函数难点抽象函数综合.docx
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函数难点抽象函数综合
高考抽象函数综合
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是
中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：
一.求某些特殊值
这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。
其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。
例1定义在R上的函数f（x）满足：
f（x）f（4x）且f（2x）f（x2）0,求
f（2000）的值。
解：
由f（2x）f（x2）0，
以tx2代入，有f（t）f（t），f（x）为奇函数且有f（0）0
又由f（x4）f[4（x）]
f（x）
f（x）
f（x8）
f（x4）
f（x）
故f（x）是周期为8的周期函数，
f（2000）f（0）0
f（y），且当x0时,
例2已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（xy）f（x）
f（x）0，f
（1）2，求f（x）在［2，1］上的值域。
解：
设
x1
x2
且x1，
x2
R，
则x2
x1
0，
由条件当x0时，f（x）0
f（X2Xi）0
又f（X2）f[（X2Xi）Xi]
f（X2Xi）f（Xi）f（Xi）
f（x）为增函数，
令yX，则f（0）f（x）f（x）
又令xy0
得f（0）0
f（x）f（x），
故f（x）为奇函数，
f（i）f（i）2，f
（2）2f（i）4
f（x）在[2，i]上的值域为[4,2]
二.求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的
增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例3已知f（X）是定义在（i，i）上的偶函数，且在（0，i）上为增函数，满足
f（a2）f（4a2）0，试确定a的取值范围。
解：
f（x）是偶函数，且在（0，i）上是增函数，
f（x）在（i，0）上是减函数，
ia2i
由2得3a,5。
i4a2i
（i）当a2时，
f（a2）f（4a2）f（0），不等式不成立。
（2）当,3a2时,
f（a2）f（4a2）
1a20
f（a2
4）
1a240
a2a24
解之得，
3
a2
（3）当2
a
5时，
f（a2）f（4a2）
0a21
f（a24）0a241
a2a24
解之得，2a5
综上所述，所求a的取值范围是（：
3,2）（2,.5）。
例4已知
f（x）是定义在（，
1］上的减函数，若f（m2sinx）f（m1cos2x）
对xR恒成立,
2
m
求实数m的取值范围。
解:
sinx3
2
1cos
sinx
1cos2x
R恒成立
2m
2m
sinx
sinx
cos2
R恒成立
3sinx
m1sinx
2
cosx
（sinx
R恒成立,
为所求。
三.解不等式
这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值,数符号“f”，转化为代数不等式求解。
再通过函数的单调性去掉函
例5已知函数f（x）对任意x,yR有f（x）f（y）2f（xy），当x0时,
f（x）
2,f
（3）
5,求不等式
2
f（a2a2）3的解集
解
:
设x1>
x2
R且x1x2
则
x2x1
0
f（X2
xj
2,
即
f（X2
xj
20,
f（X2）
f[（
X2xjxj
f（X2
xj
f（xj2
f（xj
f（X2）f（xj
又f（3）f（2
1）
f
（2）f
（1）23f
（1）45
f
（1）3
f（a22a
2）
3f
（1），
即a22a2
1
1a3
因此不等式f（a
2
2a2）3的解集为
a|1a3
故f（x）为增函数,
四•证明某些问题
例6设f（x）定义在R上且对任意的x有f（x）
f（x1）f（x2），求证：
f（x）是
周期函数，并找出它的一个周期。
分析：
这同样是没有给出函数表达式的抽象函数,
其一般解法是根据所给关系式进行递
推，若能得出f（xT）f（x）（T为非零常数）则f（x）为周期函数，且周期为To
证明：
f（x）f（x1）f（x2）
（1）
f（x1）f（x2）f（x3）
（2）
（1）
（2）得f（x）f（x3）（3）
由（3）得f（x3）f（x6）（4）
由（3）和（4）得f（x）f（x6）。
上式对任意xR都成立，因此f（x）是周期函数，且周期为6。
0时,
例7已知f（x）对一切x，y，满足f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且当x
f（x）1，求证：
（1）x0时，0f（x）1；
（2）f（x）在R上为减函数。
证明：
对一切x，yR有f（xy）f（x）f（y）。
且f（0）0，令xy0,得f（0）1，
现设x0，则x0，f（x）1，
而f（0）f（x）f（x）1
f（
X）
1
f（X）
1
0
f（x）
1，
设x1，
X2
R且x1
X
则0
f（X2
X1）
1
f（X2）f[（X2xjX』
f（X2xjf（xjf（xj
f（xjf（X2），
即f（x）为减函数。
五•综合问题求解
抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高,
题时需把握好如下三点：
一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符
“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f”。
n，有
例8设函数yf（x）定义在R上，当x0时，f（x）1，且对任意m,
f（mn）f（m）f（n），当mn时f（m）f（n）。
（1）证明f（0）1；
（2）证明：
f（x）在R上是增函数;
f
（1）,
（3）设A（x,y）|f（x2）f（y2）
a,b,c满足的条件。
f（0）
1。
（2）设x1
X2，则X2X1
0,由已知得
f（X2
X1）1,因为X10,f（X1）1
若x10时，
X10,f（X1）
1，由f（0）
f（X1）
f（X1）
f（X1）
10
f（X1）
f（X2）
f（X2X1）f（X1）
f（X1）
f（x）在R上为增函数。
（3）由f
（X2）f（y2）f
（1）得X2y2
1
（1）
由f（ax
byc）1得ax
byc0
（2）
矛盾,
c2
b2
从
（1）、
（2）中消去y得（a2b2）x2
（2ac）24（a2b2）（c2b2）
即a2b2c2
f（x）f（y）性），
（2）当x（1,0）时，有f（x）0,
（1）试判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）的单调性；
1111
（3）求证f（）f（）…f
（2）f（）°
511n3n12
分析：
这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础
去研究数列求和的综合题。
解：
（1）对条件中的x,y，令xy0，再令yx可得
f（0）
f（0）
f（0）
f（0）0
，所以f（X）是奇函数。
f（x）
f（
x）
0
f（x）
f（x）
（2）设
1
X1
X20,
则f（X1）
f（X2）
f（X1）
X1x2
f（X2）f（12）
1X1X2
x1x
2
0,
0x1x2
1,
x1x2x1x2
—-0,由条件
（2）知f（—1-）0,从而有f（xjf（X2）0,即
1x1x21x1x2
仍是单调减函数。
（3）
1f（—）n23n1
f（）
（n1）（n2）1
1_
fn1（n2）
11
1（）（）n1n2
1）
1
f（—n
抽象函数问题分类解析
我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。
近年来抽象函数问题频频出现于各类
考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。
本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。
1.求定义域
这类问题只要紧紧抓住：
将函数f［g（x）］中的g（x）看作一个整体，相当于f（x）中的x
这一特性，问题就会迎刃而解。
例1.函数yf（x）的定义域为（，1］，则函数yf［log2（x22）］的定义域是—。
2
分析：
因为Iog2（x2）相当于f（x）中的x，所以Iog2（x2）1，解得
2x2或2x2。
0xa1ax1a
故f（x）是偶函数。
例4.若函数yf（x）（f（x）0）与yf（x）的图象关于原点对称，求证：
函数
yf（x）是偶函数。
证明：
设yf（x）图象上任意一点为P（X。
，yo）
yf（x）与yf（x）的图象关于原点对称，
P（x0，y0）关于原点的对称点（x0，y0）在yf（x）的图象上，
yof（xo）
yof（X。
）
又yof（xo）
f（Xo）f（xo）
即对于函数定义域上的任意x都有f（x）f（x），所以yf（x）是偶函数。
3.判断单调性
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例5.如果奇函数f（x）在区间［3,7］上是增函数且有最小值为5，那么f（x）在区间
数，证明如下:
任取X!
x20
又f（x）是偶函数，所以
例7.设函数f（X）的定义域为R,且对任意的x，y有
f（xy）f（xy）2f（x）f（y），并存在正实数c，使f（C）0。
试问f（x）是否为周
2
期函数？
若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。
分析：
仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：
ycosx满足题设条件，且
f[（xC）
2f（xC）
f（x2c）
ccccc
-]f[（x-
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