重差术地方法论研文档格式.docx

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重差術的淵源

雖然在鄭玄釋《周禮》地官保氏九數及張街〈靈憲〉中都曾提到「重差」這個名詞，但是現在所謂重差術是指劉徽《海島算經》中利用多重勾股關係以求高遠的方法。

劉徽《九章算術》注的〈自序〉中說：

「輒造重差，并為注解，以究古人之意，綴於勾股之下。

」註6到了唐朝初年選定十部算經時，〈重差〉一卷才獨立出來成為《海島算經》。

劉徽的〈自序〉差不多有一半的篇幅談及重差，相信重差術的建立必然是他十分得意的創作。

至於發明重差術的思想淵源，〈自序〉中也有適當的交待。

圖一

「周官大司徒職，夏至日中立八尺之表，其景尺有五寸，謂之地中。

說云，南戴日下萬五千里。

夫云爾者，以術推之。

」這段話點明了重差術思想肇始於以景度日，也就是圖一的幾何構型上。

我們知道劉徽是非常注意推理的，在〈自序〉的前段他曾說：

「事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本榦者，知發其一端而已。

」因此我們應掌握重差術肇始的端，再來審視它的流變。

有了以景度日的端之後，是什麼樣的動機推動劉徽繼續發展呢？

〈自序〉中接著說：

「按九章立四表望遠及因木望山之術，皆端旁互見，無有超邈若斯之類。

然則蒼等為術猶未足以博盡群數也。

」這可能表示雖然〈九章算術〉中利用多重勾股關係可以解決較複雜的問題，但是劉徽似乎並不滿意因題造術的態度，而希望有一個基本的方式作為繼續發展多重勾股關係的端。

他接著說：

「徽尋九數有重差之名，原其指趣乃所以施於此也。

凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差，勾股則必以重差為率，故曰重差。

」他找到的端就是建立重差術，不論鄭玄、張衡所謂的重差到底是什麼，劉徽現在給出重差的典型，他說：

「立兩表於洛陽之城，令高八尺。

南北各盡平地，同日度其正中之景，以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一，所得加表高，即日去地也。

以南表乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。

以南戴日下及日去地為勾、股，為之求弦，即日去人也。

」這段話建立了重差的基本公式，也就是令圖二中S為日，T為日下，AB，DE為等高二表，BC，EF為表影，從而得到

即

圖二

我們相信劉徽一定知道，若真的把兩表都立於洛陽之城，根本不可能測出明顯的景差，因為表間相對於去日實在可說渺小得近乎零，圖二事實上又化約到圖一的情形。

因此這段話除了給出重差公式的標準型，主要還在強調他的恩想淵源。

因此當我們論述重差的正確性時，應該緊緊把握這條思路。

也許正因為劉徽知道重差公式在實測上的限制，他把由量天動機導來的算式用去度地了。

他說：

「雖天圓穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉。

」而綴於〈勾股〉章之後所謂「度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。

」等等變化算法，都不再提量天之事了。

總而言之，劉徽的〈自序〉強烈的暗示了如下的一條理路：

單表的方法論基礎

單表度日的方法是所謂「蓋天」宇宙論建立天體數據的重要工具，記載本法的主要文獻是《周髀算經》，其中陳子對榮方說：

「夏至南萬六千里，冬至南十三萬五千里，日中立竿無影。

此一者天道之數。

周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸。

髀者，股也。

正晷者，勾也。

正南千里，勾一尺五寸。

正北千里，勾一尺七寸。

日益南，晷益長。

候勾六尺，即取竹，空徑一寸，長八尺，捕影而視之，空正掩日，而日應空，由此觀之，率八十寸而得徑一寸。

故以勾為首，以髀為股。

從髀至日下六萬里而髀無影。

從此以上至日，則八萬里。

若求邪至日者，以日下為勾，日高為股。

勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日，從髀所邪至日所十萬里。

以率率之，八十里得徑一里。

十萬里得徑千二百五十里。

故曰，日徑千二百五十里。

」

單表度日計算結果的正確性，從方法論的角度看來至少建立在兩類基本假設上，一類是幾何學的假設，另一類是非幾何學的假設。

我們先從非幾何學的假設說起，又可分別出兩項：

1、水平大地假設：

雖然大地表面顯然是有高山陵谷種種崎嶇不平，但經過理想化後，可以假設有一個共同的基準水平面。

這個面是沒有曲率的，並且也是測量標竿豎立處的地平面。

《周髀算經》卷上商高有「笠以寫天」的說法，是明白指出天有曲率，而對地的曲率卻無類似的聲明。

以古代人的知識水平來看，假設大地是水平的不僅自然，也確實可簡化計算。

但是《周髀算經》卷下所記述的宇宙模型變成了「天象蓋笠，地法覆槃」，並且極下地面高於四旁地面六萬里。

從極下到四旁沿一個固定方向的地面，即使理想化成一條直線，單表度日的運用法仍然會產生困難。

豎立標竿時基本上是利用準繩以求表與地面絕對垂直，如果地面相對於某個理想的絕對水平面是有傾斜度的，由圖三可知單表度日求出的日下是T點而不是「真正」的日下R點。

這種因模型改變而帶來的困難，似乎到唐朝李淳風時才真正考慮到。

我們在後面會討論他的觀點。

圖三

2、寸影千里假設：

地面南北相距千里，則同時間兩個八尺表的日影長短差一寸。

這個假設從何而來已難考查，但是張衡〈靈憲〉云：

「懸天之晷，薄地之儀，皆移千里而差一寸。

」鄭玄注《周禮》云：

「凡日影於地，千里而差一寸。

」可說到東漢時，寸影千里的想法已經相當為人所接受了，不過我們不相信這是經由實測獲得的信心。

以當時的技術水平，要同時測量南北相差千里的表影，也幾乎是做不到的。

所以這個假設是相當理想化的假設，只不過若與水平大地假設相比，則其經驗性較高，由實測來判定真偽也比較可能。

在幾何學的假設方面，單表度日的基礎是建立在下述原則之上。

不失本率原則：

相似勾股形（即直角三角形）對應邊成比例。

一般都認為此項原則的運用，在《周髀算經》商高所謂「偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠」之中已經展現。

我們相信在《周髀算經》思想逐漸形成的時代，對於外貌近似的勾股形之間，一定意識到對應邊必有某種關聯。

然而是不是絕對正確的比例關係，似乎還應仔細檢查一下。

西漢時代《淮南子》論及「若使景與表相等，則高與遠等也。

」還是一種特殊勾股形（等腰直角三角形）的對應關係。

當然我們不能由此立刻推斷當時不知道一般勾股形的不失本率性質。

但從方法論的觀點看來，這似乎是由特殊通往一般的片斷軌跡。

圖四

我們再檢查陳子對榮方說的那段話，當八尺表的影長六尺時，「從髀至日下六萬里而髀無影。

」請注意這裡的「此」很明顯的是指「日下」，那麼由圖四中可看出，被認為成比例的勾股形是

與

，其實真正成比例的是

。

當然RT只有八尺，而SR有八萬里，在誤差允許的範圍中可以把SR看成與ST等長。

但是《周髀算經》的思想體系中，沒有明確說明這種近似計算法。

它所討論的基本上是在反映幾何量相關的幾何性質。

因此這一點文句上的小缺陷，也許顯示對不失本率原則的認識尚未達到絕對的圓滿。

趙爽〈日高圖〉注中說：

「今言八萬里者，從表以上復加之」。

六世紀的甄鸞在注文中也指明「得從表端上至日八萬里也」。

「端」宇一出，道理就正確了。

從方法論的角度來看，因為中國古典數學對於平行及一般角度性質的探討幾乎全無，所以兩個分離開的相似直角三角形，其對應邊的比例關係嚴格講是超出了「單表度日」的體系。

在這個體系中正確認識到的不失本率原則，應該重述如下：

在圖一的構形中，AB/ST=BC/TC=AC/SC。

這種敘述法就只用比例的關係，而不需要「相似」這個觀念。

同時兩個如此構形合併就成為圖五的情形，而自然導出劉徽注《九章算術》〈勾股〉第十五題中所謂「冪圖方在勾中，則方之兩廉各自成小勾股，而其相與之勢不失本率也。

圖五

雙表的率

前節中我們分析了單表度日的內在理論基礎，在各項基本假設中，顯然寸影千里假設是最值得檢討的。

一方面它是一條經驗性的假設，因此它出錯的可能性就比較高。

另方面從圖一中可看出，寸影千里的「率」就是BC與TB的比值，不過我們是先驗的知道這個率，才算出日下的距離TB。

所以圖一由方法論考量就不是自足的了。

如果我們現在要揣測劉徽「原其指趣」的歷程，他應該很自然想到如果寸影千里是由兩表的影差得來，一個自足的圖形必然是圖二的狀況，而正確的「率」就是表間與景差的比值（BF/（EF-BC））。

不論這個「率」的實際數值是多少，用《周髀算經》同樣思考方式，自然得到ST與TB的公式。

這樣的說法可以算是發現脈絡（thecontextofdiscovery）的合理重建。

但是劉徽如何保證這些公式是正確的呢？

也就是證實脈絡（thecontextofjustification）應該怎樣加以合理重建呢？

劉徽既然已經掌握圖五構形的不失本率性質，從圖二中可立刻看出：

李繼閔註7曾經指出在劉徽能運用「率」的理論範圍內，很容易看出上下取差維持原率，即：

有了這兩串式子，重差的公式馬上算出。

我們同時可注意到：

所以雙表影差得來的「率」相等於單表影與日下距離的比值。

不過現在EF，BC，BE都是可實測的量，圖二的構形不必局限在量天度日的領域內，而可以順理成章的用在「望極高，測絕深而兼知其遠者」的地面測量上。

綜合看起來，劉徽引入第二表的作法，只是把單表度日的真正思路明確化，把它的先驗因素取消掉。

但是也因此使這種測量法獲得理論的證實，而擴大了它的應用範圍。

重差術的理路除了劉徽的主流之外，還有趙爽的一條支流。

趙爽在《周髀算經》注文說：

「定高遠者立兩表，望懸邈者施累矩」，表示他已經知道利用兩表作大地測量的可行性。

在陳子答榮方一段的注中，他又說：

「候其影，使表相去二千里，影差二寸。

將求日之高遠，故先見其表影之率。

」一旦留意到「表影之率」，應該很自然導入圖二的思考。

趙爽在〈日高圖〉注中明明白白證明了重差公式。

他所使用的基本原理就是後日楊輝所謂：

「勾中容橫，股中容直，二積皆同。

」這個原理與不失本率原則雖然在邏輯上是等價的，但在認識心理上是有區別的。

它的注意焦點是幾何形的「出入相補」性質。

以吳文俊註8註9為代表的看法，是認為劉徽重差公式的證明與趙爽的方式相近。

但是按前面內在理路的分析，劉徽沿不失本率原則發展下來似乎更為自然，或者我們可以說由單表到雙表的理路，其證實脈絡可分為二：

劉徽的不失本率與趙爽的出入相補。

趙爽雖然也說：

「察勾之損益，知物之高遠。

」但是他沒有把〈日高圖〉注文的方法，發揮到地面測量問題。

劉徽不僅明白表示自己獨立創作重差術，更在《海島算經》中充分表現了重差術的便利，因此我們把重差術的主流歸屬於劉徽。

重差的變化

劉徽的思想是富於邏輯性的，前面引過他所謂「發其一端」的說法。

當他把重差的基本公式列為《海島算經》的第一問時，應該是表示其後的諸問能由此式導出，最多只需輔以不失本率原則的運用。

白尚恕註10曾經把這些推導的過程大部分還原，只留下第二問「望松」與第八問「望津」未加詳述註11。

我們從吳文俊註9的證明可看出，在設定的範圍內，「望津」的證明能從「望松」導來。

所以我們此地只證明「望松」，並請參看圖六。

圖六

「今有望松（AB）生山上（BC），不知高下。

立兩表（DE，FG），齊高二丈，前後相去（EG）五十步，令後表（FG）與前表（DE）參相直。

從前表卻行七步四尺（EH），薄地（H）遙望松末（A），與表端（D）參合。

又望松本（B），入表二尺入寸（DJ）。