八上全等三角形经典培优习题汇集学而思.docx
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八上全等三角形经典培优习题汇集学而思
全等三角形经典习题汇集第一讲全等三角形的性质及判定
【例1】如图，AC//DE,BC//EF,AC=DE.求证：
AF=BD.
【补充】如图所示:
AB//CD,AB=CD.求证：
AD//BC.
【例2】已知：
如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB=DC,BE=CF,.B=C.求证:
OA=OD.
【补充】已知：
如图，AD=BC,AC=BD,求证：
.C=/D.
【例3】如图，AB,CD相交于点O,OArOB,E、F为CD上两点，AE//BF,CErDF.求证:
AC//BD.
【补充】已知，如图，AB=AC,CE_AB,BF_AC,求证：
BF=CE.
【例4】如图，MDCE=：
90,CD=CE,AD_AC,BE_AC,垂足分别为A,B,试说明ADA^BE
【例10】如图所示，已知AB=DC,AE=DF,CE=BF,证明：
AF=DE.
【补充】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GE_EF,GE=EF•求证:
BGCF=BC.
【补充】如图所示：
AF=CD,BC=EF,AB=DE,.A=ZD•求证：
BC//EF.
【例13】
（1）如图，△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG连结EG,试判断厶ABC与厶AEG面积之间的关系，并说明理由.
（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知
中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这
条小路一共占地多少平方米？
【例14】如图，ABC中，AB=BC,乙ABC=90,D是AC上一点，且CD=CB=AB,DE_AC交AB于E点•求证：
AD=DE=EB.
AN、CM交于P点.试求.APM的度数，并写出你的推理证明的过程.
【例16】如图，I是厶ABC的内心，且CA∙Al=BC.若/BAC=：
80,求乙ABC和.AIB的大小.
【例17】已知：
BD、CE是ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC,点Q在CE上，CQ=AB,求证：
⑴AP=AQ;
（2）AP_AQ.
【例18】⑴如左下图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且AC=CE,F为AE的中点.求证：
BF_FD.
⑵如右下图，在=ABC中，BE、CF分别为边AC、AB的高，D为BC的中点，DM_EF于
M.求证：
FM=EM.
A
1
18.补充：
如图，已知疋ABDMACD=60,且.ADB=90BDC.求证：
ABC是
2
等腰三角形.
【例19】如图，JABC为边长是1的等边三角形，BDC为顶角（MBDC）是120的
等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB于M,AC于N,连接MN,形成一个UAMN•求UAMN的周长.
【习题1】已知：
如图，ABIlDE,AC//DF,BE=CF.求证：
AB=DE.
【习题2】已知：
△DEF^△MNP,且EF=NP,∠F=∠P,∠D=48°∠E=52°MN=12cm,求：
∠P的度数及DE的长.
【习题3】如图，矩形ABCD中，E是AD上一点,且CE=EF,求AE的长.
【习题4】在四边形ABCD中，AD//BC,.A的平分线AE交DC于E.求证：
当BE是.B的角平分线时，有AD+BC=AB.
【备选2】如图所示，在△ABC中，AD_BC于点D,.B=2.C.求证：
AB-BD=CD•
【备选3】如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,
DE⊥DF,交AB于点E,连结EGEF
（1）求证：
BG=CF
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由
BE的延长线与AD的延长线相交
第二讲全等三角形与中点问题
版块一
倍长中线
A
【例1】
在厶ABC中,
AB=5,AC=9,则BC边上的中线AD的长的取值
范围是什么？
/∖∖.
BDC
1
【补充】已知：
JABC中，AD是中线.求证：
AD：
：
：
?
（AB-AC）.
【例2】已知：
如图，梯形ABCD中，AD//BC,点E是CD的中点,
于点F.求证：
厶BCE也厶FDE.
【例6】如图所示，在ABC和ABC中，AD、AD分别是BC、BC上的中线，且AB=AB，,
AC=AC,AD=AD
ABC也ABC.
【例7】如图，在ABC中，AD交BC于点D,点E是BC中点，EFIlAD交CA的延长线于点F,交EF于点G,若BG=CF,求证：
AD为MBC的角平分线.
【例8】已知AD为ABC的中线，.ADB，×ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F.求证:
BECF■EF.
【例9】在RtAABC中，A=90,点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED_FD.以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？
若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？
【例10】已知△ABC,∠B=∠C,D,E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE,连接DE交底BC于G,求证GD=GE.
【例11】如图所示，在AABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN,如果BM2CN^DM2DN2,求
证AD2=1AB2AC2.（勾股定理的内容，选做）
4
【例10】在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足WDFE=：
90.若AD=：
3,
BE=4,则线段DE的长度为.
【习题1】如图，在等腰“BC中，AB=AC,D是BC的中点，过A作AE_DE,AF_DF,且AE=AF.求证：
.EDB=.FDC.
【习题3】如右下图，在,ABC中，若.B=2.C，AD_BC，E为BC边的中点.求证：
AB=2DE.
【备选1】如图，已知AB=DC,AD=BC,O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E,F.求证：
∠E=∠F
【备选2】如图，JABC中，AB=AC,ZBAC=90,D是BC中点,与AC交于F.求证：
BE=AF,AE=CF.
第三讲全等三角形与角平分线问题
【例1】在JABC中，D为BC边上的点，已知.BAD=/CAD,BD=CD,求证：
AB=AC.
【例2】已知「ABC中，AB=AC,BE、CD分别是.ABC及.ACB平分线•求证：
CD=BE.
【例3】如图，在ABC中，./B=60,AD、CE分别平分EBAC、./BCA,且AD与CE的交点为F.求证：
FE=FD.
【例4】如图，已知ABC的周长是21,OB,OC分别平分.ABC和.ACB,OD_BC于D,且OD=3,求.ABC的面积.
【补充】如图所示：
AB=AC,AD=AE,CD、BE相交于点O.求证：
OA平分DAE.
【例8】如图所示，已知,ABC中，AD平分.BAC,E、F分别在BD、AD上.DE=CD,EF=AC.求证：
EF//AB
A
【例10】如图，在四边形ABCD中，AC平分三BAD,过C作CE_AB于E,并且AE=■A（AB-AD）,则ABCADC等于多少？
【补充】长方形ABCD中，AB=4,BC=7,∠BAD的角平分线交BC于点E,EF丄ED交AB于F,则EF=.
【补充】在ABC中，ABAC,AD是^BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证：
AB-AC∙PB-PC.
【例11】如图，在AABC中，NB=：
2乙C,ZBAC的平分线AD交BC与D.求证：
AB■BD=AC.
【例12】如图，ABC中，AB=AC,.A=108,BD平分.ABC交AC于D点.求证：
BC=ACcD.
【巩固】已知等腰AABC,∙A=100,■ABC的平分线交AC于D,贝UBD∙AD=BC.
A
14
∖D
/
【例13】如图所示，在,ABC中，AD平分.BAC,AD=AB,CM_AD于M,求证ABAC=2AM.
【例14】如图，,ABC中，AB=AC,BD、CE分别为两底角的外角平分线，AD_BD于D,AE_CE
于E•求证：
AD=AE.
【例15】如图，ZA=180,BE平分ZABC,CE平分ZBCD,点E在AD上.
1探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系.
2探讨线段BE与CE之间的位置关系.
【习题2】如图，在JABC中，AB∙BD=AC,/BAC的平分线AD交BC与D.求证：
∕B=2∕C.
【习题
4】如图所示，AD平行于BCwDAE=WEAB,ZABE^EBC,AD=4,BC=2，那么AB=
H
A'
【习题5ΓABC中，D为BC中点，DE_BC交.BAC的平分线于点E,EF_AB于FEG_AC于G.求证：
BF=CG.
【备选2】如图，已知在厶ABC中，∙ABC=3C,.1=2,BE_AE.求证：
AC-AB=2BE.
【备选3】如图所示，在四边形ABCD中，AD//BC,.A的平分线AE交DC于E,求证：
当BE是.B的平分线时，有AD+BC=AB•
（2）求证：
CD=CE
（3）求证：
CF平分∠MCN
（4）求证：
DEIlAB
【例3】如图，等边三角形「ABC与等边DEC共顶点于C点.求证：
AE=BD.
【补充】如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点0旋转，其交点为E、F,求证：
AE∙CF=AB.
【补充】如图所示，在四边形ABCD中，ADC=/ABC=90,AD=CD,DP_AB于P,若四边形ABCD的面积是16,求DP的长.
【例7】E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=：
45，AH_EF，H为垂足，求证：
AH=AB.
交BC边于点E.
⑴求证：
AF=DF+BE.
⑵设DF=x（0≤X≤1）,AADF与ABE的面积和S是否存在最大值？
若存在，求出此时X的
值及S•若不存在，请说明理由.
【补充】
（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,/B=/D=90,E、F分别
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