∴ m<0，n>0，从而，．
方程的判别式：
，故方程必有两实根．
设这两个实根为，，则由根与系数关系得
，，可知，均为负数，故选（A）．
题2 （1997·上海） 若a和b是方程的两个实根，c和d是方程的两个实根，e和f是方程的两个实根，则的值为_____________．
分析 由已知可得ab＝3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，将（a-c）（b-c）（a+d）（b+d）展开，把上列数值代入，可得所求值．但若全部展开，结果很繁，因此考虑局部展开，分步代入．
解 由方程根与系数关系得
ab=3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，则
题3 （1996·祖冲之杯） 已知α，β是方程的两根，α>β，不解方程，求的值．
分析 待求式中α，β是不对称的，但根与系数的关系具有对称性，应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题．
解 由根与系数的关系得α+β=7，αβ＝8，
∴ ，
．
因α>β，故，．
记，令，从而
，
∴ ．
题4 （2000·） 已知，，其中m，n为实数，则__________.
分析 根据两个方程系数的特点，可作恰当的变形，使两个方程具有相同的结构．把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程，然后用根与系数关系来求值．
解 由已知等式可变形成
与，
由于m，的关系没有给定，故应分两种情况：
①当时，；
②当时，可知m，是方程的两个根，则由根与系数关系
得，．
∴ ．
综合①，②得或.
题5 （1996·） 设的两个实根为α，β，
（1）求以，为根的一元二次方程；
（2）若以，为根的一元二次方程仍是，求所有这样的一元二次方程．
分析 根据方程根与系数关系求和的值，由此即可作出新方程；根据新方程的一次项系数等于-p，常数项等于q，可求得p，q的值．
解
（1）由根与系数关系得α+β＝p，αβ＝q，∴ ，．所求方程是；
（2）由题意得
则
根据七种情况的值依次得以下七个方程：
，，，，，，．
其中仅无实数根，舍去.
故所有这样的一元二次方程有六个，分别为：
，，，，，．
题6 （2000·全国） 设关于x的二次方程
的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．
分析 根据方程系数的特点，可先用十字相乘法求出方程两根，然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后，再求出是的值．
解 原方程可化为
．
∵（k-4）（k-2）≠0，∴解得方程两根为
，
∴ ，，
消去k，得，∴ ．
由于，都是整数，故
对应的k的值分别为6，3，．
【方法指引】
1．构造对偶式法．对一个已知代数式或一个已知命题，我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题，然后一起参与运算（通常是加、减、乘、除），从而使问题获得巧解．这种方法称为构造对偶式法．常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等．
2．解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：
（1）直接求解法．若根可用有理式表示，则先求出根，再结合整除性求解．
（2）利用判别式法．在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的围，运用枚举法讨论，不等式分析求解．
（3）运用根与系数的关系．由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解．
（4）巧换主元法．若运用相关方法直接求解困难时，可选择换主元的方法，结合整除知识求解．
【综合能力训练】
1．△ABC的一边长为5，另两边长恰好是方程的两根，那么m的取值围是________________．
2．设，是方程的两实根，且，则k的值是 （ ）
（A）-3或1 （B）-3
（C）1 （D）不小于的一切实数
3．若方程的两根为α，β，它也是方程的两个根，则 p=_____________．
4．若ab≠1，且有，及，则的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA和sinB是方程的两根，求∠A和∠B的度数及k的值．
6．求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程的根都是整数。
参考答案
【综合能力训练】
1．设另外两边长为a、b，则，，因为a，b是实数，所以，即，∴.
由三角形两边之差小于第三边，有
，
，
∴ ，故m的取值围为。
2．由根与系数关系得 ，，而
由题意得，解得，。
而当时，，无实数根，舍去；当时，方程的两个实数根为1和3。
故选（C）。
3．由是方程的两根得
，，
∴ .
由是方程的两根，得
，。
两式相减，得 。
4．原式可变形为，
，又即，
∴a，是方程的两根。
∴，即.
故选（A）。
5．由根与系数关系，得
∵∠A+∠B=90°，∴。
于是有
由①式两边平方，得。
③
由②、③式知.
又由①、③式可得，是方程的两根，则有，即，故∠A=∠B=45°。
6．
（1）若k=0，则方程为，解得符合题意；
（2）若，设方程的两个整数根为，（），则有
①-②得，。
∴
∴ 或，
∴ ，，
或，k=1。
又当或k=1时，判别式均可得到，∴或k=1。
综上所述，满足条件的所有k的值有三个，分别为k=0，或1。
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