6、若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足（2005－x1）（2005－x2）（2005－x3）（2005－x4）（2005－x5）＝242，则的未位数字是＿＿。
A、1 B、3 C、5 D、7
解：
因为x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，所以（2005－x1）、（2005－x2）、（2005－x3）、（2005－x4）、（2005－x5）为互不相等的偶数
而将242分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：
242＝2·（-2）·4·6·（-6）
所以（2005－x1）、（2005－x2）、（2005－x3）、（2005－x4）、（2005－x5）分别等于2、（-2）、4、6、（-6）
所以（2005－x1）2＋（2005－x2）2＋（2005－x3）2＋（2005－x4）2＋（2005－x5）2＝22＋（-2）2＋42＋62＋（-6）2＝96
展开得：
二、填空题（共28分）
1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。
解：
（3×1＋3×2＋……3×33）＋（5×1＋5×2＋……5×20）－（15×1＋15×2＋……15×6）＝1683＋1050－315＝2418
2、x＝＿＿＿。
解：
分子有理化得：
∵x≠0，
∴
两边平方化简得：
再平方化简得：
3、若实数x、y满足则x＋y＝＿＿。
解法1：
假设x＋y＝a，则y＝a－x
解法2：
易知
化简得：
4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：
A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，则a的最大值为＿＿＿。
解：
三、解答题（第1题20分，第2、3题各25分）
1、a、b、c为实数，ac＜0，且，证明：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于而小于1的根。
解：
设
∴
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于而小于1的根.
2、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，DE与BC的延长线于交于T，过D作BC的垂线交BE于F，过E作BC的垂线交CD于G，证明：
F、G、T三点共线。
证法1：
设过D、E的垂线分别交BC于M、N，在Rt△BEC与Rt△BDC中，由射影定理得：
CE2＝CN·CB，BD2＝BM·BC
∴
又Rt△CNG∽Rt△DCB，Rt△BMF∽Rt△BEC，
∴
∴
在Rt△BEC与Rt△BDC中，由面积关系得：
BE·CE＝EN·BC，BD·CD＝DM·BC
∴
由
（1）
（2）得：
证法2：
设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R
∵DM∥AR∥EN
∴
由合比定理得：
证法3：
在△ABC中，直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅劳斯定理得：
设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，AH⊥BC
∵DF⊥BC、EG⊥BC
∴AH∥DF∥EG
∴
由梅涅劳斯定理的逆定理得：
F、G、T三点共线.
证法4：
连结FT交EN于G’，易知
为了证明F、G、T三点共线，只需证明即可
∵
又
∴
∵CD⊥AB、BE⊥CA，∴B、D、E、C四点共圆
∴∠ABE＝∠ACD
（2）
又 （3）
将
（2）（3）代入
（1）得：
，故F、G、T三点共线.
3、设a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。
解：
显然c＞1.由题设得：
（c2-a）（c2+a）=b3
若取
由大到小考察b，使为完全平方数，易知当b＝8时，c2＝36，则c=6，从而a=28。
下面说明c没有比6更小的正整数解，列表如下：
c
c4
x3（x3c4-x3
2
16
1,8
17,8
3
81
1,8,27,64
80,73,54,17
4
256
1,8,27,64,125,216
255,248,229,192,131,40
5
625
1,8,27,64,125,216,343,512
624,617,598,561,500,409,282,113
显然，表中c4-x3的值均不是完全平方数。
故c的最小值为6
参考答案：
一、1、D原式=
2、C∵52+142=221=102+112∠A、∠C都是直角
3、D
4、D 5、C 6、A
二、1、2418 2、 3、x＋y＝33＋43＋53＋63＝432 4、15°
三、1、略 2、略 3、c的最小值为6。
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