相似三角形教案docx文档格式.docx

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例2如图4-22，已知MN∥BC，且与△ABC的边CA、BA的延长线分别交于点M、N，点P、Q分别在边AB、AC上，且AP∶PB＝AQ∶QC．

图4-22

求证：

△APQ∽△ANM．

证明：

∵AP∶PB＝AQ∶QC，

∴PQ∥BC，

又MN∥BC，∴MN∥PQ

∴△APQ∽△ANM．

例3写出下列各组相似三角形的对应边的比例式．

（1）如图4-23

（1），已知：

△ADE∽△ABC，且AD与AB是对应边．

（2）如图4-23

（2），已知：

△ABC∽△AED，∠B＝∠AED．

图4-23

要写出两个相似三角形的对应边的比例式，首先要确定两个相似三角形的对应边．因为相似三角形是全等三角形的推广，所以要确定两个相似三角形的各组的对应边，可以参照确定全等三角形对应边的方法，从确定这两个相似三角形对应的顶点出发．

（1）已知△ADE∽△ABC，且AD和AB是对应边，它们所对的顶点E和C为对应顶点，而A是两三角形的公共顶点，∠BAC为公共角，所以两三角形另两组对应边为DE和BC，EA和CA，得

．

（2）已知△ABC∽△AED，且∠ABC＝∠AED，A为公共顶点，另一对应顶点为D和C，三组对应边分别是AD和AC，AE和AB，DE和CB．

得

本题两类相似三角形的图形是相似三角形的基本图形．

第一类为平行线型．

平行线型是由两条平行线和其他直线配合构成的两个相似三角形，它的对应元素比较明显，对应边，对应角，对应顶点有同样的顺序性，对应边平行或重合．基本图形有两种（图4-24）：

图4-24

第二类是相交线型．

这一类型的对应元素不十分明显，对应顺序也不一致，对应边相交．它的基本图形，也有两种，一种是有一个公共角，另一种是一组对顶角（图4-25）．

图4-25

其他类型的相似形多可以分解成这两种基本类型或转化为这两种基本类型．

例4如图4-26，已知：

△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于F．求证：

AB·

DF＝BC·

EF．

图4-26

如果我们把条件和结论涉及的线段AD，CE，AB，DF，BC，EF在图中都描成红线，可以发现一个完全由红线构成的三角形，即△DBE，还有一条线AC，是△DBE的截线，分别截△DBE的三边DB，BE，DE（或它们的延长线）于A，C，F．这类问题添辅助线的方法至少有三种，即过红线三角形任一顶点作对边的平行线，并与该三角形的截线或其延长线相交（如图4-27），在每一种图形中，虽然只有一对平行线，但与这对平行线有关的基本图形都能找到两对，根据每一个基本图形都可以写出包含辅助线段在内的一个比例式．

图4-27

以

（2）为例，可以写出

，又可以写出

．前两式均有BH，于是可得

，及

，所以，有

．又因为AD＝CE，于是有AB·

EF．（证略）

利用比例线段也可以证明两直线平行或两线段相等．

例5如图4-28，已知：

梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE相交于G，CE和DF相交于H，求证：

GH∥AD．

图4-28

条件中的AD∥BC，给出了两个基本图形，而AE＝ED，BF＝FC，又使从两个基本图形中给出的比例式有一个公共的比值，从中可以得到

．所以GH∥AD．

∵AD∥BC，

∴

，

∵AE＝ED，BF＝FC，

，∴GH∥AD．

例6如图4-29，已知：

AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15cm，AF＝4cm．

求：

BE和DE的长．

图4-29

题设中的两对平行线起着不同的作用．由DE∥AC，AD平分∠BAC，可以得到AE＝DE．这样已知及欲求的线段BE，AE，AB，AF都在AB和AC这两条边上，利用EF∥BC，就可以得到相应的比例线段．求得答案．

∵DE∥AC，∴∠3＝∠2，

又AD平分∠BAC，

∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴ED＝AE．

∵EF∥BC，ED∥CF，∴EDCF为平行四边形，

∴ED＝CF＝AE．

设AE＝x，则CF＝x，BE＝15－x．

∵EF∥BC，

，即

解得，

∴DE＝6cm，BE＝9cm．

例7如图4-30，已知：

在△ABC中，AD和BE相交于G，BD∶DC＝3∶1，AG＝GD．

求BG∶GE．

图4-30

按照例4的分析，过点G作GM∥AC，根据平行线截得比例线段定理，得BG∶GE＝BM∶MC，于是只要求出BM∶MC的值即可．

作GM∥AC交BC于M，

则BG∶GE＝BM∶MC．

∵AG＝GD，

∵

即

∴BG∶GE＝7∶1．

点拨：

以上四例中，我们复习了线段成比例和平行线分线段成比例的有关知识．

【易错例题分析】

例1已知：

在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．

△ADQ∽△QCP．

在正方形ABCD中，

∵Q是CD的中点，

，∴

．又∵BC＝2DQ，∴

在△ADQ和△QCP中，

，∠C＝∠D＝90°

∴△ADQ∽△QCP．

警示：

证此类题应避免没有目标而乱推理的情况．

例2一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图4-31

（1）、

（2）所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．

由AB＝1.5米，

平方米，得BC＝2米．设甲加工的桌面边长为x米，

∵DE∥AB，Rt△CDE∽Rt△CBA，

解得

过点B作Rt△ABC斜边AC上的高BH，交DE于P，交AC于H．

由AB＝1.5米，BC＝2米，

平方米得AC＝2.5米，BH＝1.2米．

设乙加工的桌面边长为y米，

∵DE∥AC，

∴Rt△BDE∽Rt△BAC．

解得

因为

即x＞y，

所以甲同学的加工方法符合要求．

解此类要避免看不出相似直角三角形而无法解的情况，更要避免看不出对应线段造成的比值写错而形成的计算错误．

例3如图4-32，AD是直角△ABC斜边上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F．求证：

图4-32

（2002年，安徽）

正解：

∵BA⊥AC，AD⊥BC，

∴∠B＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝90°

∴∠B＝∠DAC．又∵ED⊥DF，

∴∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90°

∴∠BDE＝∠ADF，∴△BDE∽△ADF．

，即

本例常见的错误是不证三角形相似，直接进行线段的比，这是规范的一种情况．

【同步达纲练习】

一、选择题

1．如图4-33，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，EF∥BC，则图中与△ADC相似的三角形共有（　）

A．1个B．2个C．3个D．多于3个

2．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图4-34在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AC＝30cm，AB＝50cm，依次裁下宽为1cm的矩形纸条

、

…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是（　）

A．24B．25C．26D．27

图4-33图4-34

二、填空题

3．如图4-35，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，则AD∶________＝________∶BC＝________∶AB．

图4-35图4-36

4．如图4-36，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则图中与△ABC相似的三角形共有________个，它们是_______________．

5．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区，已知亮区到窗下的墙脚最远距离是8.7m，窗口高1.8m，那么窗口底边离地面的高等于________．

三、解答题

6．如图4-37，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：

7．已知：

如图4-38，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°

，AE是△ABC的外角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF的延长线交AE于E．求证：

（1）AF＝BF＝BC；

（2）EF∶BF＝BC∶FC．

图4-37图4-38

8．四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F，∠ECA＝∠D．求证：

AC·

BE＝AD·

CE．

参考答案

1．C2．C

3．AC，ED，AE4．4，△ADF、△DBE、△FEC、△EFD5.4m

6．连结PC，先证明△ABP≌△ACP，∴PB＝PC，再证明△PCF∽△PEC，∴PC∶PE＝PF∶PC．∴

，∴

7．

（1）由已知可求得∠ABF＝∠BAC＝36°

，∠C＝∠BFC＝72°

，∴BC＝BF＝AF

（2）∵△EAF、△BCF都是底角为72°

的等腰三角形，∴△EAF∽△BCF，∴EF∶BF＝AF∶CF，又AF＝BC，∴EF∶BF＝BC∶FC

8．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠D＝∠B，∵∠ECA＝∠D，∴∠ECA＝∠B，又∵∠E＝∠E，∴△ECA∽△EBC，∴AC∶BC＝CE∶BE，∴AC∶AD＝CE∶BE，∴AC·

CE