高考第二轮复习理数专题二十三不等式选讲.docx

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高考第二轮复习理数专题二十三不等式选讲

2017年高考第二轮复习：

（理数）专题二十三不等式选讲

1．（2015·山东，5，易）不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是（　　）

A．（－∞，4）B．（－∞，1）C．（1，4）D．（1，5）

1．A　由|x－1|－|x－5|<2

⇒

或

或

⇒x<1或1≤x<4或∅⇒x<4.故选A.

2．（2012·陕西，15A，易）若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．

2．【解析】　方法一：

不等式|x－a|＋|x－1|≤3表示数轴上的点x到点a和点1的距离之和小于等于3.

因为数轴上的点x到点a和点1的距离之和最小时，即点x在点a和点1之间时，此时距离之和为|a－1|，

要使不等式|x－a|＋|x－1|≤3有解，则|a－1|≤3，

解得－2≤a≤4.

方法二：

因为存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，

所以（|x－a|＋|x－1|）min≤3.

又|x－a|＋|x－1|≥|x－a－（x－1）|＝|a－1|，

所以|a－1|≤3，

解得－2≤a≤4.

【答案】　[－2，4]

3．（2016·课标Ⅰ，24，10分，中）已知函数f（x）＝|x＋1|－|2x－3|.

（1）画出y＝f（x）的图象；

（2）求不等式|f（x）|>1的解集．

3．解：

（1）f（x）＝

y＝f（x）的图象如图所示．

（2）由f（x）的表达式及图象，

当f（x）＝1时，可得x＝1或x＝3；

当f（x）＝－1时，可得x＝或x＝5，

故f（x）>1的解集为{x|1

f（x）<－1的解集为.

所以|f（x）|>1的解集为.

4．（2016·课标Ⅲ，24，10分，中）已知函数f（x）＝|2x－a|＋a.

（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；

（2）设函数g（x）＝|2x－1|.当x∈R时，f（x）＋g（x）≥3，求a的取值范围．

4．解：

（1）当a＝2时，f（x）＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f（x）≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．

（2）当x∈R时，f（x）＋g（x）＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.

所以当x∈R时，f（x）＋g（x）≥3等价于|1－a|＋a≥3.

当a≤1时，上式等价于1－a＋a≥3，无解．

当a>1时，上式等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞）．

5．（2015·江苏，21D，10分，易）解不等式x＋|2x＋3|≥2.

5．解：

原不等式可化为或

解得x≤－5或x≥－.

综上，原不等式的解集是{x|x≤－5或x≥－}．

6．（2014·课标Ⅱ，24，10分，中）设函数f（x）＝＋|x－a|（a>0）．

（1）证明：

f（x）≥2；

（2）若f（3）<5，求a的取值范围．

6．解：

（1）证明：

由a>0，得f（x）＝＋≥

＝＋a≥2，

所以f（x）≥2.

（2）f（3）＝＋|3－a|.

当a>3时，f（3）＝a＋，

由f（3）<5得3

当0

由f（3）<5得

综上，a的取值范围是.

7．（2013·福建，21（3），7分，中）设不等式|x－2|

（1）求a的值；

（2）求函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．

7．解：

（1）因为∈A，且∉A，

所以|－2|

解得

又因为a∈N*，所以a＝1.

（2）因为f（x）＝|x＋1|＋|x－2|≥|（x＋1）－（x－2）|＝3，

当且仅当（x＋1）（x－2）≤0，即－1≤x≤2时取到等号，所以f（x）的最小值为3.

8．（2012·辽宁，24，10分，中）已知f（x）＝|ax＋1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．

（1）求a的值；

（2）若≤k恒成立，求k的取值范围．

8．解：

（1）由|ax＋1|≤3得，－4≤ax≤2.

又f（x）≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，

所以当a≤0时，不合题意．

当a>0时，－≤x≤，得a＝2.

（2）记h（x）＝f（x）－2f＝|2x＋1|－2|x＋1|，

则h（x）＝

所以当x≤－1时，h（x）＝1；

当－1

当x≥－时，h（x）＝－1.

所以|h（x）|≤1，因此k≥1.

绝对值不等式是对必修5中“不等式”的补充和深化，属选学选考内容，高考中以解答题形式出现，考查的重点是绝对值不等式的解法和性质的运用，属中等难度题目．

在复习中掌握绝对值的几何意义，把握好解绝对值不等式的指导思想，即去掉绝对值是复习的关键．

1（2013·辽宁，24，10分）已知函数f（x）＝|x－a|，其中a>1.

（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4－|x－4|的解集；

（2）已知关于x的不等式|f（2x＋a）－2f（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．

【解析】　

（1）当a＝2时，

f（x）＋|x－4|＝|x－2|＋|x－4|＝

当x≤2时，由f（x）≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；

当2

当x≥4时，由f（x）≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5，

所以f（x）≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．

（2）记h（x）＝f（2x＋a）－2f（x）＝|2x|－2|x－a|，

则h（x）＝

由|h（x）|≤2，又a>1，所以|4x－2a|≤2，解得≤x≤.

又已知|h（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，

所以解得a＝3.

解绝对值不等式的关键是去掉绝对值，要注意分类讨论思想的运用．解题

（1）时将不等式转化为f（x）＋|x－4|≥4后，利用零点分段法去绝对值，运用分类讨论的思想，确定不等式的解集；解题

（2）的关键是构造辅助函数h（x）＝f（2x＋a）－2f（x）进行求解．

（2015·课标Ⅰ，24，10分）已知函数f（x）＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）>1的解集；

（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．

解：

（1）当a＝1时，f（x）>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.

当x≤－1时，不等式化为x－4>0，

即x＞4，无解；

当－10，解得

当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.

综上，f（x）>1的解集为.

（2）由题设可得，

f（x）＝

所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B（2a＋1，0），C（a，a＋1），△ABC的面积为（a＋1）2.

由题设得（a＋1）2>6，故a>2.

所以a的取值范围为（2，＋∞）．

含绝对值不等式的常用解法

（1）基本性质法：

对a∈R＋，|x|＜a⇔－a＜x＜a，|x|＞a⇔x＜－a或x＞a.

（2）平方法：

两边平方去掉绝对值符号．

（3）零点分区间法：

含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解．

（4）几何法：

利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．

（5）数形结合法：

在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．

含参数的绝对值不等式问题多考查恒成立、存在性、参数范围问题．此类问题多可转化为最值问题，以解答题的形式考查．

2（2013·课标Ⅰ，24，10分）已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3.

（1）当a＝－2时，求不等式f（x）

（2）设a>－1，且当x∈时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

【解析】　

（1）当a＝－2时，不等式f（x）

设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，

则y＝

其图象如图所示．

从图象可知，当且仅当x∈（0，2）时，y<0.

所以原不等式的解集是{x|0

（2）当x∈时，f（x）＝1＋a.

不等式f（x）≤g（x）化为1＋a≤x＋3.

所以x≥a－2对x∈都成立．

故－≥a－2，即a≤.

从而a的取值范围是.

解题

（1）的关键是将f（x）＜g（x）转化为分段函数，画出函数图象来求解；解题

（2）时应注意x∈时，绝对值可以直接去掉．

（2016·河南洛阳质检，23，10分）设函数f（x）＝|x－a|＋x.

（1）当a＝2时，求函数f（x）的值域；

（2）若g（x）＝|x＋1|，求不等式g（x）－2>x－f（x）恒成立时a的取值范围．

解：

（1）由题意得，当a＝2时，

f（x）＝

∵f（x）在（2，＋∞）上单调递增，

∴f（x）的值域为[2，＋∞）．

（2）由g（x）＝|x＋1|，不等式g（x）－2>x－f（x）恒成立，

有|x＋1|＋|x－a|>2恒成立，

即（|x＋1|＋|x－a|）min>2.

而|x＋1|＋|x－a|≥|（x＋1）－（x－a）|＝|1＋a|，

∴|1＋a|>2，解得a>1或a<－3.

不等式恒成立时求参数范围问题的解法

（1）分离参数法：

运用“f（x）≤a恒成立⇔f（x）max≤a，f（x）≥a恒成立⇔f（x）min≥a”可解决恒成立中的参数取值范围问题．

（2）更换主元法：

对于不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．

（3）数形结合法：

在研究曲线交点的恒成立问题时数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维的优势，可直接解决问题．

1．（2016·山西大同质检，24，10分）已知函数f（x）＝|2x－1|＋|x－2a|.

（1）当a＝1时，求f（x）≤3的解集；

（2）当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围．

1．解：

（1）当a＝1时，由f（x）≤3，可得|2x－1|＋|x－2|≤3，

∴①或②或③

解①得0≤x＜，解②得≤x＜2，解③得x＝2.

综上可得，0≤x≤2，即不等式的解集为[0，2]．

（2）∵当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立，

即|x－2a|≤3－|2x－1|＝4－2x，

故2x－4≤2a－x≤4－2x，

即3x－4≤2a≤4－x.

再根据3x－4在x∈[1，2]上的最大值为6－4＝2，4－x的最小值为4－2＝2，

∴2a＝2，∴a＝1，

即a的取值范围为{1}．

2．（2016·河南开封二模，24，10分）已知函数f（x）＝|2x＋1|＋|2x－3|.

（1）求不等式f（x）≤6的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）<|a－1|的解集不是空集，求实数a的取值范围．

2．解：

（1）原不等式等价于

或或

解得

∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．

（2）∵f（x）＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|（2x＋1）－（2x－3）|＝4，

∴|a－1|>4，∴a<－3或a>5，

∴实数a的取值范围为（－∞，－3）∪（5，＋∞）．

3．（2015·福建泉州模拟，21（3），7分）已知函数f（x）＝|x＋3|－|x－2|.

（1）求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若f（x）≥|a－4|有解，求a的取值范围．

3．解：

（1）f（x）＝|x＋3|－|x－2|≥3，

当x≥2时，有x＋3－（x－2）≥3，解得x≥2；

当x