傅里叶级数Word文件下载.docx
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其中常数项A0称为
f（t）的直流分量；
A1sin（t1）称为一次谐波（又叫做基波）；
而A2sin（2t2），
A3sin（3t3）依次称为二次谐波，三次谐波，等等。
为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数Ansin（ntn）按三角公式变形，得
Ansin（ntn）AnsinncosntAncosnsinnt，
令-0A0,a门Ansinn,bnAncosn,tx，则上式等号右端的级数就可以改写
成
这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。
1•函数能展开成傅里叶级数的条件
（1）函数f（x）须为周期函数；
（2）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；
（如果x0是函数f（x）的间断点，但
左极限f（xo0）及右极限f（xo0）都存在，那么X0称为函数f（x）的第一类间断点）
（3）在一个周期内至多只有有限个极值点。
若满足以上条件则f（x）能展开成傅里叶级数，且其傅里叶级数是收敛的，当x是
f（x）的连续点时，级数收敛于f（x），当x是f（x）的间断点时，级数收敛于
1
2【f（x0）f（x0）］。
、
以上也是收敛定理（狄利克雷（Dirichlet）充分条件）的内容。
2•函数展开成傅里叶级数
（1）首先介绍一下三角函数系的正交性的概念：
所谓三角函数1，cosx,sinx,cos2x,sin2x,,cosnx,sinnx,①
在区间［,］上正交，就是指在三角函数系①中任何不同的两个函数的乘积在区间
［,］上的积分等于零，即
cosnxdx0
（n
1,2,3
），
sinnxdx0
）,
sinkxcosnxdx
（k,n
coskxcosnxdx
k
n）,
sinkxsinnxdx
n）.
（2）傅里叶系数的推导
设f（x）是周期为2的周期函数，且满足收敛定理的条件，贝y函数f（x）的傅里叶级数记
f（x）
a0
（ancosnxbnsinnx）n1
那么傅里叶系数a0,a1,b1,
如何利用f（x）表达出来?
先求a0，对②式从到逐项积分:
f（x）dx
a°
dx
an
cosnxdxbnsinnxdx
根据三角函数系①的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则:
f（x）dx也2
从而得出
ao-
其次求an，用cosnx乘②式两端，再从
逐项积分，可得
f（x）cosnxdxcosnxdx
cosnxdx
bn
sinnxcosnxdx
根据三角函数系①的正交性，可以得出:
f（x）cosnxdxancosnxdx
1cos2nx
an-
f（x）cosnxdx
1,2,3）.
类似地，用sinnx乘②式两端，再从
f（x）sinnxdxsinnxdx
ansinnxcosnxdx
sin2nxdx
f（x）sinnxdxansin2nxdx
1cos2nx,bn
bnf（x）sinnxdx
1,2,3）
由于当n0时，an的表达式正好给出
ao，
因此，已得结果可以合并写成
0,1,2,3），
f（x）sinnxdx（n1,2,3）,
例：
设f（x）是周期为
的周期函数，它在
）上的表达式为
1,
x0,f（x）
将f（x）展开成傅里叶级数。
所给函数满足收敛定理的条件,
它在点xk（k0,1,2,）处不连续，在其它点
处连续，从而由收敛定理可知f（x）的傅里叶级数收敛，且当xk时级数收敛于
111
（1）
0，
22
当xk时级数收敛于f（x）。
计算傅里叶系数如下:
（n0,1,2,3）；
4
n1,3,5,n
0,n2,4,6,
将求得的傅里叶系数代入，得出f（x）的傅里叶级数展开式为:
3•奇函数和偶函数的傅里叶级数
定理：
设f（x）是周期为2的函数，满足收敛定理的条件，则
①当f（x）为奇函数时，它的傅里叶系数为
②当f（x）为偶函数时，它的傅里叶系数为
F面对这个定理加以证明
更换它的符号，得
（n0,1,2,）.
同理
0（n0,1,2,）.
这个定理说明了：
如果f（x）为奇函数，那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数
bnsinnx
如果f（x）为偶函数，那么它的傅里叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数
4•傅里叶级数的复数形式
傅里叶级数还可以用复数形式表示，在电子技术中，经常应用这种形式。
设周期为2周期函数f（x）的傅里叶级数为
（ancosnxbnsinnx）
其中系数an,bn为
利用欧拉公式
it
itit
e
e.,
ee
CCOT
cost
，sint
2i
③式化为
aninx（e
-inxibn
e）
inxinx、
（ee）
n
12
anibneinx
anibne
inx）
a。
co,
anibn
1,2,3,）,
则⑤式就表示为
a0inx
cne
24n
cne
inx）.
Geinx）n0
cnecne）•
inx
⑥式即为傅里叶级数的复数形式。
系数cn的计算
根据④式可得出c0
cn
f（x）cosnxdx-
f（x）cosnx
f（x）einxdx
f（x）sinnxdx
isinnxdx
（n1,2,3,
ibn
将已得的结果合并为:
f（x）einxdx
1,2,3,）
Cn
⑦式就为傅里叶系数的复数形式。
0,1,2,
）.
傅里叶级数的两种形式，在本质上是
样的,
但复数形式比较简洁,
且在电子技术中经常
用到这种形式。
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