几何图形变换压轴题Word文件下载.docx
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(2)将图1中的△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:
△ACN为等腰直角三角形;
(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时,
(2)中的结论是否仍成立?
若成立,试证明之,若不成立,请说明理由.
2.(2014•重庆)已知:
如图①,在矩形ABCD中,AB=5,AD=
,AE⊥BD,垂足是E.点F是点E关于AB的对称点,连接AF、BF.
(1)求AE和BE的长;
(2)若将△ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度).当点F分别平移到线段AB、AD上时,直接写出相应的m的值.
(3)如图②,将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α(0°
<α<180°
),记旋转中的△ABF为△A′BF′,在旋转过程中,设A′F′所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形?
若存在,求出此时DQ的长;
若不存在,请说明理由.
3.(2014•天津)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(﹣2,0),点B(0,2),点E,点F分别为OA,OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转,得正方形OE′D′F′,记旋转角为α.
(Ⅰ)如图①,当α=90°
时,求AE′,BF′的长;
(Ⅱ)如图②,当α=135°
时,求证AE′=BF′,且AE′⊥BF′;
(Ⅲ)若直线AE′与直线BF′相交于点P,求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即可).
4.(2014•贵阳)如图,将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD,其中∠BAC=45°
,∠ACD=30°
,点E为CD边上的中点,连接AE,将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E,D′E交AC于F点.若AB=6
cm.
(1)AE的长为 cm;
(2)试在线段AC上确定一点P,使得DP+EP的值最小,并求出这个最小值;
(3)求点D′到BC的距离.
5.(2014•武汉模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=6,BC=8.动点P从点A开始沿折线AC﹣CB﹣BA运动,点P在AC,CB,BA边上运动的速度分别为每秒3,4,5个单位.直线l从与AC重合的位置开始,以每秒
个单位的速度沿CB方向平行移动,即移动过程中保持l∥AC,且分别与CB,AB边交于E,F两点,点P与直线l同时出发,设运动的时间为t秒,当点P第一次回到点A时,点P和直线l同时停止运动
(1)①当t=3秒时,点P走过的路径长为 ;
②当t= 秒时,点P与点E重合;
③当t= 秒时,PE∥AB;
(2)当点P在AC边上运动时,将△PEF绕点E逆时针旋转,使得点P的对应点M落在EF上,点F的对应点记为点N,当EN⊥AB时,求t的值;
(3)当点P在折线AC﹣CB﹣BA上运动时,作点P关于直线EF的对称点,记为点Q.在点P与直线l运动的过程中,若形成的四边形PEQF为菱形,请直接写出t的值.
6.(2014春•青山区期末)已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B,连AF,H为AF的中点,连EH,正方形EBGF绕点B旋转.
(1)如图1,当F点落在BC上时,求证:
EH=
FC;
(2)如图2,当点E落在BC上时,连BH,若AB=5,BG=2,求BH的长;
(3)当正方形EBGF绕点B旋转到如图3的位置时,求
的值.
7.(2013•达州)通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例,请补充完整.
原题:
如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°
,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由.
(1)思路梳理
∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°
至△ADG,可使AB与AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°
,
∴∠FDG=180°
,点F、D、G共线.
根据 ,易证△AFG≌ ,得EF=BE+DF.
(2)类比引申
如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°
点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°
.若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系 时,仍有EF=BE+DF.
(3)联想拓展
如图3,在△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°
.猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程.
8.(2013•临沂)如图,矩形ABCD中,∠ACB=30°
,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别与边AB,BC所在的直线相交,交点分别为E,F.
(1)当PE⊥AB,PF⊥BC时,如图1,则
的值为 ;
(2)现将三角板绕点P逆时针旋转α(0°
<α<60°
)角,如图2,求
的值;
(3)在
(2)的基础上继续旋转,当60°
<α<90°
,且使AP:
PC=1:
2时,如图3,
的值是否变化?
证明你的结论.
9.(2013•盐城)阅读材料
如图①,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°
,且点D在AB边上,AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO,显然点C、F、O在同一条直线上,可以证明△BOF≌△COD,则BF=CD.
解决问题
(1)将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②,猜想此时线段BF与CD的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图③,若△ABC与△DEF都是等边三角形,AB、EF的中点均为O,上述
(1)中的结论仍然成立吗?
如果成立,请说明理由;
如不成立,请求出BF与CD之间的数量关系;
(3)如图④,若△ABC与△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中点均为0,且顶角∠ACB=∠EDF=α,请直接写出
的值(用含α的式子表示出来)
10.(2013•济南)如图1,在△ABC中,AB=AC=4,∠ABC=67.5°
,△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称,点M为边AC上的一个动点(重合),点M关于AB所在直线的对称点为N,△CMN的面积为S.
(1)求∠CAD的度数;
(2)设CM=x,求S与x的函数表达式,并求x为何值时S的值最大?
(3)S的值最大时,过点C作EC⊥AC交AB的延长线于点E,连接EN(如图2),P为线段EN上一点,Q为平面内一点,当以M,N,P,Q为顶点的四边形是菱形时,请直接写出所有满足条件NP的长.
解:
(1)∵AB=AC,∠ABC=67.5°
∴∠ACB=∠ABC=67.5°
∴∠CAB=180°
-67.5°
=45°
∵△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称,
∴∠DAB=∠CAB=45°
∴∠CAD=45°
+45°
=90°
.
(2)由
(1)知:
AN⊥AM,
∵点M、N关于AB所在直线对称,
∴AM=AN,
∵CM=x,
∴AN=AM=4-x,
(3)∵CE⊥AC,
∴∠ECA=90°
∵∠CAB=45°
∴∠CEA=∠EAC=45°
∴CE=AC=4,
在Rt△ECA中,AC=EC=4,由勾股定理得:
∵AM=AN,∠CAB=∠DAB,
∴AO⊥MN,MO=NO,
在Rt△MAN中,AM=AN=4-2=2,由勾股定理得:
MN=
∴MO=NO=
;
②以MN为一边时,以N为圆心,以MN为半径画弧交NE于P,
此时NP=MN=2
2
③以MN为一边时,
过M作MZ⊥NE于Z,则PZ=NZ,
∵AE⊥MN,
∴∠EON=∠MZN=90°
∵∠ENO=∠MNZ,
∴△ENO∽△MNZ,
∴
11.(2013•义乌市)小明合作学习小组在探究旋转、平移变换.如图△ABC,DEF均为等腰直角三角形,各顶点坐标分别为A(1,1),B(2,2),C(2,1),D(
,0),E(2
,0),F(
,﹣
).
(1)他们将△ABC绕C点按顺时针方向旋转45°
得到△A1B1C1.请你写出点A1,B1的坐标,并判断A1C和DF的位置关系;
(2)他们将△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°
,发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=2
x2+bx+c上,请你求出符合条件的抛物线解析式;
(3)他们继续探究,发现将△ABC绕某个点旋转45°
,若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=x2上,则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标,请你直接写出点P的所有坐标.
12.(2013•镇江)
【阅读】
如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(a,0)(a>0),B(2,3),C(0,3).过原点O作直线l,使它经过第一、三象限,直线l与y轴的正半轴所成角设为θ,将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠,点C落在点D处,我们把这个操作过程记为FZ[θ,a].
【理解】
若点D与点A重合,则这个操作过程为FZ[ , ];
【尝试】
(1)若点D恰为AB的中点(如图2),求θ;
(2)经过FZ[45°
,a]操作,点B落在点E处,若点E在四边形0ABC的边AB上,求出a的值;
若点E落在四边形0ABC的外部,直接写出a的取值范围;
【探究】
经过FZ[θ,a]操作后,作直线CD交x轴于点G,交直线AB于点H,使得△ODG与△GAH是一对相似的等腰三角形,直接写出FZ[θ,a].
13.(2013•广阳区一模)问题情境:
如图,正方形ABCD的边长为6,点E是射线BC上的一个动点,连结AE并延长,交射线DC于点F,将△ABE沿直线AE翻折,点B坐在点B′处.
自主探究:
(1)当
=1时,如图1,延长AB′,交CD于点M.
①CF的长为 ;
②求证:
AM=FM.
(2)当点B′恰好落在对角线AC上时,如图2,此时CF的长为 ,
= .
拓展运用:
(3)当
=2时,求sin∠DAB′的值.
14.(2013•聊城模拟)如图,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=2,BC=2
,对角线AC、BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC、AD于点F、E.
(1)证明:
当旋转角度为90°
时,四边形ABFE是平行四边形.
(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总是保持相等.
(3)在旋转过程中四边形BEDF可能是菱形吗?
如果不能,请说明理由;
如果能,说明理由,并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
15.(2014•济