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1、重差術的淵源雖然在鄭玄釋周禮地官保氏九數及張街靈憲中都曾提到重差這個名詞，但是現在所謂重差術是指劉徽海島算經中利用多重勾股關係以求高遠的方法。劉徽九章算術注的自序中說：輒造重差，并為注解，以究古人之意，綴於勾股之下。 註6 到了唐朝初年選定十部算經時，重差一卷才獨立出來成為海島算經。劉徽的自序差不多有一半的篇幅談及重差，相信重差術的建立必然是他十分得意的創作。至於發明重差術的思想淵源，自序中也有適當的交待。 圖一 周官大司徒職，夏至日中立八尺之表，其景尺有五寸，謂之地中。說云，南戴日下萬五千里。夫云爾者，以術推之。這段話點明了重差術思想肇始於以景度日，也就是圖一的幾何構型上。我們知道劉徽是非常

2、注意推理的，在自序的前段他曾說：事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本榦者，知發其一端而已。因此我們應掌握重差術肇始的端，再來審視它的流變。有了以景度日的端之後，是什麼樣的動機推動劉徽繼續發展呢？自序中接著說：按九章立四表望遠及因木望山之術，皆端旁互見，無有超邈若斯之類。然則蒼等為術猶未足以博盡群數也。這可能表示雖然九章算術中利用多重勾股關係可以解決較複雜的問題，但是劉徽似乎並不滿意因題造術的態度，而希望有一個基本的方式作為繼續發展多重勾股關係的端。他接著說：徽尋九數有重差之名，原其指趣乃所以施於此也。凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差，勾股則必以重差為率，故曰重差。他找到的端就是建立重差術，

3、不論鄭玄、張衡所謂的重差到底是什麼，劉徽現在給出重差的典型，他說：立兩表於洛陽之城，令高八尺。南北各盡平地，同日度其正中之景，以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為勾、股，為之求弦，即日去人也。這段話建立了重差的基本公式，也就是令圖二中 S 為日，T 為日下，AB，DE 為等高二表，BC，EF 為表影，從而得到 即 圖二 我們相信劉徽一定知道，若真的把兩表都立於洛陽之城，根本不可能測出明顯的景差，因為表間相對於去日實在可說渺小得近乎零，圖二事實上又化約到圖一的情形。因此這段話除了給出重差公式的標

4、準型，主要還在強調他的恩想淵源。因此當我們論述重差的正確性時，應該緊緊把握這條思路。也許正因為劉徽知道重差公式在實測上的限制，他把由量天動機導來的算式用去度地了。他說：雖天圓穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉。而綴於勾股章之後所謂度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。等等變化算法，都不再提量天之事了。總而言之，劉徽的自序強烈的暗示了如下的一條理路：單表的方法論基礎單表度日的方法是所謂蓋天宇宙論建立天體數據的重要工具，記載本法的主要文獻是周髀算經，其中陳子對榮方說：夏至南萬六千里，冬至南十三萬五千里，日中立竿無影。此一者天道之數。周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也。

5、正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸。正北千里，勾一尺七寸。日益南，晷益長。候勾六尺，即取竹，空徑一寸，長八尺，捕影而視之，空正掩日，而日應空，由此觀之，率八十寸而得徑一寸。故以勾為首，以髀為股。從髀至日下六萬里而髀無影。從此以上至日，則八萬里。若求邪至日者，以日下為勾，日高為股。勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日，從髀所邪至日所十萬里。以率率之，八十里得徑一里。十萬里得徑千二百五十里。故曰，日徑千二百五十里。 單表度日計算結果的正確性，從方法論的角度看來至少建立在兩類基本假設上，一類是幾何學的假設，另一類是非幾何學的假設。我們先從非幾何學的假設說起，又可分別出兩項：1、水平大地假設：雖然大地表

6、面顯然是有高山陵谷種種崎嶇不平，但經過理想化後，可以假設有一個共同的基準水平面。這個面是沒有曲率的，並且也是測量標竿豎立處的地平面。周髀算經卷上商高有笠以寫天的說法，是明白指出天有曲率，而對地的曲率卻無類似的聲明。以古代人的知識水平來看，假設大地是水平的不僅自然，也確實可簡化計算。但是周髀算經卷下所記述的宇宙模型變成了天象蓋笠，地法覆槃，並且極下地面高於四旁地面六萬里。從極下到四旁沿一個固定方向的地面，即使理想化成一條直線，單表度日的運用法仍然會產生困難。豎立標竿時基本上是利用準繩以求表與地面絕對垂直，如果地面相對於某個理想的絕對水平面是有傾斜度的，由圖三可知單表度日求出的日下是 T 點而不是

7、真正的日下 R 點。這種因模型改變而帶來的困難，似乎到唐朝李淳風時才真正考慮到。我們在後面會討論他的觀點。圖三 2、寸影千里假設：地面南北相距千里，則同時間兩個八尺表的日影長短差一寸。這個假設從何而來已難考查，但是張衡靈憲云：懸天之晷，薄地之儀，皆移千里而差一寸。鄭玄注周禮云：凡日影於地，千里而差一寸。可說到東漢時，寸影千里的想法已經相當為人所接受了，不過我們不相信這是經由實測獲得的信心。以當時的技術水平，要同時測量南北相差千里的表影，也幾乎是做不到的。所以這個假設是相當理想化的假設，只不過若與水平大地假設相比，則其經驗性較高，由實測來判定真偽也比較可能。在幾何學的假設方面，單表度日的基礎是建

8、立在下述原則之上。不失本率原則：相似勾股形（即直角三角形）對應邊成比例。一般都認為此項原則的運用，在周髀算經商高所謂偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠之中已經展現。我們相信在周髀算經思想逐漸形成的時代，對於外貌近似的勾股形之間，一定意識到對應邊必有某種關聯。然而是不是絕對正確的比例關係，似乎還應仔細檢查一下。西漢時代淮南子論及若使景與表相等，則高與遠等也。還是一種特殊勾股形（等腰直角三角形）的對應關係。當然我們不能由此立刻推斷當時不知道一般勾股形的不失本率性質。但從方法論的觀點看來，這似乎是由特殊通往一般的片斷軌跡。圖四 我們再檢查陳子對榮方說的那段話，當八尺表的影長六尺時，從髀至日下六萬里而

9、髀無影。請注意這裡的此很明顯的是指日下，那麼由圖四中可看出，被認為成比例的勾股形是 與 ，其實真正成比例的是 。當然 RT 只有八尺，而 SR 有八萬里，在誤差允許的範圍中可以把 SR 看成與 ST 等長。但是周髀算經的思想體系中，沒有明確說明這種近似計算法。它所討論的基本上是在反映幾何量相關的幾何性質。因此這一點文句上的小缺陷，也許顯示對不失本率原則的認識尚未達到絕對的圓滿。趙爽日高圖注中說：今言八萬里者，從表以上復加之。六世紀的甄鸞在注文中也指明得從表端上至日八萬里也。端宇一出，道理就正確了。從方法論的角度來看，因為中國古典數學對於平行及一般角度性質的探討幾乎全無，所以兩個分離開的相似直角

10、三角形，其對應邊的比例關係嚴格講是超出了單表度日的體系。在這個體系中正確認識到的不失本率原則，應該重述如下：在圖一的構形中， AB / ST = BC / TC = AC / SC 。這種敘述法就只用比例的關係，而不需要相似這個觀念。同時兩個如此構形合併就成為圖五的情形，而自然導出劉徽注九章算術勾股第十五題中所謂冪圖方在勾中，則方之兩廉各自成小勾股，而其相與之勢不失本率也。圖五 雙表的率前節中我們分析了單表度日的內在理論基礎，在各項基本假設中，顯然寸影千里假設是最值得檢討的。一方面它是一條經驗性的假設，因此它出錯的可能性就比較高。另方面從圖一中可看出，寸影千里的率就是 BC 與 TB 的比值，

11、不過我們是先驗的知道這個率，才算出日下的距離 TB。所以圖一由方法論考量就不是自足的了。如果我們現在要揣測劉徽原其指趣的歷程，他應該很自然想到如果寸影千里是由兩表的影差得來，一個自足的圖形必然是圖二的狀況，而正確的率就是表間與景差的比值 （BF / （EF - BC）。不論這個率的實際數值是多少，用周髀算經同樣思考方式，自然得到 ST 與 TB 的公式。這樣的說法可以算是發現脈絡 （the context of discovery） 的合理重建。但是劉徽如何保證這些公式是正確的呢？也就是證實脈絡 （the context of justification） 應該怎樣加以合理重建呢？劉徽既然已經

12、掌握圖五構形的不失本率性質，從圖二中可立刻看出：李繼閔 註7 曾經指出在劉徽能運用率的理論範圍內，很容易看出上下取差維持原率，即：有了這兩串式子，重差的公式馬上算出。我們同時可注意到：所以雙表影差得來的率相等於單表影與日下距離的比值。不過現在 EF，BC，BE 都是可實測的量，圖二的構形不必局限在量天度日的領域內，而可以順理成章的用在望極高，測絕深而兼知其遠者的地面測量上。綜合看起來，劉徽引入第二表的作法，只是把單表度日的真正思路明確化，把它的先驗因素取消掉。但是也因此使這種測量法獲得理論的證實，而擴大了它的應用範圍。重差術的理路除了劉徽的主流之外，還有趙爽的一條支流。趙爽在周髀算經注文說：定

13、高遠者立兩表，望懸邈者施累矩，表示他已經知道利用兩表作大地測量的可行性。在陳子答榮方一段的注中，他又說：候其影，使表相去二千里，影差二寸。將求日之高遠，故先見其表影之率。一旦留意到表影之率，應該很自然導入圖二的思考。趙爽在日高圖注中明明白白證明了重差公式。他所使用的基本原理就是後日楊輝所謂：勾中容橫，股中容直，二積皆同。這個原理與不失本率原則雖然在邏輯上是等價的，但在認識心理上是有區別的。它的注意焦點是幾何形的出入相補性質。以吳文俊 註8 註9 為代表的看法，是認為劉徽重差公式的證明與趙爽的方式相近。但是按前面內在理路的分析，劉徽沿不失本率原則發展下來似乎更為自然，或者我們可以說由單表到雙表的

14、理路，其證實脈絡可分為二：劉徽的不失本率與趙爽的出入相補。趙爽雖然也說：察勾之損益，知物之高遠。但是他沒有把日高圖注文的方法，發揮到地面測量問題。劉徽不僅明白表示自己獨立創作重差術，更在海島算經中充分表現了重差術的便利，因此我們把重差術的主流歸屬於劉徽。重差的變化劉徽的思想是富於邏輯性的，前面引過他所謂發其一端的說法。當他把重差的基本公式列為海島算經的第一問時，應該是表示其後的諸問能由此式導出，最多只需輔以不失本率原則的運用。白尚恕 註10 曾經把這些推導的過程大部分還原，只留下第二問望松與第八問望津未加詳述 註11 。我們從吳文俊 註9 的證明可看出，在設定的範圍內，望津的證明能從望松導來。所以我們此地只證明望松，並請參看圖六。圖六 今有望松 （AB） 生山上 （BC），不知高下。立兩表（DE，FG），齊高二丈，前後相去（EG）五十步，令後表（FG）與前表（DE）參相直。從前表卻行七步四尺（EH），薄地 （H） 遙望松末 （A），與表端 （D） 參合。又望松本 （B），入表二尺入寸（DJ）。