，x2，…，xn）.

由上面所述，咱们能够说Vn与Rn有相同的结构，称Ｖn与Rn同构.

一般地，设V与U是R上的两个线性空间，若是在它们的元素之间有一一对应关系，且那个对应关系维持线性组合的对应，那么就说线性空间V与U同构.

易见，同构关系具有传递性，咱们有

定理2R上的两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等.

同构主如果维持线性运算的对应关系，因此，Vn中的线性运算就可转化为Rn中的线性运算，而且Rn中凡只涉及线性运算的性质都适用于Vn，但Rn中超出线性运算的性质，在Vn中就不必然具有，如内积.

§3基变换与坐标变换

事实上，n维线性空间中，任意n个线性无关的向量都能够取做空间的基，由例7可见，同一元素在不同的基下有不同的坐标，那么，不同基与不同的坐标之间有如何的关系呢?

设1,2,…,n及1,2,…,n是线性空间Vn的两个基，且

式可表为

和称为基变换公式，矩阵C称为由基1,2,…,n到基1,2,…,n的过渡矩阵，C必然是可逆矩阵.

定理3设Vn中的元素在基1,2,…,n下的坐标为（x1，x2，…，xn），在基1,2,…,n下的坐标为，若两个基知足，则有坐标变换公式

证因

而1,2,…,n线性无关，故即有关系式.

例8在例7中，咱们有

故

这与例7所得的结果是一致的.

§4线性变换

概念5设A、B是两非空集合，若是对于A中的任一元素，依照必然的法则，总有B中的一个肯定的元素与之对应，那么那个法则称为从集合A到集合B的映射.若是A＝Ｂ，A到A的映射称为A的变换.

映射常常利用表示，A的变换常常利用T表示.

A到B的映射使B中的与Ａ中的对应，就记

＝（）或＝，

现在，β称为在映射下的像，称为在下的原像，的像的全部组成的集合称为的像集，记作（A），即

（A）＝｛（）｜∈A｝.

映射的概念是函数概念的推行.

例9设A＝R,B＝R＋,（x）＝x2＋３是R到R＋的一个映射，它把x映射到x2＋3，7是-2在下的像.

概念6设U，V是R上的两个线性空间，是V到U上的一个映射，若是知足

（1），∈V,（+）＝（）+（）；

（2）k∈R，∈V，（k）=k（），

那么，就称为V到U的线性映射.

当V＝U时，V到U的线性映射称为V的线性变换.

例10在线性空间P［x］３中，微分运算D是一个线性变换.

因

D［f（x）＋g（x）］＝［f（x）+g（x）］′＝f′（x）+g′（x）＝Df（x）+Dg（x），

故D［kf（x）］=［kf（x）］′＝kf′（x）＝kDf（x）.

例11由关系式

肯定xOy平面上的一个线性变换，T把任一贯量按逆时针方向旋转角.

例12在线性空间R3中，变换

Ｔ（）=+（1,0,0）,∈R3.

验证T不是R3的线性变换.

因

T（0）＝Ｔ（0）=（0,0,0）+（1,0,0）≠0=0·T（）.

线性变换具有下述性质：

（1）T（0）＝0,T（-）＝－T（）；

（2）若＝k11＋k22＋…＋kmm,则

T＝k1Ｔ1＋k2T2＋…＋kmTm;

（3）若1,2,…,m线性相关，则T1,T2,…,Tm也线性相关.

只证T（0）＝0，其余请读者自证.

因T（0）＝T（0·0）＝0·T（0）＝0.

（4）线性变换T的像集是V的子空间，称为T的像空间.

证设1，2∈T（V），那么，存在1，2∈V使

1＝T1，2＝Ｔ2，

从而

（因1，2∈V）；

（因k1∈V）.

因此，T（V）是V的子空间.

（5