三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质Word文件下载.docx
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例1.O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P点的轨迹一定通过的()
(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心
解析:
因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为,又,则原式可化为,由菱形的基本性质知AP平分,那么在xx,AP平分,则知选B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2.H是△ABC所在平面内任一点,点H是△ABC的垂心.
由,
同理,.故H是△ABC的垂心.(反之亦然(证略))
例3.(xx)P是△ABC所在平面上一点,若,则P是△ABC的(D )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
解析:
由.即
则所以P为的垂心.故选D.
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4.G是△ABC所在平面内一点,=0点G是△ABC的重心.
证明作图如右,图中
连结BE和CE,则CE=GB,BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点,AD为BC边上的中线.
将代入=0,
得=0,故G是△ABC的重心.(反之亦然(证略))
例5.P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.
证明
∵G是△ABC的重心∴=0=0,即
由此可得.(反之亦然(证略))
例6若为内一点,,则是的()
A.内心B.外心C.垂心D.重心
由得,如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形,则,由平行四边形性质知,,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D。
(四)将平面向量与三角形外心结合考查
例7若为内一点,,则是的()
由向量模的定义知到的三顶点距离相等。
故是的外心
,选B。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查
例8.已知向量,,满足条件++=0,||=||=||=1,
求证△P1P2P3是正三角形.(《数学》第一册(下),复习参考题五B组第6题)
证明由已知+=-,两边平方得·
=,
同理·
=·
∴||=||=||=,从而△P1P2P3是正三角形.
反之,若点O是正三角形△P1P2P3的中心,则显然有++=0且||=||=||.
即O是△ABC所在平面内一点,
++=0且||=||=||点O是正△P1P2P3的中心.
例9.在△ABCxx,已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。
求证:
Q、G、H三点共线,且QG:
GH=1:
2。
【证明】:
以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系。
设A(0,0)、B(x1,0)、C(x2,y2),D、E、F分别为AB、BC、AC的中点,则有:
由题设可设,
即,故Q、G、H三点共线,且QG:
GH=1:
2
例10.若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证.
证明若△ABC的垂心为H,外心为O,如图.
xxBO并延长交外接圆于D,xx结AD,CD.
∴,.又垂心为H,,,
∴AH∥CD,CH∥AD,
∴四边形AHCD为平行四边形,
∴,故.
著名的“xx定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系:
(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“xx线”;
(2)三角形的重心在“xx线”上,且为外——垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
“xx定理”的向量形式显得特别简单,可简化成如下的向量问题.
例11.设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证
证明按重心定理G是△ABC的重心
按垂心定理由此可得.
补充练习
1.已知A、B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足
=(++2),则点P一定为三角形ABC的(B)
A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)
C.重心D.AB边的中点
1.B取AB边的xx点M,则,由=(++2)可得3,∴,即点P为三角形xxAB边上的xx线的一个三等分点,且点P不过重心,故选B.
2.在同一个平面上有及一点O满足关系式:
+=+=+,则O为的(
D
)
A外心B内心C重心D垂心
2.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足:
,则P为的(
C
3.已知O是平面上一
定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足:
,则P的轨迹一定通过△ABC的(
4.已知△ABC,P为三角形所在平面上的动点,且动点P满足:
,则P点为三角形的(
5.已知△ABC,P为三角形所在平面上的一点,且点P满足:
B
6.在三角形ABCxx,动点P满足:
,则P点轨迹一定通过△ABC的:
(B)
7.已知非零向量与满足(+)·
=0且·
=,则△ABC为()
A.xx均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形
非零向量与满足()·
=0,即角A的平分线垂直于BC,∴AB=AC,又=,∠A=,所以△ABC为等边三角形,选D.
8.的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,,则实数m=1
9.点O是所在平面内的一点,满足,则点O是的(B)
(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点
(C)三条中线的交点(D)三条高的交点
10.如图1,已知点G是的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且,
,则。
证点G是的重心,知O,
得O,有。
又M,N,G三点共线(A不在直线MNxx),
于是存在,使得,
有=,
得,于是得。
例讲三角形中与向量有关的问题
教学目标:
1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法
2、向量的加法、数量积等性质
3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题
4、数形结合
教学重点:
灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题
教学难点:
针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题
教学过程:
1、课前练习
1.1已知O是△ABC内的一点,若,则O是△ABC的〔〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
1.2在△ABCxx,有命题①;
②;
③若,则△ABC为等腰三角形;
④若,则△ABC为锐角三角形,上述命题xx正确的是〔〕
A、①②B、①④C、②③D、②③④
2、知识回顾
2.1三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法
2.2向量的有关性质
2.3上述两者间的xx
3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题
例1、已知△ABCxx,有和,试判断△ABC的形状。
练习1、已知△ABCxx,,,B是△ABCxx的最大角,若,试判断△ABC的形状。
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、已知O是△ABC所在平面内的一点,满足,则O是△ABC的〔〕
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
例3、已知P是△ABC所在平面内的一动点,且点P满足,则动点P一定过△ABC的〔〕
练习2、已知O为平面内一点,A、B、C平面上不共线的三点,动点P满足,则动点P的轨迹一定通过△ABC的〔〕
例4、已知O是△ABC所在平面内的一点,动点P满足,则动点P一定过△ABC的〔〕
练习3、已知O是△ABC所在平面内的一点,动点P满足,则动点P一定过△ABC的〔〕
例5、已知点G是的重心,过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点,且,求证:
6、小结
处理与三角形有关的向量问题时,要允分注意数形结合的运用,关注向量等式中的实数互化,合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。
7、作业
1、已知O是△ABC内的一点,若,则O是△ABC的〔〕
2、若△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,且,则等于〔〕
A、B、、1D、
3、已知O是△ABC所在平面上的一点,A、B、C、所对的过分别是a、b、c若,则O是△ABC的〔〕
4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点,满足,则P是△ABC的〔〕
5、平面上的三个向量、、满足,,求证:
△ABC为正三角形。
6、在△ABCxx,O为xx线AM上的一个动点,若AM=2,求
三角形四心与向量的典型问题分析
向量是数形结合的载体,有方向,大小,双重性,不能比较大小。
在高中数学“平面向量”(必修4第二章)的学习中,一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算;
另一方面,我们又以向量为工具,运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。
在平面向量的应用中,用平面向量解决平面几何问题时,首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示,然后选择适当的基底向量,将相关向量表示为基向量的线性组合,把问题转化为基向量的运算问题,最后将运算的结果再还原为几何关系。
下面就以三角形的四心为出发点,应用向量相关知识,巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。
既学习了三角形四心的一些特定性质,又体会了向量带来的巧妙独特的数学xx。
一、“重心”的向量风采
【命题1】是所在平面上的一点,若,则是的重心.如图⑴.
【命题2】已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则的轨迹一定通过的重心.
【解析】由题意,当时,由于表示边上的中线所在直线的向量,所以动点的轨迹一定通过的重心,如图⑵.
二、“垂心”的向量风采
【命题3】是所在平面上一点,若,则是的垂心.
【解析】由,得,即,所以.同理可证,.∴是的垂心.如图⑶.
【命题4】已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则动点的轨迹一定通过的垂心.
【解析】由题意,由于,
即,所以表示垂直于的向量,即点在过点且垂直于的直线上,所以动点的轨迹一定通过的垂心,如图⑷.
三、“内心”的向量风采
【命题5】已知为所在平面上的一点,且,,.若,则是的内心.
【解析】∵,,则由题意得,
∵,
∴.∵与分别为和方向上的单位向量,
∴与平分线共线,即平分.
同理可证:
平分,平分.从而是的内心,如图⑸.
【命题6】已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则动点的轨迹一定通过的内心.
【解析】由题意得,∴当时,表示的平分线所在直线方向的向量,故动点的轨迹一定通过的内心,如图⑹.
四、“外心”的向量风采
【命题7】已知是所在平面上一点,若,则是的外心.
【解析】若,则,∴,则是的外心,如图⑺。
【命题7】已知是平面上的一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,