阅读与思考集合中元素的个数Word文件下载.docx

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（1）A＝{高一·

2班的同学}，B＝{高一·

2班3组的成员}；

（2）A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4}；

（3）A＝N，B＝Z；

（4）A＝{矩形}，B＝{长方形}．

以上集合A是集合B的子集的是__________．（填所有正确选项的序号）

【解析】　借助Venn图，可知选项

（2）、（3）、（4）中集合A是集合B的子集，而选项

（1）中应是集合B是集合A的子集，集合A却不是集合B的子集．

【答案】　

（2）（3）（4）

教材整理2　集合相等

阅读教材P7从“对于两个集合A与B”到P8“A＝B”之间的内容，完成下列问题．

1.文字定义

对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时，我们就说集合A与集合B相等，记作A＝B.

2．符号表示

若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

　已知集合A＝{2,9}，集合B＝{1－m,9}，且A＝B，则实数m＝__________.

【解析】　∵A＝B，∴1－m＝2，∴m＝－1.

【答案】　－1

教材整理3　真子集

阅读教材P8从“对于两个集合A与B”至“例1”以上的内容，完成下列问题．

1．真子集

（1）含义：

对于两个集合A与B，如果A⊆B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作AB或BA.

（2）当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作A

B或B⊉A.

2．性质

（1）空集是任何集合的子集，对于任何一个集合A，都有∅⊆A.

（2）对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.

　判断（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）空集是任何集合的真子集．（　　）

（2）任何一个非空集合至少有两个子集．（　　）

（3）∅＝{0}．（　　）

（4）集合A不能是其自身的真子集．（　　）

【答案】　

（1）×

（2）√　（3）×

　（4）√

[小组合作型]

集合间关系的判定

　下列各式中，正确的个数是（　　）

①{0}∈{0,1,2}；

②{0,1,2}⊆{2,1,0}；

③∅⊆{0,1,2}；

④∅＝{0}；

⑤{0,1}＝{（0,1）}；

⑥0＝{0}．

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

【精彩点拨】　首先要分清二者是元素与集合间的关系，还是集合与集合之间的关系．如果是集合与集合之间的关系，还需要分清是包含、真包含，还是不包含等关系．

【尝试解答】　　对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；

对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；

对于③，空集是任何集合的子集；

对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；

对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{（0,1）}是以有序数组（0,1）为元素的单元素集合，所以{0,1}与{（0,1）}不相等；

对于⑥，{0}是含有单元素0的集合，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的．

【答案】　B

判断集合的基本关系常转化为判定元素与集合间的关系，主要有以下三种方法：

[再练一题]

1．指出下列各对集合之间的关系：

（1）A＝{－1,1}，B＝{（－1，－1），（－1,1），（1，－1），（1,1）}；

（2）A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

（3）A＝{x|－1<

x<

4}，B＝{x|x－5<

0}；

（4）M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}．

【解】　

（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．

（2）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.

（3）集合B＝{x|x<

5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB.

（4）由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故NM.

集合相等

　已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．

【精彩点拨】　欲求c的值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合中元素的互异性，有下面两种情况：

（1）

（2）

【尝试解答】　　由集合中元素的互异性，知b≠0，c≠±

1，c≠0，a≠0.又A＝B，

∴或

∴a＝2ac－ac2或a＝2ac2－ac，

即c2－2c＋1＝0或2c2－c－1＝0，

又∵c≠±

1，∴c＝－，故所求实数c的值为－.

根据两个集合相等求集合中的特定字母，一般是从集合中元素对应相等来建立方程（或方程组）.要注意将对应相等的情况分类列全，最后还需要注意将方程（或方程组）的解代入原集合检验，把不符合题意的解舍去.

2．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}且A＝B，求实数x与y的值．

【解】　由已知A＝B＝{0，|x|，y}，∴0∈A.若x＝0，则A＝{0,0，－y}，不满足元素的互异性；

若y＝0，则B＝{0，|x|,0}，也不满足元素的互异性．

∴只有x－y＝0，即y＝x，∴A＝{x，xy，x－y}＝{x，x2,0}，∴B＝{0，|x|，x}．

∴x2＝|x|，∴x＝0（舍），或x＝1，或x＝－1.当x＝1时，A＝B＝{1,1,0}，而元素具有互异性，故x≠1.当x＝－1时，A＝B＝{－1,1,0}满足题意．

∴x＝y＝－1即为所求.

有限集合子集的确定

　试写出满足条件∅M{0,1,2}的所有集合M.

【精彩点拨】　欲求M，首先需弄清条件“∅M{0,1,2}”的含义．由∅M说明M为非空集合，即M中至少含有一个元素；

由M{0,1,2}知，M中至多含有2个元素，因此M中元素个数为1或2，故可根据元素个数逐一列出集合M.

【尝试解答】　　∵∅M{0,1,2}，∴M为{0,1,2}的非空真子集．

∴M中的元素个数为1或2.

当M中只有1个元素时，M可以是{0}，{1}，{2}；

当M中有2个元素时，M可以是{0,1}，{0,2}，{1,2}．

∴M可以是{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．

解答此类问题应根据子集、真子集的概念求解，在写集合的子集或真子集时，一般按元素由少到多的顺序一一列举，可避免重复或遗漏.

3．已知{a，b}⊆A{a，b，c，d，e}，写出所有满足条件的集合A.

【解】　∵{a，b}⊆A，

∴a∈A，b∈A.

又∵A{a，b，c，d，e}，∴集合A为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}．

[探究共研型]

已知集合间的关系，求参数的范围

探究1　已知集合A＝{x|x<

1}，B＝{x|x<

a}，若A＝B，则实数a的取值是多少？

【提示】　如图，

由图可知a＝1.

探究2　探究1中“A＝B”改为“A⊆B”，其他条件不变，则实数a的取值范围是多少？

由图可知a≥1，即实数a的取值范围是{a|a≥1}．

探究3　探究1中“A＝B”改为“BA”，其他条件不变，则实数a的取值范围是多少？

，由图可知a<

1，即实数a的取值范围是{a|a<

1}．

　设集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|m－1≤x≤1－2m}．

（1）若B⊆A，求m的取值范围；

（2）若A⊆B，求m的取值范围.【导学号：

04100003】

【精彩点拨】　利用数轴表示集合A，B，根据A与B的关系观察端点之间的关系，列不等式求m的取值范围．

【尝试解答】　　

（1）①当B≠∅时，∵B⊆A，∴借助数轴表示如图所示：

则解得0≤m≤.

②当B＝∅时，m－1>

1－2m，得m>

.综上所述m≥0.

（2）①当m－1>

1－2m，即m>

时，B＝∅，不符合题意．

②当m－1≤1－2m，即m≤时，借助数轴表示如图所示：

则解得m≤0.

即m≤0.

综上所述m≤0.

已知集合关系求参数范围的一般方法：

（1）通常借助数轴，把两个集合在数轴上表示出来，以形定数.,

（2）当某一个集合的端点中含有字母时，要判定两个端点的大小，不确定时要分类讨论，当左边的端点大于右边的端点时，集合为空集，这种情况容易被忽视.,（3）比较端点大小时要注意是否能取“＝”，不好确定时要单独验证参数取“＝”时的值是否符合题意.

4．已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|a－1<

a＋3}，若A⊆B，求a的取值范围．

【解】　用数轴表示如图所示：

则解得

所以－1<

a<

0，

即a的取值范围为{a|－1<

0}．

1．集合A＝{x|0≤x<

3，x∈N}的真子集的个数为（　　）

【导学号：

04100004】

A．4　　　　　　　　　　　B．7

C．8D．16

【解析】　可知A＝{0,1,2}，其真子集为：

∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．共有23－1＝7（个）．故选B.

2．如果A＝{x|x>

－1}，那么正确的结论是（　　）

A．0⊆AB．{0}A

C．{0}∈AD．∅∈A

【解析】　由于0>

－1，所以{0}A.而选项A，C，D对于元素与集合、集合与集合的关系使用符号不对，故都是错误的．

3．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.

【解析】　∵B⊆A，

∴元素3,4必为A中元素，

∴m＝4.

【答案】　4

4．集合{a，b，c}的子集个数是________，真子集的个数是________．

【解析】　集合{a，b，c}的子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，共8个，其中真子集有7个．

【答案】　8　7

5．已知A＝{x|x<

－1，或x>

2}，B＝{x|4x＋a<

0}，当B⊆A时，求实数a的取值范围．

【解】　B＝，因B⊆A，用数轴表示如图：

所以需满足－≤－1，解得a≥4.