单个一次函数图象的应用公开课获奖教案.docx

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单个一次函数图象的应用公开课获奖教案

4.4一次函数的应用

第2课时单个一次函数图象的应用

第一环节：

情境引入

内容：

一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系,如图所示,结合图象回答下列问题.

（1）农民自带的零钱是多少?

（2）试求降价前y与x之间的关系

（3）由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?

（4）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱（含备用零钱）是26元,试问他一共带了多少千克土豆?

意图：

通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。

效果：

由于问题与上一课时问题相近，学生很快明确并解决了问题。

第二环节：

问题解决

内容1：

例1

小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面，上午7：

00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞瀑”，车速为36km/h，小慧也于上午7：

00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为26km/h．

（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？

（2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少km？

分析：

当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同的？

是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？

你会选择用哪种方式来解决？

图象法？

还是解析法？

解：

设经过t时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S1、S2，

由题意得：

S1=36t，S2=26t+10

将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得

⑴两条直线S1=36t，S2=26t+10的交点坐标为（1，36）

这说明当小聪追上小慧时，S1=S2=36km，即离“古刹”36km，已超过35km，也就是说，他们已经过了“草甸”

⑵当小聪到达“飞瀑”时，即S1=45km，此时S2=42.5km．

所以小慧离“飞瀑”还有45－42.5=2.5（km）

思考：

用解析法如何求得这两个问题的结果？

小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么（小聪的解析式为S1=36t，小慧的解析式为S2=26t+10）？

意图：

培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识．通过问题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决这个问题．在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力．

说明：

在这个环节的学习过程中，如果学生入手感到困难，可用以下问题串引导学生进行分析。

⑴两个人是否同时起步？

⑵在两个人到达之前所用时间是否相同？

所行驶的路程是否相同？

出发地点是否相同？

两个人的速度各是多少？

⑶这个问题中的两个变量是什么？

它们之间是什么函数关系？

⑷如果用S表示路程，t表示时间，那么他们的函数解析式是一样？

他们各自的解析式分别是什么？

内容2：

深入探究

例2我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇B追赶（如图），下图中l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系．

根据图象回答下列问题：

（1）哪条线表示B到海岸的距离与时间之间的关系？

解：

观察图象，得当t＝0时，B距海岸0海里，即

S＝0，故l1表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系；

（2）A，B哪个速度快？

解：

从0增加到10时，l2的纵坐标增加了2，而l1的纵坐标增加了5，即10分内，A行驶了2海里，B行驶了5海里，所以B的速度快．

（3）15分钟内B能否追上A？

解：

可以看出，当t＝15时，l1上对应点在l2

上对应点的下方，

（4）如果一直追下去，那么B能否追上A？

解：

如图l1，l2相交于点P．因此，如果一直追下去，那么B一定能追上A．

（5）当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查．照此速度，B能否在A逃到公海前将其拦截？

解：

从图中可以看出，l1与l1交点P的纵坐标小于12，这说明在A逃入公海前，我边防快艇B能够追上A．

意图：

培养学生良好的识图能力，进一步体会数与形的关系，建立良好的知识联系．

说明：

学生在教师的引导下，逐步形成了良好的识图能力．

第三环节：

反馈练习

内容：

观察甲、乙两图，解答下列问题

1．填空：

两图中的（）图比较符合传统寓言故事《龟免赛跑》中所描述的情节．

2．根据1中所填答案的图象填写下表：

线型

项目

主人公

（龟或兔）

到达时间（分）

最快速度（米/分）

平均速度（米/分）

红线

绿线

3．根据1中所填答案的图象求：

（1）龟免赛跑过程中的函数关系式（要注明各函数的自变量的取值范围）；

（2）乌龟经过多长时间追上了免子，追及地距起点有多远的路程？

4．请你根据另一幅图表，充分发挥你的想象，自编一则新的“龟免赛跑”的寓言故事，要求如下：

（1）用简洁明快的语言概括大意，不能超过200字；

（2）图表中能确定的数值，在故事叙述中不得少于3个，且要分别涉及时间、路和速度这三个量．

意图：

旨在检测学生的识图能力，可根据学生情况和上课情况适当调整。

说明：

练习注意了问题的梯度，由浅入深，一步步引导学生从不同的图象中获取信息，对同学的回答，教师给予点评，对回答问题暂时有困难的同学，教师应帮助他们树立信心。

第四环节：

课时小结

内容：

本节课我们学习了一次函数图象的应用，在运用一次函数解决实际问题时，可以直接从函数图象上获取信息解决问题，当然也可以设法得出各自对应的函数关系式，然后借助关系式完全通过计算解决问题。

通过列出关系式解决问题时，一般首先判断关系式的特征，如两个变量之间是不是一次函数关系？

当确定是一次函数关系时，可求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果．

意图：

引导学生自己小结运用一次函数解决实际问题的主要方法。

说明：

让学生畅所欲言，相互进行补充，尽量用自己的语言进行归纳总结。

第五环节：

作业布置

作业：

习题4.4

六、教学设计反思

（1）设计理念

函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，是初中阶段数学学习的一个重要内容．在本节教学设计中，进一步体现了“问题情境——建立数学模型——应用与拓展”的模式．让学生从实际问题中抽象出函数及一次函数的概念、图象、性质，进而利用一次函数及其图象解决有关现实问题．

（2）突出重点、突破难点的策略

本节课是在学生已经掌握了一次函数的图象和有关性质的基础上，对有关知识进行应用和拓展．在教学过程中，教师应通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生进行探究活动．在师生互动、生生互动的探究活动中，提高学生解决实际问题的能力．

附：

板书设计

一次函数图象的应用

（二）

一、例题讲解

二、想一想

三、反馈练习

四、课时小结

五、课后作业

4．4　一次函数的应用

第1课时　确定一次函数的表达式

1．会确定正比例函数的表达式；（重点）

2．会确定一次函数的表达式．（重点）

一、情境导入

某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗？

你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？

学习了本节的内容，你就知道了．

二、合作探究

探究点一：

确定正比例函数的表达式

求正比例函数y＝（m－4）m2－15的表达式．

解析：

本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．

解：

由正比例函数的定义知m2－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.

方法总结：

利用正比例函数的定义确定表达式：

自变量的指数为1，系数不为0.

探究点二：

确定一次函数的表达式

【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式

已知一次函数的图象经过（0，5）、（2，－5）两点，求一次函数的表达式．

解析：

先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过（0，5）、（2，－5）两点，所以当x＝0时，y＝5；当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．

解：

设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，

∴解得∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.

方法总结：

“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y＝kx＋b中有两个待定系数k、b，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．

【类型二】根据图象确定一次函数的表达式

正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A（4，3），B为一次函数的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．

解析：

根据A（4，3）可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA的长，从而可以求出点B的坐标，根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式．

解：

设正比例函数的表达式为y1＝k1x，一次函数的表达式为y2＝k2x＋b.∵点A（4，3）是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k1，3＝4k2＋b.∴k1＝，即正比例函数的表达式为y＝x.∵OA＝＝5，且OA＝2OB，∴OB＝.∵点B在y轴的负半轴上，∴B点的坐标为（0，－）．又∵点B在一次函数y2＝k2x＋b的图象上，∴－＝b，代入3＝4k2＋b中，得k2＝.∴一次函数的表达式为y2＝x－.

方法总结：

根据图象确定一次函数的表达式的方法：

从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．

【类型三】根据实际问题确定一次函数的表达式

某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y（元）与数量x（千克）的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.

数量x/千克

售价y/元

1

8＋0.4

2

16＋0.8

3

24＋1.2

4

32＋1.6

5

40＋2.0

　　…

　　…

解析：

从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……

解：

由表中信息，得y＝（8＋0.4）x＝8.4x，即售价y与数量x的函数关系式为y＝8.4x.当x＝2.5时，y＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．

方法总结：

解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．

三、板书设计

确定一次函数表达式

经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．

2．2　平方根

第1课时　算术平方根

1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；（重点）

2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；（重点）

3．了解算术平方根的性质．（难点）

一、情境导入

上一节课我们做过：

由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a的大正方形，那么有a2＝2，a＝________，2是有理数，而a是无理数．在前面我们学过若x2＝a，则a叫做x的平方，反过来x叫做a的什么呢？

二、合作探究

探究点一：

算术平方根的概念

【类型一】求一个数的算术平方根

求下列各数的算术平方根：

（1）64；

（2）2；（3）0.36；（4）.

解析：

根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的