坐标轮换法汇总.docx

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坐标轮换法汇总

4.7坐标轮换法

1.基本思想：

每次以一个变量坐标轴作为搜索方向，将n维的优化问题转化为一维搜索问题。

例，第k轮迭代的第i次搜索，是固定除xi外的n-1个变量，沿xi变量坐标轴作一维搜索，求得极值点xi（k）…n次搜索后获得极值点序列x1（k）,x2（k）,…,xn（k），若未收敛，则开始第k+1次迭代，直至收敛到最优点x*。

2.搜索方向与步长：

3.方法评价：

方法简单，容易实现。

当维数增加时，效率明显下降。

收敛慢，以振荡方式逼近最优点。

受目标函数的性态影响很大。

如图a）所示，二次就收敛到极值点；

如图b）所示，多次迭代后逼近极值点；

如图c）所示，目标函数等值线出现山脊（或称陡谷），若搜索到A点，再沿两个坐标轴，以±t0步长测试，目标函数值均上升，计算机判断A点为最优点。

事实上发生错误。

4.8Poweel法

1.基本思想：

若沿连接相邻两轮搜索末端的向量S方向搜索，收敛速度加快。

其中：

S=x2

（2）-x2

（1）

因为两条平行线S1,S2与同心椭圆族相切，两个切点的连线S直指中心。

称S1,S2与S为共轭方向。

目的：

以共轭方向打破振荡，加速收敛。

2.共轭方向：

3.共轭方向的性质：

4.步骤：

5.说明：

若是正定二次函数，n轮迭代后收敛于最优点x*。

若是非正定二次函数，则迭代次数增加。

若是n维问题，步骤相同。

搜索方向：

第一轮迭代，沿初始方向组Si

（1）（i=1,2,…,n）的n个方向和共轭方向S

（1），搜索n+1次得极值点xn+1

（1）；第二轮迭代，沿方向组Si

（2）（i=1,2,…,n；i≠m）的n-1个方向和共轭方向S

（1），构筑共轭方向S

（2）搜索n+1次得极值点xn+1

（2）。

其中，为保证搜索方向的线性无关，去除了Sm

（2）方向。

在第k轮迭代中，为避免产生线性相关或近似线性相关，需要去除前一轮中的某个方向Sm（k）。

6.方法评价：

计算步骤复杂;

是二次收敛方法，收敛快。

对非正定函数，也很有效;

是比较稳定的方法。

第六章约束优化方法

第一节概述

一.有约束问题解法分类：

直接解法：

随机方向搜索法、复合形法、可行方向法

间接解法：

内点惩罚函数法、外点惩罚函数法、混合惩罚函数法

二.直接解法的基本思想：

合理选择初始点，确定搜索方向，以迭代公式x（k+1）=x（k）+α（k）S（k）在可行域中寻优，经过若干次迭代，收敛至最优点。

收敛条件：

边界点的收敛条件应该符合K-T条件；

内点的收敛条件为：

特点：

①　在可行域内进行；

②若可行域是凸集，目标函数是定义在凸集上的凸函数，则收敛到全局最优点；否则，结果与初始点有关。

有解的条件：

①f（x）和g（x）都连续可微；

②存在一个有界的可行域；

③可行域为非空集；

④迭代要有目标函数的下降性和设计变量的可行性。

1.基本思想：

每次以一个变量坐标轴作为搜索方向，将n维的优化问题转化为一维搜索问题。

例，第k轮迭代的第i次搜索，是固定除xi外的n-1个变量，沿xi变量坐标轴作一维搜索，求得极值点xi（k）…n次搜索后获得极值点序列x1（k）,x2（k）,…,xn（k），若未收敛，则开始第k+1次迭代，直至收敛到最优点x*。

2.搜索方向与步长：

3.方法评价：

方法简单，容易实现。

当维数增加时，效率明显下降。

收敛慢，以振荡方式逼近最优点。

受目标函数的性态影响很大。

如图a）所示，二次就收敛到极值点；

如图b）所示，多次迭代后逼近极值点；

如图c）所示，目标函数等值线出现山脊（或称陡谷），若搜索到A点，再沿两个坐标轴，以±t0步长测试，目标函数值均上升，计算机判断A点为最优点。

事实上发生错误。

4.8Poweel法

1.基本思想：

若沿连接相邻两轮搜索末端的向量S方向搜索，收敛速度加快。

其中：

S=x2

（2）-x2

（1）

因为两条平行线S1,S2与同心椭圆族相切，两个切点的连线S直指中心。

称S1,S2与S为共轭方向。

目的：

以共轭方向打破振荡，加速收敛。

2.共轭方向：

3.共轭方向的性质：

4.步骤：

5.说明：

若是正定二次函数，n轮迭代后收敛于最优点x*。

若是非正定二次函数，则迭代次数增加。

若是n维问题，步骤相同。

搜索方向：

第一轮迭代，沿初始方向组Si

（1）（i=1,2,…,n）的n个方向和共轭方向S

（1），搜索n+1次得极值点xn+1

（1）；第二轮迭代，沿方向组Si

（2）（i=1,2,…,n；i≠m）的n-1个方向和共轭方向S

（1），构筑共轭方向S

（2）搜索n+1次得极值点xn+1

（2）。

其中，为保证搜索方向的线性无关，去除了Sm

（2）方向。

在第k轮迭代中，为避免产生线性相关或近似线性相关，需要去除前一轮中的某个方向Sm（k）。

6.方法评价：

计算步骤复杂;

是二次收敛方法，收敛快。

对非正定函数，也很有效;

是比较稳定的方法。