解得：
力=（尹一羽小（1—半）
（2）设改变入射速度后粒子在磁场中的轨迹半径为儿洛伦兹力提供向心力，则有
V2V-
nι~=qvB,r?
?
yr=qvfB»
由题意知37∙sιn30。
=4”Sm30。
，
解得粒子速度的最小变化量∆v=v-√=^（j-^
（3）设粒子经过上方磁场"次
由题意知Z=（2"+2）dcos30。
+（2“+2加Sm30°
且磴^=QnB,解得巾=警（占^—也小（1一1,〃取整数）
【答案】（I）（IZ-√⅛（1-半）
（2）警《一富O（3）竽ς±-√⅛gv警一1,“取整数）
【例题】（2016∙浙江深化课程改革协作校联考）如图所示，任空间中有一坐标系0小，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域【和II，直线OP是它们的边界。
区域I中的磁感应强度为
B.方向垂直纸而向外：
区域II中的磁感应强度为2B.方向垂直纸而向里。
边界上的P点坐标为（4Z,3Z）α一质量为加、电荷量为Q的带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域
I,经过一段时间后，粒子恰好经过原点Oo忽略粒子重力，已知SIn37o=0.6,cos37。
=
0.8。
则下列说法中正确的是（
A.该粒子一圧沿y轴正方向从O点射出
B.该粒子射出时与y轴正方向夹角可能是74。
C.该粒子在磁场中运动的最短时间『=寻箭
D.该粒子运动的可能速度为v=¾^（h=1,2,3…）
【解析】粒子进入磁场中受到洛伦兹力而做匀速圆周运动，对于直线边界，考虑轨迹圆的对称性，粒子进入磁场与离开磁场时速度方向与边界的夹角相等，故粒子不可能从I区到达O3
点，故一左是从Il区到达O点：
画出可能的轨迹如图所示，有tanα=辽=0.75,得a=37。
，a+0=9O。
，故该粒子一左沿y轴负方向从O点射岀，故A、B错误：
设粒子的入射速度为V.用凡、R2、门、E分别表示粒子在磁场I区和II区中运动的轨道半径和周期，贝IhqvB
2SCv2八"EiHl八CIZF27i^ι2πnιF2πR∙>πnι.λ...
="瓦，少（站）="応，得R∖=2R2,周期分别为：
Γι=-τι~~~V^~~qB,粒子先在磁场I区中做顺时针的圆周运动，后在磁场1【区中做逆时针的圆周运动，然后从O点射出，这样粒子从P点运动到O点所用的时间最短，粒子在磁场I区和II区中的运动时间分别为"=券几∕2=^γ2,粒子从P点运动到O点的时间至少为：
『="+“，由以上各式解得：
『=譏，故C错误；粒子的速度大小满足一左条件时，粒子先在磁场I区中运动，后在磁场II区中运动，然后又重复前而的运动，直到经过原点O,这样粒子经过“个周期性的运动到过O点，每个周期的运动情况相同，粒子在一个周期内的位移为S=乎=寮”=1、
D2
2、3,…），粒子每次在磁场I区中运动的位移为：
s】=乔士S=亍s,由图中几何关系可知：
£1
£=COSa=O.8,而RI=鲁,由以上各式解得粒子的速度大小为：
V=弯I（H=1、2、3,…）
故D正确°
【答案】D
【变式］（2017∙湖北八校高三二次联考）真空中存在一中空的柱形圆筒，如图是它的一个截面,“、b、C为此截而上的三个小孔，三小孔在圆形截面上均匀分布，圆筒半径为在圆简的外部空间存在着匀强磁场，磁感应强度大小为B,其方向与圆简的轴线平行，在图中垂直于纸而向内。
现在“处向圆筒内发射一个带正电的粒子，英质量为加，带电荷量为©使粒子在图所在平面内运动，设粒子只受磁场力的作用，粒子碰到圆筒即会被吸收。
（1）若要粒子发射后在以后的运动中始终不会碰到圆筒，则粒子的初速度的大小和方向有何要求？
⑵若在圆筒内的区域中还存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小也为B则为使粒子以后都不会碰到圆筒，粒子的初速度大小和方向有何要求？
【解析】
（1）如图，粒子离开d后先在筒内做直线运动，再由b点岀筒在磁场中做圆周运动，则只能从C点再次进入圆简，沿直线"运动从α点岀简。
轨迹側
因为"、“为轨迹圆的切线，所以轨迹圆的半径Oc、02分别与“、Qb垂直。
由几何关系不难得出：
ZOIaC=ZOIab=30%
因此：
ZaOlC=Zdo2=60。
°
轨迹圆半径Oia、Oe的长度∕∙=R,
粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得
v2
Bqv=nι~.①
可得初速度大小V=警=警。
因为粒子进行α∙→lc->α的循环，所以从α点出发时的速度方向应由α指向b方向。
・a
（2）如图所示描绘了粒子由α出发在简内在圆Oi上做圆周运动，从b出简再在圆6上做圆周运动从C进筒的路径。
因为粒子速度不变，筒内、外的磁感应强度大小相同，所以由①可知圆0】和圆6的半径大小相等。
粒子速度始终与轨迹相切，所以圆6和圆应在b点相外切，由a、C两点关于Ob对称，可知圆Oi与圆02应该关于Ob对称，Ob即为此二圆的公切线。
由几何关系不难得岀：
ZO2OZ>=60oo
圆Oi及圆O2的半径r=√3^a
又由①式可得粒子的速度大小V=警="警。
其在α点的方向只能指向O点。
【答案】（1證^，方向由α指向bQ护,方向从α指向圆心O
【巩固习题】
1.（2018湖南省怀化市高三联考）一绝缘圆筒上有一小孔，筒内有方向沿圆筒轴线的匀强磁场,磁感应强度大小为3整个装置的横截而如图所示.一质疑为加、带电量为G的小球（重力不让）沿孔半径方向射入筒内，小球与筒壁碰撞“次后恰好又从小孔穿出.小球每次与筒壁碰撞后均以原速率弹回，且碰撞过程中小球的电荷量不变.已知小球在磁场中运动的总时间&器，则“可能等（）
A.2B.3
C.4D.5
AC[粒子在磁场中的周期为T=第，而小球在磁场中运动的总时间r=≡=∣Γ可知，粒子在磁场中做圆周运动的总圆弧所对的圆心角为180。
；若π=2,即粒子与圆筒碰撞2次，分别对应三段圆弧，每段圆弧所对的圆心角为60。
，则总圆心角为180。
，则选项A正确：
若“=3,即粒子与圆筒碰撞3次，分别对应四段圆孤，每段圆弧所对的圆心角为90。
，则总圆心角为360。
，则选项B错误；若7/=4,即粒子与圆筒碰撞4次，则可能每次碰撞对应的圆弧所对的圆心角为36。
（对应着圆筒上的圆心角为144°）,则总圆心角为5好6。
=180。
，贝燧项C正确；若“=5,即粒子与圆简碰撞5次，分别对应6段圆弧，每段圆弧所对的圆心角为120°,则总圆心角为72。
则选项D错误;故选A、C.]
2.（2017湖北宜昌三模）如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、C和乩外筒的外半径为八在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感应强度的大小为在两极间加上电压，使两圆简之间的区域内有沿半径向外的电场。
一质量为加、带电荷量为+g的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。
如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到岀发点S,设两电极之间的电压大小为M贝IK）
×Xσ×X×
XΛsΓ∖×X
D.U=
【解析】粒子在两电极间加速，由动能左理得：
qU=^∏lv2-Q,粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二泄律得：
qvB=nf,粒子从S点出发，经过一段时间后再回到S点，粒子的运动轨迹如图所示，由几何知识可知，粒子从d到d必经过扌圆周，粒子轨道半径：
R=r,解得：
U=竽,故A正确。
【答案】A
3.（2018•安徽六安一中一模）如图，xQv平而的一、二、三象限内存在垂直纸而向外，磁感应强度B=IT的匀强磁场，ON为处于y轴负方向的弹性绝缘薄挡板，长度为9m,M点为X轴正方向上一点，OM=3m,现有一个比荷大小为盒=1.0C∕kg,可视为质点的带正电小球（重力不讣），从挡板下端N处小孔以不同的速度向X轴负方向射入磁场，若与挡板相碰后以原速率禅回，且碰撞时间不计，碰撞时电荷量不变，小球最后都能经过M点，则小球射入的速度大小可能是（）
A.3m⅛
C・4m's
ABD［由题意，小球运动的圆心的位垃一泄在轴上，所以小球做圆周运动的半径厂一左要大于等于3m,而9m<3r,所以小球最多与挡板CW碰撞一次，碰撞后，第二个圆心的位置在O点的上方，也可能小球与挡板ON没有碰撞，直接过M点.由于洛伦兹力提供向心力，所以：
qvB=nιy:
得：
v=¾r⑪若小球与挡板ON碰撞一次，则轨迹可能
如图b设Oo∙=s,由几何关系得：
7=OAf+s2=9+s2②，3r-9=s③，联立②③得：
n=3m：
7-2=3.75m>分别代入①得
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