计算机控制系统3教案.docx
《计算机控制系统3教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算机控制系统3教案.docx（46页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
第3章 z 变换
要研究一个实际的物理系统，首先要解决它的数学模型和分析工具问题。
计算机控制系统是一种采样控制系统，即离散系统。
表3.1列出了线性连续控制系统与线性离散控制系统的研究方法对照表。
表3.1分析方法对照表
线性连续控制系统
线性离散控制系统
微分方程
差分方程
拉氏变换
Z变换
传递函数
脉冲传递函数
状态方程
离散状态方程
由以上说明可知，Z变换是分析离散系统的重要数学工具，而且具有许多类似于拉普拉斯变换性质的数学变换。
与拉普拉斯变换的主要区别是，它并不对连续函数f（t）进行运算，而是对离散函数f*（t）进行运算。
因而本章内容是介绍Z变换的定义、性质以及Z反变换等。
为下列章节学习奠定基础。
-46-
3.1Z变换定义
3.1.1Z变换定义及表达式
连续信号f（t）的拉普拉斯变换F（s）是复变量的代数函数。
对计算机控制系统中的采样信号f*（t）也可以进行拉普
拉斯变换。
连续信号f（t）通过采样周期为T的理想采样后的采样信号f*（t）是一组加权理想脉冲序列，每个采样时刻的脉冲强度等于该采样时刻的连续函数值，由（2.2）式可知
f*（t）=
f（0）d（t）+
f（T）d（t-T）+
f（2T）d（t-2T）+L
（3.1）
因为d（t-kT）的拉氏变换为
L
（3.2）
[d（t
-kT）]=
e-kTs
所以式（3.1）的拉普拉斯变换式为
F*（s）=
f（0）+
f（T）e-Ts+
f（2T）e-2Ts+L
¥
=å
k=0
f（kT）e-kTs
（3.3）
从（3.3）式明显看出，F*（s）是s的超越函数，因此，用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化，为此，引入另一复变量“z”,令
z=eTs
（3.4）
代入（3.3）式，得
F（z）=f（0）+f（T）z-1+
¥
f（2T）z-2+L
（3.5）
=åf（kT）z-k
k=0
（3.5）式是f*（t）的单边Z变换。
若（3.5）式中流动变量k从－∞→＋∞，则称为双边Z变换。
由于控制系统中研究的信号都是从研究时刻t=0开始算起，所以使用的都是单边Z变换,这里简称为Z变换。
表示f*（t）的Z变换式符号有多种，如F（z）、
Z[f*（t）]、f*（s）s=（1/T）lnz、Z[f（t）]、Z[F（s）]、Z[F*（s）]
等等，但它
们都表示同一个概念，都是指对脉冲序列函数的Z变换。
（3.1）式、（3.3）式和（3.5）式在形式上完全相同，
都是多项式之和，对应的加权系数相等，在时域中的
d（t-T）、S域中的e-Ts以及Z域中的z-1均表示信号延迟一拍。
在实际应用中，所遇到的采样信号的Z变换幂级数在
收敛域内都对应有一个闭合形式，其表达式是一个“z”的有理式
K（zm+d zm-1+L+dz+d）
1
0
F（z）=m-1 1 0
（3.6）
zn+c
n-1
zn-1+L+cz+c
若用zn同除分子和分母，可得“z-1”的有理分式,即
K（z-n+m+L+d
z-n+1+d
z-n）
1
0
F（z）=1 0
（3.7）
1+c
n-1
z-1+L+c
z-n+1+c
z-n
在讨论系统动态特性时,Z变换式写成因子形式更为有用，式（3.7）可以改写成
F（z）=
（3.8）
KN（z）=
D（z）
K（z-z1）L（z-zm）
（z-p1）L（z-pn）
其中z1,L,zm；p1,L,pn分别是F（z）的零点和极点。
3.1.2简单函数的Z变换
下面，我们将讨论几个简单函数的Z变换。
值得注意的是，我们假设函数在t=0时不连续,而t>0时函数是连续的。
在此情况下，我们设定f（0）=f（0+），而不是间断点的平均值
[f（0-）+f（0+）]/2。
1.单位脉冲函数
表达式
求f（t）的Z变换。
ì1
f（t）=d（t）=í
î0
t=0
t¹0
d ì1
k=0
因为
根据Z变换定义
（kT）=í
î0
k¹0
¥
F（z）=Z[d（t）]=åd（kT）z-k=1
k=0
（3.9）
2.单位阶跃函数
ì1（t）=1
t³0
表达式
f（t）=í
î0
t<0
求f（t）的Z变换。
根据上面的假设，f（0）=1。
再由Z变换的定义可知
¥ ¥
F（z）=Z[1（t）]=å1×z-k
k=0
=åz-kk=0
=1+z-1+z-2+z-3+L
= 1
1-z-1
= z
z-1
（3.10）
注意到如果z>1，则级数收敛。
在求Z变换时，变量Z是个假设算子，不必去确定使F（z）收敛时Z的范围，只要知道有这个范围存在就足够了。
用这种方法求时间函数f（t）的Z变换F（z），除了F（z）的极点外，在整个Z平面都是成立的。
注意：
ì1
1（k）=í
k=0,1,2,L
î0 k<0
（3.11）常叫做单位阶跃序列。
3.单位斜坡函数
ìt
t³0
表达式
则
f（t）=í
î0
f（kT）=kT
t<0
k=0,1,2,L
¥ ¥
因而它的Z变换可以求出
F（z）=Z[t]=åf（kT）z-k=åkTz-k=T（z-1+2z-2+3z-3+L）
k=0
=
z-1
k=0
Tz
T（1-z-1）2
=
（z-1）2
（3.12）
4.指数序列
表达式
ìak
f（k）=í
î0
k³0
k<0
式中a为常数。
根据Z变换定义，则有
¥
F（z）=Z[ak]=åakz-k
k=0
=1+az-1+a2z-2+a3z-3+L
（3.13）
= 1
1-az-1
= z
z-a
5.指数函数
表达式
ì
f（t）=í
e-at
t³0
î0
因为 f（kT）=e-akT
t<0
k=0,1,2,L
¥ ¥
则 F（z）=Z[e-at]=åf（kT）z-kk=0
=åe-akTz-kk=0
=1+e-aTz-1+e-2aTz-2+e-3aTz-3+L
（3.14）
6.正弦函数
= 1
1-e-aTz-1
= z
z-e-aT
ìsinwt
f（t）=í
t³0
表达式 î0
t<0
注意指数函数的Z变换Z[e-at]=
下式
1
1-e-aTz-1
，而sinwt可以表示成
sinwt=
1（ejwt-e-jwt）2j
因而 F（z）=Z[sinwt]=1
=1é 1 - 1 ù
2j 2jêë1-ejwTz-1
1-e-jwTz-1úû
=1 （ejwT
-e-jwT）z-1
2j1-（ejwT
+e-jwT）z-1+z-2
（3.15）
= z-1sinwT
1-2z-1coswT+z-2
= zsinwT
z2-2zcoswT+1
例3.1求余弦函数的Z变换
表达式
ìcoswt,
f（t）=í
î0,
t³0
t<0
解：
我们可以按照求正弦函数Z变换的方法来求余弦函
数的Z变换。
F（z）=Z[coswt]=1Z[ejwt+e-jwt]
ç
2
1æ 1
1 ö 1æ
2-（ejwT
+e-jwT）z-1 ö
= ç
2è1-e
jwT
z-1+
1-e
-jwT
-1÷=
z ø
ç
2è1-（e
jwT
+e-jwT
）z-1
÷
-2
+z ø
= 1-z-1coswT
1-2z-1coswT+z-2
= z2-zcoswT
z2-2zcoswT+1
例3.2求阻尼正弦函数的Z变换
ìe-atsinwt,
t³0
表达式
f（t）=í
î0,
F（z）=Ž[e-atsinwt]
t<0
解 =Ž
1ée-atejwt-e-ate-jwtù
ë û
2j
=1é 1 - 1 ù
2jêë1-e-（a-jw）Tz-1 1-e-（a+jw）Tz-1ûú
=1 e-aT（ejwT-e-jwT）z-1
2j1-e-aT（ejwT+e-jwT）z-1+e-2aTz-2
= z-1e-aTsinwT
1-2z-1e-aTcoswT+e-2aTz-2
= ze-aTsinwT
z2-2ze-aTcoswT+e-2aT
例3.3求
F（s）=
1
s（s+1）
的Z变换
解 当被求函数变量是以s给出时，求它的Z变换的一
种方法是：
先把F（s）利用拉普拉斯反变换求出f（t），然后将
f（t）离散化求出f*（t），再求其Z变换。
另一种方法是将
F（s）表示成部分分式，再利用Z变换表求其Z变换。
其它的
方法以后介绍。
现在我们利用第一种方法，先求F（s）的拉氏反变换
F（s）=
1
s（s+1）
=1-
s
1
升级会员 